Numeri complessi: esercizi...
buona sera a tutti, avrei dei semplici esercizi sui numeri complessi di cui non capisco dei piccoli dettagli, ad esempio:
trovare la parte immaginaria di: $Imm((sqrt3/2+i)/(2-i))=$ $(sqrt3+2i)/(2-i)*(2+i)/(2+i)=$ $(2sqrt3-2+sqrt3i+4i)/5$ $rArr$ $((sqrt3+4)/5)i$ però sul libro non mi trovo, da come risultato: $((sqrt3+4)/10)i$ dove ho sbagliato? i calcoli sembrano fatti bene, li ho ricontrollati più volte.....
trovare la parte immaginaria di: $Imm((sqrt3/2+i)/(2-i))=$ $(sqrt3+2i)/(2-i)*(2+i)/(2+i)=$ $(2sqrt3-2+sqrt3i+4i)/5$ $rArr$ $((sqrt3+4)/5)i$ però sul libro non mi trovo, da come risultato: $((sqrt3+4)/10)i$ dove ho sbagliato? i calcoli sembrano fatti bene, li ho ricontrollati più volte.....
Risposte
mentre per: $7/8pi$ posso scriverlo come $pi-pi/8$ quindi siamo nel secondo quadrante, e poi noto che $-pi/8$ è la metà di $pi/4$ cioè di $3/4pi$;
disegno quest'ultimo, lo divido a metà e ho trovato $7/8pi$.... Solo che non credo che sia lo stesso punto di prima cioè a questo punto coinciderebbe con $3/8pi$ e non è possibile, credo che questa volta si deve fare la metà della metà di $3/4pi$, giusto????
disegno quest'ultimo, lo divido a metà e ho trovato $7/8pi$.... Solo che non credo che sia lo stesso punto di prima cioè a questo punto coinciderebbe con $3/8pi$ e non è possibile, credo che questa volta si deve fare la metà della metà di $3/4pi$, giusto????
"domy90":$pi/4$ e $3/4pi$ non sono lo stesso angolo; $-pi/8$ è la metà del primo ma col segno meno, quindi a ritroso. Ti consiglio un altro metodo: dividi ogni quadrante a metà, ottenendo archi di $pi/4$. Poi dividi ognuno di questi a metà e avrai archi di $pi/8$, A questo punto ti basta contarne quelli che vuoi: ad esempio, con $7/8pi=7pi/8$ ne conti 7.
e poi noto che $-pi/8$ è la metà di $pi/4$ cioè di $3/4pi$
Con frazioni alte, puoi sveltire il tutto pensando "4 archi fanno un angolo retto, 8 ne fanno uno piatto; me ne restano ..."; poi ti sposti di un angolo retto o piatto più gli archi restanti.
ok quindi con $7/8pi$ sono nel secondo quadrante solo che mentre con $3/8pi$ ero a destra di $3/4pi$ ora sono a sinistra.....
"giammaria":
Ti consiglio un altro metodo: dividi ogni quadrante a metà, ottenendo archi di $pi/4$. Poi dividi ognuno di questi a metà e avrai archi di $pi/8$, A questo punto ti basta contarne quelli che vuoi: ad esempio, con $7/8pi=7pi/8$ ne conti 7.
però questo non funziona con $3/8pi$... perchè se faccio $3pi/8$ conto 3 archi di $pi/8$ e sono nel primo quadrante a destra di $pi/4$...
$(3pi)/8$ sono 3 archi, quindi è nel primo quadrante. Se non sei convinto, trasformalo in gradi: $(3*180^o)/8=67,5^o$, che è meno di 90°.
ma $3/8pi$ lo posso scrivere come $pi-5/8pi$, quindi $3/8pi$ è nel secondo quadrante, poi noto che $3/8pi$ è la metà di $3/4pi$, disegno quest' ultimo angolo e lo divido a metà e disegno......comunque sono nel secondo....
Ne dai due dimostrazioni, entrambe sbagliate. Vediamole separatamente:
1)$5/8pi$ è più di un angolo retto; se lo sottrai da un angolo piatto finisci nel primo quadrante.
2) Credo che tu abbia sbagliato il disegno di $3/4pi$; pensando anche ad una tua frase passata, probabilmente ti sei confuso con $3/2pi$. L'angolo $3/4pi$ è a metà del secondo quadrante.
1)$5/8pi$ è più di un angolo retto; se lo sottrai da un angolo piatto finisci nel primo quadrante.
2) Credo che tu abbia sbagliato il disegno di $3/4pi$; pensando anche ad una tua frase passata, probabilmente ti sei confuso con $3/2pi$. L'angolo $3/4pi$ è a metà del secondo quadrante.
io ho diviso così:
[asvg]axes();
circle([0,0], 3);
stroke = "mediumaquamarine";
line([-3, -3], [3, 3]); // traccia il segmento di estremi P(-3, -3), Q(3, 3)
stroke = "mediumaquamarine";
line([-3, 3], [3, -3]); // traccia il segmento di estremi P(-3, 3), Q(3, -3)
stroke = "black ";
line([3, 1.16], [-3,-1.16]);
line([1.16, 3 ], [-1.16, -3]);
line([-3, 1.16], [3,-1.16]);
line([-1.16, 3 ], [1.16, -3]);[/asvg]
dove la linea blu è $pi/4$ e le altre suddivisioni sono $pi/8$....
[asvg]axes();
circle([0,0], 3);
stroke = "mediumaquamarine";
line([-3, -3], [3, 3]); // traccia il segmento di estremi P(-3, -3), Q(3, 3)
stroke = "mediumaquamarine";
line([-3, 3], [3, -3]); // traccia il segmento di estremi P(-3, 3), Q(3, -3)
stroke = "black ";
line([3, 1.16], [-3,-1.16]);
line([1.16, 3 ], [-1.16, -3]);
line([-3, 1.16], [3,-1.16]);
line([-1.16, 3 ], [1.16, -3]);[/asvg]
dove la linea blu è $pi/4$ e le altre suddivisioni sono $pi/8$....
credo di aver capito..... ora il problema è come faccio a capire quando un angolo è più grande di un altro? cioè hai detto che $5/8pi$ è più di un angolo retto, ora per vedere se è così devo fare la divisione cioè $5/8=0,65$ metre $1/2=0.5$?
Complimenti per il bel disegno; di solito ci si accontenta di uno scarabocchio in cui le metà sono fatte ad occhio.
Per la tua domanda, quello che dici è un buon modo. Un altro modo è dare denominatore comune alle due frazioni, e in questo caso è 8; poi $pi/2=(4pi)/8$; risulta evidente che l'angolo retto è maggiore di $(3pi)/8$ e minore di $(5pi)/8$.
Altro esempio: vuoi sapere qual è il maggiore fra $5/6$ e$7/10$. Il mcm dei denominatori è 30, quindi calcolo $5/6=25/30$ e $7/10=21/30$: il primo è il maggiore.
Per la tua domanda, quello che dici è un buon modo. Un altro modo è dare denominatore comune alle due frazioni, e in questo caso è 8; poi $pi/2=(4pi)/8$; risulta evidente che l'angolo retto è maggiore di $(3pi)/8$ e minore di $(5pi)/8$.
Altro esempio: vuoi sapere qual è il maggiore fra $5/6$ e$7/10$. Il mcm dei denominatori è 30, quindi calcolo $5/6=25/30$ e $7/10=21/30$: il primo è il maggiore.
"giammaria":
Complimenti per il bel disegno; di solito ci si accontenta di uno scarabocchio in cui le metà sono fatte ad occhio.
ci è voluto un bel quarto d'ora, perchè disegno poco con i grafici ASCIIsvg...
"giammaria":
Per la tua domanda, quello che dici è un buon modo. Un altro modo è dare denominatore comune alle due frazioni, e in questo caso è 8; poi $pi/2=(4pi)/8$; risulta evidente che l'angolo retto è maggiore di $(3pi)/8$ e minore di $(5pi)/8$.
Altro esempio: vuoi sapere qual è il maggiore fra $5/6$ e$7/10$. Il mcm dei denominatori è 30, quindi calcolo $5/6=25/30$ e $7/10=21/30$: il primo è il maggiore.
ah ho capito!!!!! grazie.... volevo un attimo poi postare un esercizio che forse la soluzione è sbagliata, ma non può essere.....
devo calcolare le radici quadrate di $Z=sqrt(1-1/sqrt3i)$
$rho=sqrt(1+(1/sqrt3)^2)=sqrt((3+1)/3)= 2/sqrt3$
$cos theta= 2/sqrt3$
$sin theta=(1/sqrt3)/(2/sqrt3)=1/sqrt3*sqrt3/2=1/2$ dunque $theta= pi/6$
$sqrtZ rarr$ $omega_k=[sqrt(2/sqrt3); (pi/6+2kpi)/2], k=0,1.$
$omega_(k_0)=[sqrt2/root(4)(3); (pi/6*1/2)]= sqrt2/root(4)(3)(cos (pi/12) - i sin (pi/12))$. e questa si trova solo che quel meno non capisco perchè; la seconda soluzione mi viene:
$omega_(k_1)=[sqrt2/root(4)(3); (pi/6+2pi)*1/2]=[sqrt2/root(4)(3); (13/6pi*1/2)]=[sqrt2/root(4)(3); (13/12pi)]= sqrt2/root(4)(3)(cos (13/12pi) + i sin (13/12pi))$
ora il libro mi riporta $11/12pi$, no so non credo che ho sbagliato qualche calcolo, li ho controllati per molte volte....
Hai sbagliato sia il coseno che il seno. I calcoli giusti sono
$cos theta= 1/(2/sqrt3)=sqrt3/2$
$sin theta=(-1/sqrt3)/(2/sqrt3)=-1/sqrt3*sqrt3/2=-1/2$
dunque $theta=- pi/6+2k pi$ oppure $theta=(11pi)/6+2k pi$. Io trovo più comoda la formula col meno, ma se sei abituato ad usare il più va anche bene. Risultano modificati tutti i calcoli successivi.
$cos theta= 1/(2/sqrt3)=sqrt3/2$
$sin theta=(-1/sqrt3)/(2/sqrt3)=-1/sqrt3*sqrt3/2=-1/2$
dunque $theta=- pi/6+2k pi$ oppure $theta=(11pi)/6+2k pi$. Io trovo più comoda la formula col meno, ma se sei abituato ad usare il più va anche bene. Risultano modificati tutti i calcoli successivi.
ok vediamo dove si trova $-11/12pi$ metto in evidenza il meno e mi esce $-(pi-pi/12)$, e quindi in parentesi mi troverei nel secondo quadrante ora col meno sarei nel terzo?
oppure ho pensato di dividere in sei parti ogni angolo di 90° e contare a ritroso ,in senso orario, $-11/12pi$ e qiundi sto sempre nel terzo quadrante giusto?
oppure ho pensato di dividere in sei parti ogni angolo di 90° e contare a ritroso ,in senso orario, $-11/12pi$ e qiundi sto sempre nel terzo quadrante giusto?
Quello che dici è giusto, ma dove hai pescato $-11/12pi$?
1) Con $theta=-pi/6+2k pi$ si ha $theta/2=-pi/12+k pi$ e quindi gli angoli $-pi/12$ e $pi-pi/12$ (quarto e secondo quadrante)
2) Con $theta=11/6pi +2k pi$ si ha $theta/2=11/12 pi+k pi$ e quindi gli angoli $11/12 pi$ (che è il secondo fra quelli trovati in precedenza) e $23/12 pi=2pi-pi/12$ (che è il primo)
1) Con $theta=-pi/6+2k pi$ si ha $theta/2=-pi/12+k pi$ e quindi gli angoli $-pi/12$ e $pi-pi/12$ (quarto e secondo quadrante)
2) Con $theta=11/6pi +2k pi$ si ha $theta/2=11/12 pi+k pi$ e quindi gli angoli $11/12 pi$ (che è il secondo fra quelli trovati in precedenza) e $23/12 pi=2pi-pi/12$ (che è il primo)
si ho sbagliato il meno comunque riscrivo l'esercizio:
$Z=sqrt(1-1/sqrt3i)$
$rho=sqrt(1+(1/sqrt3)^2)=sqrt((3+1)/3)= 2/sqrt3$
$cos theta= sqrt3/2$
$sin theta=(-1/sqrt3)/(2/sqrt3)=-1/sqrt3*sqrt3/2=-1/2$ dunque $theta= -pi/6$
$sqrtZ rarr$ $omega_k=[sqrt(2/sqrt3); (-pi/6+2kpi)/2], k=0,1.$
$omega_(k_0)=[sqrt2/root(4)(3); (-pi/6*1/2)]= sqrt2/root(4)(3)(cos (pi/12) - i sin (pi/12))$;
$omega_(k_1)=[sqrt2/root(4)(3); (-pi/6+2pi)*1/2]=[sqrt2/root(4)(3); (11/6pi*1/2)]=[sqrt2/root(4)(3); (11/12pi)]= sqrt2/root(4)(3)(cos (11/12pi) + i sin (11/12pi))$
ora $11/12pi$ si trova nel secondo quadrante perchè lo posso scomporre come $pi-pi/12$ oppure dividendo $pi$ in frazioni di $pi/12$ ne conto undici e mi trovo che sto nel secondo quadrante....
la soluzione data dal libro è $sqrt2/root(4)(3)(cos (11/12pi) + i sin (11/12pi))$ e mi trovo, però si poteva anche scrivere $sqrt2/root(4)(3)(-cos (pi/12) + i sin (pi/12))$ avrà scritto così per far vedere he comunque ci sono vari modi per scrivere la soluzione?
$Z=sqrt(1-1/sqrt3i)$
$rho=sqrt(1+(1/sqrt3)^2)=sqrt((3+1)/3)= 2/sqrt3$
$cos theta= sqrt3/2$
$sin theta=(-1/sqrt3)/(2/sqrt3)=-1/sqrt3*sqrt3/2=-1/2$ dunque $theta= -pi/6$
$sqrtZ rarr$ $omega_k=[sqrt(2/sqrt3); (-pi/6+2kpi)/2], k=0,1.$
$omega_(k_0)=[sqrt2/root(4)(3); (-pi/6*1/2)]= sqrt2/root(4)(3)(cos (pi/12) - i sin (pi/12))$;
$omega_(k_1)=[sqrt2/root(4)(3); (-pi/6+2pi)*1/2]=[sqrt2/root(4)(3); (11/6pi*1/2)]=[sqrt2/root(4)(3); (11/12pi)]= sqrt2/root(4)(3)(cos (11/12pi) + i sin (11/12pi))$
ora $11/12pi$ si trova nel secondo quadrante perchè lo posso scomporre come $pi-pi/12$ oppure dividendo $pi$ in frazioni di $pi/12$ ne conto undici e mi trovo che sto nel secondo quadrante....
la soluzione data dal libro è $sqrt2/root(4)(3)(cos (11/12pi) + i sin (11/12pi))$ e mi trovo, però si poteva anche scrivere $sqrt2/root(4)(3)(-cos (pi/12) + i sin (pi/12))$ avrà scritto così per far vedere he comunque ci sono vari modi per scrivere la soluzione?
Tutto giusto; modifica però una tua formula scrivendola così:
$sqrtZ rarr$ $omega_k=[sqrt(2/sqrt3); (-pi/6+2kpi)/2]_(k=0,1)$
Anche la tua ultima osservazione è giusta e secondo me il libro non l'ha fatta temendo di confondere le idee al risolutore: la formula che si ottiene direttamente è quella da lui citata e la tua ne è una conseguenza.
$sqrtZ rarr$ $omega_k=[sqrt(2/sqrt3); (-pi/6+2kpi)/2]_(k=0,1)$
Anche la tua ultima osservazione è giusta e secondo me il libro non l'ha fatta temendo di confondere le idee al risolutore: la formula che si ottiene direttamente è quella da lui citata e la tua ne è una conseguenza.
ok tutto chiaro come l'acqua.......
ora ho un'altro esercizio semplice solo che non so come "scrivere le soluzioni" trovate, mi spiego meglio:
devo soddisfare l'uguaglianza di:
$Z^5+Z^3-iZ^2-i=0$ tutto questo lo posso scrivere come: $Z^3(Z^2+1)-i(Z^2+1)=0 rarr (Z^3-i)(Z^2+1)=0$ risolvere quest'uguaglianza equivale a trovare le radici terze di $i$ e le radici quadrate di $-1$.
-1). $Z^3=-i$ $rarr$ $rho=1$; $theta=pi/2$;
$root(3)(Z) rarr$ $omega_k=[root(3)(1); (pi/2+2kpi)/3]_(k=0,1,2.)$
$omega_(k_0)=[1; pi/6]= sqrt3/2+1/2i= 1/2(sqrt3+i)$;
$omega_(k_1)=[1; 5/6pi]= -sqrt3/2+1/2i= 1/2(-sqrt3+i)$;
$omega_(k_2)=[1; 3/2pi]= -i$;
-2).$Z^2=-1$ $rarr$ $rho=1$ $theta=pi$
$sqrtZ rarr$ $omega_k=[sqrt(1); (pi+2kpi)/3]_(k=0,1.)$
$omega_(k_0)=[1; pi/2]=+i$;
$omega_(k_1)=[1; 3/2pi]= -i$;
ora il primo è fatto bene e il secondo non lo so... devo unire i due risultati o fare qualcosa per sul libro si trova $[i, -i text{(sol. doppia)}; 1/2(+-sqrt3+i)]$ non ho capito bene che vuol dire....
ora ho un'altro esercizio semplice solo che non so come "scrivere le soluzioni" trovate, mi spiego meglio:
devo soddisfare l'uguaglianza di:
$Z^5+Z^3-iZ^2-i=0$ tutto questo lo posso scrivere come: $Z^3(Z^2+1)-i(Z^2+1)=0 rarr (Z^3-i)(Z^2+1)=0$ risolvere quest'uguaglianza equivale a trovare le radici terze di $i$ e le radici quadrate di $-1$.
-1). $Z^3=-i$ $rarr$ $rho=1$; $theta=pi/2$;
$root(3)(Z) rarr$ $omega_k=[root(3)(1); (pi/2+2kpi)/3]_(k=0,1,2.)$
$omega_(k_0)=[1; pi/6]= sqrt3/2+1/2i= 1/2(sqrt3+i)$;
$omega_(k_1)=[1; 5/6pi]= -sqrt3/2+1/2i= 1/2(-sqrt3+i)$;
$omega_(k_2)=[1; 3/2pi]= -i$;
-2).$Z^2=-1$ $rarr$ $rho=1$ $theta=pi$
$sqrtZ rarr$ $omega_k=[sqrt(1); (pi+2kpi)/3]_(k=0,1.)$
$omega_(k_0)=[1; pi/2]=+i$;
$omega_(k_1)=[1; 3/2pi]= -i$;
ora il primo è fatto bene e il secondo non lo so... devo unire i due risultati o fare qualcosa per sul libro si trova $[i, -i text{(sol. doppia)}; 1/2(+-sqrt3+i)]$ non ho capito bene che vuol dire....
Bene; ti è sfuggito uno $Z^3=-i$ ma poi continui nel modo giusto, quindi era solo un errore di battitura per $Z^3=i$. Soluzione doppia vuol dire che l'hai trovata due volte, ed è così.
ma ho trovato solo due volte: $-i$ e $1/2(+-sqrt3+i)$ mentre $+i$ no.....
correggo l'errore di battitura....
correggo l'errore di battitura....
Osserva il risultato dato dal libro: la frase "soluzione doppia" si riferisce solo a $-i$, che infatti è l'unico trovato due volte. Hai anche trovato, ma una sola volta ciascuno, $1/2(+sqrt3+i)$ e $1/2(-sqrt3+i)$, che il libro riassume nella scritta riportata.
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