Numeri complessi: esercizi...

kioccolatino90
buona sera a tutti, avrei dei semplici esercizi sui numeri complessi di cui non capisco dei piccoli dettagli, ad esempio:

trovare la parte immaginaria di: $Imm((sqrt3/2+i)/(2-i))=$ $(sqrt3+2i)/(2-i)*(2+i)/(2+i)=$ $(2sqrt3-2+sqrt3i+4i)/5$ $rArr$ $((sqrt3+4)/5)i$ però sul libro non mi trovo, da come risultato: $((sqrt3+4)/10)i$ dove ho sbagliato? i calcoli sembrano fatti bene, li ho ricontrollati più volte.....

Risposte
kioccolatino90
capito, tutto chiaro.....

poi ho questa: $z^3+z+2=0$, ora come posso fare??? non so da dove cominciare parto da Ruffini?

giammaria2
Sì.

kioccolatino90
ma non mi vado a complicare le cose?

giammaria2
Direi proprio di no, anche perché è l'unico metodo possibile (a parte eventuali macchiavellismi particolarmente ingegnosi, o metodi approssimati o simili)

kioccolatino90
a me la divisione esce con resto $1$ se divido per $-1$, per $+1$ esce $+4$ come devo fare?

giammaria2
Credo che tu abbia dimenticato di completare il polinomio, cioà di scriverlo come $z^3+0z^2+z+2=0$. Comunque non dividi per $-1$: se nella tabella della divisione con Ruffini scrivi quel numero, stai dividendo per $z+1$.

kioccolatino90
poi avrei un paio di dubbi su questa:

$z^4+z^2+3=0$ ho provato con Ruffini ma non ci sono riuscito a scomporlo, poi ho provato con la variabile $t$, ponendo $z^2=t$:

$t^2+t+3=0 rarr t_(12)=(-1+-sqrt(-11))/2$ e per cui le radici sono:

$t_1=-1/2-(sqrt11)/2i$ e $t_2=-1/2+(sqrt11)/2i$ ora passo alla variabile $z$ e risulta: $z^2=-1/2-(sqrt11)/2i$ e $z^2=-1/2+(sqrt11)/2i$

per cui si ha:

$z=+-sqrt(-1/2-(sqrt11)/2i)$ e $z=+-sqrt(-1/2+(sqrt11)/2i)$ si trova la soluzione con il libro, però non capisco:

-1). Perchè non ha calcolato le radici come ha fatto fino ad ora?

-2). E perchè poi ha messo il $+-$ prima della radice? cioè le soluzioni in campo complesso non sono già tutte incluse? come avevamo detto per $Z^4+i=0$....

giammaria2
1) Credo che non abbia calcolato le radice solo per semplicità: $theta$ era un angolo non speciale e questo obbligava a calcoli numerici con la calcolatrice. A dire il vero, c'era un modo per aggirare l'ostacolo, ma evidentemente il tuo libro non l'ha preso in considerazione.
2) Intende dire: calcola una qualsiasi radice di questo numero; l'altra gli è uguale ma con segno cambiato. Questo succede per tutte le radici quadrate: prova a controllare con una qualsiasi fatta in passato. Questa scritta è stata messa in conseguenza del fatto che le radici non sono state calcolate ed è abbastanza consueta, anche se un pignolo potrebbe avere qualche critica.

kioccolatino90
capito, quindi con $Z^4+i=0$ se calcolavo anche le radici di $-root(4)(-i)$ trovavo le stesse trovate per $+root(4)(-i)$ ma cambiate di segno?

giammaria2
Calcolando le radici quarte di $-i$, per $theta/4$ hai trovato quattro angoli: i due più piccoli sono $(3pi)/8$ e $(7pi)/8$, mentre gli altri due sono $(11pi)/8=pi+(3pi)/8$ e $(15pi)/8=pi+(7pi)/8$. Poiché gli ultimi sono diametralmente opposti ai primi, hanno seno e coseno uguali ma con segno opposto, quindi la radice corrispondente è uguale all'altra cambiata di segno. E' un po' come nelle equazioni biquadratiche: se ci sono le soluzioni 2 e 5, ci sono anche -2 e -5 e il tutto può essere riassunto dicendo che le soluzioni sono $+-2,+-5$. Questo vale per tutte le radici con indice pari; non vale se l'indice è dispari.
Quanto a $-root(4)(-i)$, ha le stesse soluzioni della precedente: in teoria cambia il loro segno, ma il risultato finale è lo stesso, perché quella col più assume il meno e viceversa.

kioccolatino90
ok ho capito quindi si avevano 8 soluzioni uguali perchè $11/8pi$ assumeva valore $3/8pi$ idem per le altre....

kioccolatino90
poi ho questa molto semlice tuttavia non mi trovo in parte con il risultato:

$(z+1)^2=1-sqrt3i$, essendo $omega^n=z$ posso dire che: $(z+1)=omega$

$omega^2=1-sqrt3i$

e ora ricavo le radici quadrate di $1-sqrt3i$, da qui ho che $rho=sqrt2$ e $tg theta=sqrt3 rarr theta=pi/3$

$sqrt([sqrt2;pi/3])$ $rarr$ $omega_k=[sqrt2; (pi/3+2kpi)/2]_(k=0,1.)$

$omega_k_0=[sqrt2; (pi/6)]=sqrt2(cos (pi/6)+i sin (pi/6))= sqrt2(sqrt3/2+1/2i)=sqrt2/2(sqrt3+i)$

$omega_k_1=[sqrt2; (pi/3+2pi)1/2]=[sqrt2; (7/3pi)1/2]=[sqrt2; (7/6pi)]=sqrt2(-cos (pi/6)-i sin (pi/6))= sqrt2(-sqrt3/2-1/2i)=-sqrt2/2(sqrt3+i)$

sostituisco le radici trovate in $z+1=omega_(...)$

-1). $z_(k_0)+1= omega_(k_0)$

$z_(k_0)= -1+sqrt6/2+sqrt2/2i$

-2). $z_(k_1)+1= omega_(k_1)$

$z_(k_1)= -1-sqrt6/2-sqrt2/2i$ e per abbreviare posso scrivere che le soluzioni sono: $[-1+-sqrt6/2+-sqrt2/2i]$ invece il libro riporta che le soluzioni sono $[-1+-sqrt6/2-+sqrt2/2i]$ mi fa pensare quindi che le soluzione per $z_(k_0)$ e $z_(k_1)$ siano sbagliate che siano:

$z_(k_0)= -1+sqrt6/2-sqrt2/2i$ e $z_(k_1)= -1-sqrt6/2+sqrt2/2i$ quindi avrei sbagliato gli angoli a me sembrano giusti...li ho controllati più volte...

Gi81
Ciao, penso che l'errore sia qui:
"domy90":
ricavo le radici quadrate di $1-sqrt3i$, da qui ho che $rho=sqrt2$ e $tg theta=sqrt3 rarr theta=pi/3$

A me viene $rho=2$ e $theta=-pi/3$, in quanto

$rho=sqrt(1+3)=sqrt(4)=2$
$tg(theta)=-sqrt(3)/1 => theta=-pi/3$

kioccolatino90
grazie GI8 solo che ora non si trovano le soluzioni:

$(z+1)^2=1-sqrt3i$, essendo $omega^n=z$ posso dire che: $(z+1)=omega$

$omega^2=1-sqrt3i$

$rho=2$
$tg theta=-sqrt3 rarr theta=-pi/3$

$sqrt([2;-pi/3])$ $rarr$ $omega_k=[2; (-pi/3+2kpi)/2]_(k=0,1.)$

$omega_(k_0)=[2; (-pi/6)]=2(cos (pi/6)-i sin (pi/6))= 2(sqrt3/2-1/2i)=sqrt3-i$

$omega_(k_1)=[2; (-pi/3+2pi)1/2]=[2; (5/6pi)]=2(-cos (pi/6)+i sin (pi/6))= 2(-sqrt3/2+1/2i)=-sqrt3+i$

sostituisco le radici trovate in $z+1=omega_(...)$

$z_(k_0)= -1+sqrt3-i$

$z_(k_1)= -1-sqrt3+i$

per abbreviare posso scrivere che le soluzioni sono: $[-1+-sqrt3-+i]$ e non si trova perchè il libro riporta che le soluzioni sono $[-1+-sqrt6/2-+sqrt2/2i]$ dove ho sbagliato ancora?

Gi81
non è
"domy90":
$sqrt([2;-pi/3])$ $rarr$ $omega_k=[2; (-pi/3+2kpi)/2]_(k=0,1.)$

Ma
$sqrt([2;-pi/3])$ $rarr$ $omega_k=[sqrt(2); (-pi/3+2kpi)/2]_(k=0,1.)$
Ovvero devi eseguire la radice quadrata di $rho$, ok?

kioccolatino90
ok grazie, ieri in particolare non capivo niente.......questa di oggi è un pò più complessa:

$(z-2)^2(bar z+2)=4z(z-2)$ come mi consigliate di procedere?

io ho fatto così:

$(z-2)^2(bar z+2)=4z^2-8z)$ poi dato che $z-2=omega$

$omega^2=-bar z-2+4z^2-8z$ poi mi sono bloccato non so come procedere....

kioccolatino90
forse però è meglio se la tratto come un' equazione e svolgo i calcoli normalmente, quindi mi viene:

$(z-2)^2(bar z+2)=4z(z-2)$

$(z^2-4z+4)(bar z+2)=4z^2-8z$

$z^2bar z+ 2z^2-4zbar z-8z+4barz+8=4z^2-8z$

$z^2bar z-2z^2-4zbar z+4barz+8=0$

$z(zbar z-2z)-4zbar z+4barz+8=0

$z(zbar z-2z)= +4bar z(z-1)-8$ $rarr z=(+4bar z(z-1)-8)/(z(bar z-2))$ $rarr z=(+4bar z(z-1)-8)/(z(bar z-2))$ però non so come continuare....

p.s.
$bar z$ è il coniugato del numero $z$

giammaria2
Io comincerei così:
$(z-2)^2(bar z+2)-4z(z-2)=0$

$(z-2)[(z-2)(bar z +2)-4z]=0$

e poi applicherei la legge di annullamento del prodotto. Per risolvere la seconda equazione, data la presenza del coniugato, porrei $z=u+iv$ e poi ricorderei che un numero complesso è uguale a zero se e solo se si annullano sia la parte reale che quella immaginaria: ottieni un sistema da cui ricavare $u,v$. Eventuali sue soluzione immaginarie o complesse vanno scartate perché queste due variabili sono per definizione reali.

EDIT: ho provato a fare i calcoli e se non li ho sbagliati il risultato è decisamente insolito: ottengo $u^2+v^2-4u-4=0$, mentre l'altra equazione è un'identità. Moderatori, aiuto: sbaglio in qualcosa?

kioccolatino90
questa non l'equazione della circonferenza?

sgnurlo
Sì anch'io ho fatto come giammaria... L'equazione $ (z-2)(\bar z+2) -4z=0 $ diventa $ z\barz-2(z+\barz)-4=0 \quad\iff\quad |z|^2 -4 \Re z - 4 = 0 $, cioè proprio $ u^2 + v^2 -4u - 4 = 0 \quad\iff\quad (u-2)^2 + v^2 = 8 $.
Quindi alla fine le soluzioni sono tutti i punti della circonferenza di centro $2$ e raggio $ 2\sqrt(2) $ unita al suo centro... simpatico!

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