Numeri complessi: esercizi...
buona sera a tutti, avrei dei semplici esercizi sui numeri complessi di cui non capisco dei piccoli dettagli, ad esempio:
trovare la parte immaginaria di: $Imm((sqrt3/2+i)/(2-i))=$ $(sqrt3+2i)/(2-i)*(2+i)/(2+i)=$ $(2sqrt3-2+sqrt3i+4i)/5$ $rArr$ $((sqrt3+4)/5)i$ però sul libro non mi trovo, da come risultato: $((sqrt3+4)/10)i$ dove ho sbagliato? i calcoli sembrano fatti bene, li ho ricontrollati più volte.....
trovare la parte immaginaria di: $Imm((sqrt3/2+i)/(2-i))=$ $(sqrt3+2i)/(2-i)*(2+i)/(2+i)=$ $(2sqrt3-2+sqrt3i+4i)/5$ $rArr$ $((sqrt3+4)/5)i$ però sul libro non mi trovo, da come risultato: $((sqrt3+4)/10)i$ dove ho sbagliato? i calcoli sembrano fatti bene, li ho ricontrollati più volte.....
Risposte
mi è venuto un dubbio in quest'esercizio precedente:
non dovrebbe essere:
$|u+iv+1|e^(3iu-3v)=sqrt 10 e^(-3iv)->|u+iv+1|e^(3iu)*e^(-3v)=sqrt 10 e^(-3vi)$?
"giammaria":
... Posto $z=u+iv$, si ottiene
$|u+iv+1|e^(3iu-3v)=sqrt 10 e^(-3v)->|u+iv+1|e^(3iu)*e^(-3v)=sqrt 10 e^(-3v)$
non dovrebbe essere:
$|u+iv+1|e^(3iu-3v)=sqrt 10 e^(-3iv)->|u+iv+1|e^(3iu)*e^(-3v)=sqrt 10 e^(-3vi)$?
ah no ho capito dato che abbiamo diviso per $e^(-3v)$ viene $(e^(-3vi))/(e^(-3v))=(e^i)/e$ poi con le proprietà delle potenze dato che $e$ ha arggomento zero esce $e^(i*0)$ vero?
Mettiamoci d'accordo: da come avevi postato l'esercizio, all'esponente del secondo membro la $i$ non c'era e questo rendeva lecita la mia semplificazione. Se invece c'è non si può semplificare e l'intero esercizio va svolto diversamente; ti prego però di riscriverne il testo, in modo da non doverlo cercare in pagine arretrate.
Nel tuo ultimo intervento ci sono due errori:
- non si possono semplificare fra loro gli esponenti; al massimo puoi fare $(e^(-3iv))/(e^(-3v))=((e^i)/e)^(-3v)$;
- le proprietà delle potenze dicono che $(e^i)/e=e^(i-1)$
Nel tuo ultimo intervento ci sono due errori:
- non si possono semplificare fra loro gli esponenti; al massimo puoi fare $(e^(-3iv))/(e^(-3v))=((e^i)/e)^(-3v)$;
- le proprietà delle potenze dicono che $(e^i)/e=e^(i-1)$
ok scusami...allora l'esercizio era ${(|z+1|e^(3iz)=sqrt 10 e^(-3Im(z))), (|Re(z)|<=2):}$
mi sono sbagliato la $i$ non andava al secondo membro perchè con $Im(z)$ chiede solo il coefficiente della parte immaginaria del numero complesso...
"giammaria":
... Posto $z=u+iv$, si ottiene
$|u+iv+1|e^(3iu-3v)=sqrt 10 e^(-3v)->|u+iv+1|e^(3iu)*e^(-3v)=sqrt 10 e^(-3v)$
mi sono sbagliato la $i$ non andava al secondo membro perchè con $Im(z)$ chiede solo il coefficiente della parte immaginaria del numero complesso...
Vero, quindi la soluzione precedente andava bene. Nella tua ultima stesura, ad esponente del secondo membro manca il $-3$ che figurava nella prima; penso che in realtà ci fosse, perché in sua assenza l'equazione che ottieni non è risolubule in modo esatto.
si giusto ora correggo.....grazie mille!!!
Salve: come premessa vi ringrazio del servizio offerto.
Devo scrivere in forma trigonometrica una frazione il quale denominatore è: 1-i
Calcolo p = radice di 2
cosθ= radice di 2 fratto 2
senθ= idem
perchè nei procedimenti mi dice che a denominatore risulta essere [radice di 2, MENO pi greco/4 ] e non ''+'' ?
Devo scrivere in forma trigonometrica una frazione il quale denominatore è: 1-i
Calcolo p = radice di 2
cosθ= radice di 2 fratto 2
senθ= idem
perchè nei procedimenti mi dice che a denominatore risulta essere [radice di 2, MENO pi greco/4 ] e non ''+'' ?
Perché $sen theta=-sqrt 2/2$
buon giorno a tutti e scusate se riempio questo agomento pieno di esercizi;
l'esercizio che posto è uno particolare, lo vidi la prima volta in questo stesso forum so già come si svolge putroppo, però volevo un chiarimento...
$Z=i^i$ come prima cosa scrivo $i$ in forma trigonometrica $[1;pi/2]$, essendo che ogni mumero complesso diverso da zero può essere scritto in forma esponenziale ossia $[1;pi/2]= e^(ipi/2)$ e dunque:
$(e^(ipi/2))^i=e^(-pi/2)= 1/(sqrt(e^pi))$. e qui sarebbe finito... ora mi chiedo ma non si può continuare e cioè non si possono calcolare le radici al denominatore però prima lo scriviamo in forma trigonometrica:
$1/(sqrt[1;pi])$?
l'esercizio che posto è uno particolare, lo vidi la prima volta in questo stesso forum so già come si svolge putroppo, però volevo un chiarimento...
$Z=i^i$ come prima cosa scrivo $i$ in forma trigonometrica $[1;pi/2]$, essendo che ogni mumero complesso diverso da zero può essere scritto in forma esponenziale ossia $[1;pi/2]= e^(ipi/2)$ e dunque:
$(e^(ipi/2))^i=e^(-pi/2)= 1/(sqrt(e^pi))$. e qui sarebbe finito... ora mi chiedo ma non si può continuare e cioè non si possono calcolare le radici al denominatore però prima lo scriviamo in forma trigonometrica:
$1/(sqrt[1;pi])$?
$e^(-pi/2)$ è un numero reale positivo, quindi la radice che scrivi successivamente va intesa in senso aritmetico e non si può continuare. Stai facendo confusione: supposto che $x$ sia un numero reale, $e^(ix)$ è complesso e con modulo 1, ma $e^x$ è reale e il suo modulo non è 1 (a meno che sia $x=0$)
ma fino a $1/(sqrt(e^pi))$ ho fatto bene? ho capito il modulo dipende da x...
Sì, fino a quel punto era giusto.
"giammaria":
Stai facendo confusione: supposto che $x$ sia un numero reale, $e^(ix)$ è complesso e con modulo 1, ma $e^x$ è reale e il suo modulo non è 1 (a meno che sia $x=0$)
non ho capito bene questo pezzetto....
Supponiamo che sia $x=pi$: allora $e^(ix)=cos pi+isen pi=-1$. Invece $e^x=2,7^(3,14)=23,14$ (ho fatto il calcolo con la calcolatrice, usando per $e, pi$ valori più precisi di quelli scritti).
ah si giusto ho capito!!!!!!!!grazie!!!!!
Grazie per l'aiuto datomi nella pagina precendete.
Approfitto un'ultima volta ( si spera! ) della vostra gentilezza per chidervi come agire di fronte a queste tipologie di equazioni in campo complesso:
$z^5+z^3-iz^2-i=0$
$z^3 + z + 2 = 0$ ( quest'ultimo penso con ruffini , sopra non sono riuscito ad applicarlo)
Quelle biquadratiche dovrebbero essere semplici , ma la tipologia qui sopra non so ancora come svolgerla .
Poi ho ancora una perplessità, a volte vedo equazioni in campo complesso svolte utilizzando la relazione $z=a + ib$ . Questo è possibile farlo a piacimento oppure ci sono dei casi che richiedo precisamente quella metodologia?
Approfitto un'ultima volta ( si spera! ) della vostra gentilezza per chidervi come agire di fronte a queste tipologie di equazioni in campo complesso:
$z^5+z^3-iz^2-i=0$
$z^3 + z + 2 = 0$ ( quest'ultimo penso con ruffini , sopra non sono riuscito ad applicarlo)
Quelle biquadratiche dovrebbero essere semplici , ma la tipologia qui sopra non so ancora come svolgerla .
Poi ho ancora una perplessità, a volte vedo equazioni in campo complesso svolte utilizzando la relazione $z=a + ib$ . Questo è possibile farlo a piacimento oppure ci sono dei casi che richiedo precisamente quella metodologia?
$z^5+z^3-iz^2-i=0$ Questa si risolve con i raccoglimenti $z^3(z^2+1)-i(z^2+1)=0$ che diventa $(z^2+1)*(z^3-i)=0$
$z^3 + z + 2 = 0$ Su questa Ruffini va benissimo, viene con $-1$
Potresti farlo quasi sempre, ma è un'inutile complicazione se l'esercizio è risolvibile con le normali formule di algebra dei reali. Diventa una necessità quando non compare solo la variabile $z$, ma anche il suo coniugato o il suo modulo, o entrambi.
$z^3 + z + 2 = 0$ Su questa Ruffini va benissimo, viene con $-1$
"fantomius":
a volte vedo equazioni in campo complesso svolte utilizzando la relazione $z=a + ib$ . Questo è possibile farlo a piacimento oppure ci sono dei casi che richiedo precisamente quella metodologia?
Potresti farlo quasi sempre, ma è un'inutile complicazione se l'esercizio è risolvibile con le normali formule di algebra dei reali. Diventa una necessità quando non compare solo la variabile $z$, ma anche il suo coniugato o il suo modulo, o entrambi.
stavo pensando...Ma $z=e^(ie)$ a che cosa è uguale??? io ho pensato: $e^([1;pi/2]e)$ però poi non so andare avanti....
Poiché $e$ è un numero reale, $e^(ie)=cose+isin e$. Naturalmente si intende $e$ radianti, cioè circa 156°.
giusto!!!! Se invece abbiamo il logaritmo, cioè $z=log i$? si trasfoma il logaritmo nell'esponenziale?
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