Numeri complessi: esercizi...

[kioccolatino90]

buona sera a tutti, avrei dei semplici esercizi sui numeri complessi di cui non capisco dei piccoli dettagli, ad esempio:

trovare la parte immaginaria di: $Imm((sqrt3/2+i)/(2-i))=$ $(sqrt3+2i)/(2-i)*(2+i)/(2+i)=$ $(2sqrt3-2+sqrt3i+4i)/5$ $rArr$ $((sqrt3+4)/5)i$ però sul libro non mi trovo, da come risultato: $((sqrt3+4)/10)i$ dove ho sbagliato? i calcoli sembrano fatti bene, li ho ricontrollati più volte.....

[kioccolatino90]

io invece non riesco a giungere a quell'equazione, ho fatto:

$(z-2)^2(bar z+2)-4z(z-2)=0$

$(z-2)[(z-2)(bar z +2)-4z]=0$

$(u+iv-2)[(u+iv-2)(u-iv+2)-4(u+iv)]=0$

$(u+iv-2)[(u^2+v^2-4)-4u-4iv)]=0$

$(u+iv-2)[u^2+v^2-4-4u-4iv]=0$ $rarr$ ${(u+iv-2=0),(u^2+v^2-4-4u-4iv=0):}$ $rarr$ ${(iv=-u+2),(u^2+v^2-4-4u-4iv=0):}$ $rarr$ ${(iv=-u+2),(u^2+v^2-4-4u-4(-u+2)=0):}$ $rarr$ ${(iv=-u+2),(u^2+v^2-4-4u+4u-8=0):}$ $rarr$ ${(iv=-u+2),(u^2+v^2-12=0):}$ e non mi trovo dove ho sbagliato.....

[giammaria2]

Partiamo di qui: $(z-2)[(z-2)(bar z +2)-4z]=0$

Per la legge di annullamento del prodotto può essere $z-2=0->z=2$ oppure $(z-2)(bar z +2)-4z=0$.

La prima equazione è già risolta e la seconda diventa $(u+iv-2)(u-iv+2)-4(u+iv)=0$. A questo punto fai i prodotti con calma, senza cercare scorciatoie: scoprirai che la parte immaginaria si annulla e quella reale è il polinomio da me scritto.

[kioccolatino90]

ok ora mi trovo:

${(z=2),(u^2+v^2-4u-4=0):}$ poi come devo fare?

[giammaria2]

"domy90": ... poi come devo fare?

In nessun modo; quello che NON devi fare è mettere a sistema le due equazioni. La prima di esse di dà una prima soluzione, che se vuoi puoi indicare con $z_1$; dalla seconda si sperava di trovare le altre, ma risulta che non è possibile perché ce ne sono infinite.
Ti mostro qui come si sarebbe continuato con una seconda equazione diversa; supponiamo che fosse
$u^2+3iu+v^2-4iv-25=0$

Separiamo la parte reale e quella immaginaria: $(u^2+v^2-25)+i(3u-4v)=0$

Entrambe le parti devono valere zero: ${(u^2+v^2-25=0),(3u-4v=0):}$

Risolvendo questo sistema trovi per $u,v$ le soluzioni $(4;3)$ e $(-4;-3)$ e quindi, per $z$, hai $z=4+3i$ e $z=-4-3i$, riassumibili in $z=+-(4+3i)$

[kioccolatino90]

ok con la prima soluzione ci troviamo con il libro, mentre con l'altra no... esattamente riporta: $[z_0=2; |z_1-2|=2sqrt2]$ ora ho capito cosa rappresentano ma non ho capito come ha fatto...l'utente sgnurlo l'ha scritto ma non ho capito tanto bene il ragionamento...

[giammaria2]

Consideriamo il numero

$z-2=u+iv-2=(u-2)+iv$

avendo separato le sue parti reale e immaginaria. Il suo modulo è
$|z-2|=rho_((z-2))=sqrt((u-2)^2+v^2)$
e, come notato da sgnurlo, questo dà il raggio della circonferenza (che anche tu avevi riconosciuto), cioè $2sqrt2$. L'indice 1 significa solo che è una soluzione diversa dalla prima, che ha indicato con $z_0$; in realtà si tratta di infinite soluzioni, e cioè tutti i numeri rappresentati da punti che stanno su quella circonferenza.
Due considerazioni: quel benedetto autore non avrebbe fatto meglio ad iniziare con problemi a risposta più intuitiva? E "Tò, è giusto!": avrei giurato sulla presenza di qualche errore, o nel testo o nella mia soluzione.

[sgnurlo]

"domy90":l'utente sgnurlo l'ha scritto ma non ho capito tanto bene il ragionamento...

Ci sei fino a $z\barz - 2(z+\barz)-4=0$? Viene fuori solo dai conti...
A questo punto ho usato il fatto che $z\barz=(u+iv)(u-iv)=u^2+v^2=|z|^2$ e $z+\barz=(u+iv)+(u-iv)=2u=2Rez$ (sono due identità abbastanza note).
Poi riscrivi in termini di $u$ e $v$ ($|z| = u^2+v^2$, $Rez=u$) e ottieni quella circonferenza...

[kioccolatino90]

"giammaria":Consideriamo il numero

$z-2=u+iv-2=(u-2)+iv$

avendo separato le sue parti reale e immaginaria. Il suo modulo è
$|z-2|=rho_((z-2))=sqrt((u-2)^2+v^2)$
e, come notato da sgnurlo, questo dà il raggio della circonferenza (che anche tu avevi riconosciuto), cioè $2sqrt2$.

io mi trovo $sqrt2$

ho fatto: $|z-2|=rho_((z-2))=sqrt((1-2)^2+1^2)=sqrt((-1)^2+1)=sqrt2$

però se lo cero nell'equazione della circonferenza con la formula ($r=sqrt((a/2)^2+(b/2)^2-c)$) mi trovo...

[giammaria2]

Indico con |z-2| il modulo di $z-2$. Eravamo arrivati a $|z-2|=sqrt((u-2)^2+v^2)$ e non capisco per quale motivo tu metta poi degli 1 al posto delle lettere; meglio dimenticare quel tuo calcolo.
Come soluzione della tua equazione avevamo trovato $u^2+v^2-4u-4=0$; trattandola come faresti per l'equazione di una circonferenza, vedi che puoi scriverla come
$(u-2)^2+v^2=8->sqrt((u-2)^2+v^2)=2sqrt2$.

Confrontando questa formula con quella che ho inizialmente copiato trovi proprio $|z-2|=2sqrt2$

[kioccolatino90]

ah già è vero.......ma la soluzione $z_0$ che il libro dà sarebbe il centro della circonferenza vero???

[giammaria2]

Sì, perché ha coordinate $(2,0)$.

[kioccolatino90]

mentre poi ho questa: $z^3=|z|^2$

io ho pensato di svolgerla così:

essendo per definizione $|z|^2= z*barz= u^2+v^2$ e quindi $(u+iv)(u-iv)$;

riscrivo l'equazione $z^3=|z|^2$ come:

$z^3=(u+iv)(u-iv)$ e dunque ho pensato di spezzarla nella maniera seguente: $z^3=(u+iv)$ e ne calcolo le radici terze di questo numero e poi di calcolare le radici terze di $z^3=(u-iv)$

procedo bene per questa strada? a me sembra di no perchè:

$z^3=(u+iv)$

$rho=sqrt2$

$cos theta=sqrt2/2$

$sin theta=sqrt2/2$

e dunque $theta=pi/4$ $rarr omega_k=[root(3)(sqrt2); ((pi/4+2kpi)/3)]_(k=0,1,2.)$

$omega_(k_0)=[root(6)(2); (pi/12)]=root(6)(2)(cos(pi/12)+i sin(pi/12))$ e già questo mi basta per dire che non è giusta come strada.....

[giammaria2]

"domy90":procedo bene per questa strada?

No, procedi male: dire che qualcosa è uguale ad un prodotto è ben diverso dal dire che quel qualcosa è uguale a ciascuno dei due fattori: ad esempio $x=3*5$ è diverso da $x=3$ oppure $x=5$. Ti stai confondendo con la legge di annullamento del prodotto, che però richiede che ci sia uno zero.
IL procedimento giusto è questo:
$z^3=(u+iv)(u-iv)$

$(u+iv)^3-(u+iv)(u-iv)=0$

$(u+iv)[(u+iv)^2-(u-iv)]=0$

Qui c'è lo zero e puoi applicare la legge di annullamento del prodotto:

1° caso) può essere $u+iv=0$, cioè $z=0$

2° caso) può essere $(u+iv)^2-(u-iv)=0$, cioè ... Continua tu.

Anche i calcoli che hai fatto dopo quell'errore non vanno bene: hai di nuovo messo il numero 1 al posto di $u,v$ e non c'è nessun motivo per farlo.

[kioccolatino90]

ma il primo e il secondo caso non li devo mettere a sistema vero?

[giammaria2]

Vero. Metti due cose a sistema quando vuoi che si verifichino tutte due contemporaneamente, mentre nel nostro problema quelle sono due soluzioni diverse e ci basta che se ne verifichi una.

[kioccolatino90]

ok... ma per la seconda come devo fare io ho pensato che dato che per definizione $Z-bar Z= 2vi in I$ la seconda la posso scrivere come:

$(u+iv)^2-(u-vi)=0 rarr (u+iv)(2vi)=0$ applico la legge di annullamento del prodotto e ottengo una volta quando $2iv=0$ e $z_1=0$ solo che non credo che sia giusto....

oppure avrei pensato che $(u+iv)^2-(u-vi)=0$ quando $(u+iv)^2=(u-vi) rarr Z=sqrt((u-vi))$ solo che non so continuare, che ragionamento dovrei fare per risolvere un problema del genere...

[giammaria2]

Il primo metodo è sbagliato perché ti comporti come se l'equazione fosse $(u+iv)[(u+iv)-(u-iv)]=0$, che è diversa da quella data. Il secondo metodo non va perché, come giustamente dici, non si sa come continuare. Ti ho già spiegato come fare: guarda il mio secondo intervento di pagina 11, quello in cui risolvevo un'equazione di mia invenzione, e lavora in modo analogo.

[kioccolatino90]

si ma non mi trovo ho fatto:

-1). $(u+iv)^2-(u-iv)=0$

$u^2-v^2+2uiv-u+iv=0$ separo la parte reale e quella immaginaria $(u^2-v^2-u)+i(2uv+v)=0$ metto a sistema:

${(u^2-v^2-u=0),(2uv+v=0):}$ adesso non so come fare io avrei pensato di mettere $u$ e $v$: ${(u(u-v^2-1)=0),(v(2u+1)=0):}$

-per la prima equazione otterrei: ${(u=0),(v^2+u-1=0 rarr v_(12)=(-u+-sqrt(u^2+4))/2 rarr v_(12)=(-u+-(u+2))/2):}$ $rarr$ ${(u=0),(v_1=-u uuu v_2=+1):}$

-per la seconda: ${(v=0),(2u+1=0):}$ $rarr$ ${(v=0),(u=-1/2):}$.... ma è sbagliato non mi trovo quasi niente...


-2).poi avrei pensato di risolvere il sistema come un sistema di secondo grado a due incognite:

$(u^2-v^2-u)+i(2uv+v)=0$

${(u^2-v^2-u=0),(2uv+v=0):}rarr$ ${(u^2-v^2-u=0),(+v=-2uv):}$ sostituisco la seconda nella prima al posto di $v$: ${(u^2-(-2uv)^2-u=0),(---):} rarr$ ${(u^2-(+4u^2v^2)-u=0),(---):} rarr$ ${(u^2-4u^2v^2-u=0),(---):}$;
però c'è qualcosa che non mi convince nella seconda equazione ho ricavato $v$ che comunque risulta essere $-2uv$ quella $v$ mi crea problemi....

[giammaria2]

Tutto bene fino a qui: ${(u^2-v^2-u=0),(2uv+v=0->v(2u+1)=0):}$
ma nella prima equazione non puoi mettere in evidenza $u$ perché c'è un addendo che non lo contiene. Conviene invece scambiare l'ordine delle equazioni e cominciare a risolvere quella che era la seconda: c'è un prodotto uguale a zero, quindi puoi applicare la legge di annullamento del prodotto e distinguere due casi:

1) può essere $v=0$; sostituendo questo valore nell'altra equazione il sistema diventa
${(v=0),(u^2-u=0):}$
e con pochi calcoli ne ricavi le soluzioni $z=0$ e $z=1$

2) può essere $2u+1=0->u=-1/2$; lo sostituisci nell'altra equazione e ricavi $v$. Questa volta le soluzione sono $z=-1/2+-isqrt3/2$.

Quanto al tuo secondo metodo di soluzione, non è vero che hai ricavato $v$, perché questa lettera c'è anche nel secondo membro: un'incognita è veramente ricavata quando non compare al secondo membro di "incognita=..."

[kioccolatino90]

capito, si trova l'esercizio.... Io per questo non mi trovavo col secondo metodo, non avevo trovato veramente la $v$...