Numeri complessi: esercizi...

[kioccolatino90]

buona sera a tutti, avrei dei semplici esercizi sui numeri complessi di cui non capisco dei piccoli dettagli, ad esempio:

trovare la parte immaginaria di: $Imm((sqrt3/2+i)/(2-i))=$ $(sqrt3+2i)/(2-i)*(2+i)/(2+i)=$ $(2sqrt3-2+sqrt3i+4i)/5$ $rArr$ $((sqrt3+4)/5)i$ però sul libro non mi trovo, da come risultato: $((sqrt3+4)/10)i$ dove ho sbagliato? i calcoli sembrano fatti bene, li ho ricontrollati più volte.....

[giammaria2]

Non garantisco di non dire bestialità, ma in un tuo passato intervento hai notato che $i=e^(i pi/2)$; supponendo che il tuo sia un logaritmo naturale, ne consegue $ln i=ln(e^(i pi/2))=i pi/2$. Se la base era un'altra, allora $log_a i=(ln i)/(ln a)=i pi/(2ln a)$

[kioccolatino90]

no era in base $e$ ma come fa ad uscire $ipi/2$??? si è tolto il logaritmo con $e$?

[giammaria2]

Sì; è la proprietà $log_a a^x=x$, diretta conseguenza della definizione di logaritmo.

[kioccolatino90]

ok capito!!!! grazie.....!!!!!!

[kioccolatino90]

Ma $Im[(2-i)*z]=1$ si risolve:

dato che $z=(u+iv)$ allora l'equazione può essere scritta come:

$Im[(2-i)*(u+iv)]=1$ eseguo il prodotto

$Im[2u+2iv-iu+v]=1$ prendo soltanto i coefficienti delle parti immaginarie e si ha:

$2-1=1$ e per cui $1=1$ ed ho verificato l'equazione?

[giammaria2]

Giusto fino alla penultima riga, ma poi devi prendere il coefficiente di $i$, quindi ottieni $2v-u=1$

[kioccolatino90]

e poi come si procede oppure finisce così?

[giammaria2]

Volendo procedere, puoi ricavare $u=2v-1$ e quindi dire che sono soluzione tutti gli infiniti numeri del tipo $z=2v-1+iv$, essendo $v$ un qualsiasi numero reale. Come vedi, è una prosecuzione talmente minima che l'esercizio poteva dirsi concluso.

[kioccolatino90]

ok capito grazie mille!!!

[kioccolatino90]

chiedo scusa, ma ogni tanto mi capita qualche esercizo che non so se ho svolto bene dato che è il primo che mi capita e di cui non ho la traccia.....

l'esercizio mi chiede di determinare gli eventuali valori di $k in RR$ tali che il numero $(k-2+i)/(i-k) in CC$ sia reale... io l'ho svolto dando direttamente una soluzione:

per $k=1$ il numero complesso $(k-2+i)/(i-k)$ diventa:

$(1-2+i)/(i-1)= (i-1)/(i-1)$ moltiplico e divido per il coniugato di $(i-1)$:

$(i-1)/(i-1)*(i+1)/(i+1)=2/2=1$ che è reale....

[giammaria2]

Resta il dubbio che possano esserci altre soluzioni; inoltre con valori meno semplici non sarebbe stato possibile vedere direttamente la soluzione. Il metodo giusto è fare la divisione, cioè razionalizzare il denominatore (uso la parola razionalizzare perché $i$ è sostanzialmente una radice):

$(k-2+i)/(i-k)*(i+k)/(i+k)=...=((k^2-2k-1)+i(2k-2))/(-1-k^2)$

che è reale se $2k-2=0->k=1$

[kioccolatino90]

ok quindi anche se ho tirato a caso e si trova, l'esercizio è comunque sbagliato? giusto?

[giammaria2]

Mi spiace dirtelo, ma di solito un esercizio azzeccato per puro caso non è considerato giusto, anzi spesso i professori pensano a copiatura. Puoi limitare l'ultimo rischio con frasi del tipo "Si vede che..." ma non è un gran rimedio.

[kioccolatino90]

ok capito grazie mille!!!!!!!