Numeri complessi: esercizi...

[kioccolatino90]

buona sera a tutti, avrei dei semplici esercizi sui numeri complessi di cui non capisco dei piccoli dettagli, ad esempio:

trovare la parte immaginaria di: $Imm((sqrt3/2+i)/(2-i))=$ $(sqrt3+2i)/(2-i)*(2+i)/(2+i)=$ $(2sqrt3-2+sqrt3i+4i)/5$ $rArr$ $((sqrt3+4)/5)i$ però sul libro non mi trovo, da come risultato: $((sqrt3+4)/10)i$ dove ho sbagliato? i calcoli sembrano fatti bene, li ho ricontrollati più volte.....

[giammaria2]

Non so se la cosa ti interessa, ma penso non sia male segnalarti che l'equazione $z^3=|z|^2$ poteva essere risolta anche in modo molto più rapido e “concettoso”. Tu sai che se $z[rho; theta]$, allora $z^3[rho^3;3 theta]$ e che $|z|=rho$, quindi l'equazione è

$rho^3(cos 3theta+isin 3 theta)=rho^2$

Una prima soluzione si ha per $rho=0$ e quindi $z=0$; se invece il modulo non è nullo, possiamo semplificare ottenendo

$rho(cos 3theta+isin 3 theta)=1$

Due numeri complessi sono uguali se hanno lo stesso modulo e lo stesso argomento; il secondo membro ha modulo 1 ed argomento 0 (poiché è reale positivo), quindi
${(rho=1),(3 theta=0+2k pi ->theta=0+(2kpi)/3):}
da cui ricavi le tre soluzioni $z=1$ e $z=-1/2+-isqrt 3/2$

[kioccolatino90]

ma nel sistema quando mettiamo $theta= 0+(2kpi)/3$, lo zero indica che si parte sempre dall'angolo zero?
forse manca una solzione, devo ottenere anche un altro zero (soluzione doppia)....

[giammaria2]

La soluzione doppia si ha quando $rho=0$, perché la semplificazione è stata per $rho^2$. Lo zero (che potevo anche non scrivere) di $theta =0+(2k pi)/3$ indica che $theta$ può assumere i valori $0, (2pi)/3, (4pi)/3$

[kioccolatino90]

ah ho capito dato che è al quadrato otteniamo due soluzioni, più o meno...

[kioccolatino90]

poi ho quest'altra che sono riuscito a svolgerla solo che il risultato è esatto in parte....

$(2z-1)^2=-sqrt2i$ so che $omega=(2z-1)$ ed ho:

$omega^2=-sqrt2i$ ricavo le radici quadrate di $-sqrt2i$

$sqrt(-sqrt2i)$ dunque $rho=sqrt2$

$costheta=0$; $sin theta= -1$

e si ha $theta=3/2pi$ calcolo le radici quadrate: $omega_k=[sqrt(sqrt2); (3/2pi+2kpi)/2]_(k=0,1)$:

$omega_(k_0)=[root(4)(2);3/4pi]=root(4)(2)(-sqrt2/2+sqrt2/2i)= -root(4)(8)/2+root(4)(8)/2i$

$omega_(k_1)=[root(4)(2);7/4pi]=root(4)(2)(sqrt2/2-sqrt2/2i)= +root(4)(8)/2-root(4)(8)/2i$

sotituisco questi valori in $omega=(2z-1)$:

$(2z-1)=omega_(k_0)$ $rarr (2z-1)=-root(4)(8)/2+root(4)(8)/2i rarr 2z=-root(4)(8)/2+1+root(4)(8)/2i rarr z=(-(root(4)(8)+2)/2+root(4)(8)/2i)*1/2 rarr z=-(root(4)(8)+2)/4+root(4)(8)/4i$

$(2z-1)=omega_(k_1)$ $rarr (2z-1)=+root(4)(8)/2-root(4)(8)/2i rarr 2z=+root(4)(8)/2+1-root(4)(8)/2i rarr z=(+(root(4)(8)+2)/2-root(4)(8)/2i)*1/2 rarr z=+(root(4)(8)+2)/4-root(4)(8)/4i$

il libro riporta $1/2+-root(4)(8)/4(1-i)$ a parte cioè che ha messo in evidenza non so dove ha preso quell'$1/2$....

[giammaria2]

Per il primo intervento
E' una regola generale: se un fattore è elevato a potenza, la soluzione corrispondente ha molteplicità uguale all'esponente. Per esempio, l'equazione
$x^3(x-2)(x^2-1)^2=0$
ha come soluzioni: $x=0$ (tripla), $x=2$ (semplice), $x=+-1$ (entrambe doppie). Questo perchè possiamo scriverla come
$x*x*x*(x-2)*(x-1)*(x+1)*(x-1)*(x+1)=0$
e poi possiamo applicare la legge di annullamento del prodotto.

Per il secondo
Hai trovato le due soluzioni $omega_(k=0)=-root(4)8/2(1-i)$ e $omega_(k=1)=root(4)8/2(1-i)$ che possono essere riassunte in $omega_(1,2)= +-root(4)8/2(1-i)$. Il libro, da $2z-1=omega$, ricava $z=1/2+1/2 omega=1/2+-root(4)8/4(1-i)$. La tua soluzione è scritta diversamente ma è la stessa, a parte un errore di segno nei calcoli finali della prima $z$. Un erroretto di forma (ma il risultato è giusto): nelle prime righe, doveva essere $rho=sqrt((-sqrt2)^2)=sqrt2$

[kioccolatino90]

l'errore di segno non lo vedo..... a questo passaggio ti riferisci?

$(2z-1)=omega_(k_0)$ $rarr (2z-1)=-root(4)(8)/2+root(4)(8)/2i rarr 2z=-root(4)(8)/2+1+root(4)(8)/2i rarr z=(-(root(4)(8)+2)/2+root(4)(8)/2i)*1/2 rarr z=-(root(4)(8)+2)/4+root(4)(8)/4i$

[giammaria2]

Gli ultimi due passaggi vanno corretti così

$(2z-1)=omega_(k_0)$ $rarr (2z-1)=-root(4)(8)/2+root(4)(8)/2i rarr 2z=-root(4)(8)/2+1+root(4)(8)/2i rarr z=((-root(4)(8)+2)/2+root(4)(8)/2i)*1/2 rarr z=(-root(4)(8)+2)/4+root(4)(8)/4i$

[kioccolatino90]

ok capito, perchè rendo negativo anche il enominatore della frazione....

mentre poi ho: $Re(z^2)+Im[z (bar(1-2i))]=-3$ che ho risolto nella maniera seguente:

$Re(z^2)+Im[z (1+2i)]=-3$ essendo $z=u+iv$, l'eq. diventa:

$Re(u^2-v^2+2uvi)+Im[(u+iv)(1+2i)]=-3$

$(u^2-v^2)+Im[u-25v+2iu+iv]=-3$

$u^2-v^2+2iu+iv+3=0$

$u^2-v^2+2u+v+3=0$ anche questa è un'equazione di una funzione in particolare sembrerebbe l'iperbole solo che non so dove trovare le soluzioni cioè sono infinite però penso alle coordinate dei due fuochi.
Ciò non mi convince perchè l'equazione non mi sembra quella dell'iperbole....

[giammaria2]

Va bene, ma cancella il penultimo passaggio: le $i$ non devono esserci. L'equazione è quella di un'iperbole equilatera traslata, con centro in $C(-1,1/2)$; ti conviene ripassare la teoria delle coniche traslate.

[kioccolatino90]

ma il libro non da questa soluzione dice che ce ne sono 2 che sono $+-1-+2i$, forse ho sbagliato procedimento?

[giammaria2]

Io avrei fatto esattamente come te, intendendo che $Imm[a+ib]=b$; viste le soluzioni, è chiaro che il libro invece intende $Imm[a+ib]=ib$ e forse ha ragione lui. A questo punto la formula che ti avevo detto di cancellare divente importante e partiamo di lì.

$u^2-v^2+i(2u+v)=-3$
Due numeri complessi sono uguali se hanno uguali la parte reale e quella immaginaria, quindi
${(u^2-v^2=-3), (2u+v=0):}$
e risolvendo questo sistema trovi proprio le soluzioni del libro.

[kioccolatino90]

forse ho trovato l'errore e stà nella traccia, ti chiedo scusa: la traccia è:

$Re(z^2)+i Im[z (bar(1-2i))]=-3$ mancava la $i$ accanto a $Im$:

dunque veniva:

$Re(z^2)+i Im[z (1+2i)]=-3$

$Re(u^2-v^2+2uvi)+i Im[(u+iv)(1+2i)]=-3$

$(u^2-v^2)+i Im[u-2v+2iu+iv]=-3$

$u^2-v^2+Im[ui-2iv-2u-v]+3=0$

$u^2-v^2+u-2v+3=0$ mica questo non risolve il problema?

[giammaria2]

In questo modo ritorni al guaio iniziale. La modifica che hai fatto nella traccia dà ragione alla mia idea che per "parte immaginaria" si intende il solo coefficiente di $i$: quindi
$iIm[u-2v+i(2u+v)]=i(2u+v)$
Si prosegue poi come ti ho scritto nel mio post precedente.
Una piccola osservazione: tu hai prima moltiplicato per $i$ e poi calcolato la parte immaginaria, ma nel testo queste operazioni erano nell'ordine opposto e il risultato è ben diverso. Guarda questo esempio:
$iIm(3+2i)=i*2=2i$: facendo prima la moltiplicazione ottieni invece $Im(3i-2)=3$

[kioccolatino90]

ah, grazie non ci avevo pensato... ma questo non centra con il fatto che nei numeri complessi il prodotto gode delle proprietà commutativa e associativa? perchè se centra allora è falso....

[giammaria2]

Il prodotto gode delle proprietà che dici, ma questo non c'entra con il trovare la parte reale o immaginaria di un numero.

[kioccolatino90]

mi trovo vorrei togliermi un attimo una piccola curiosità:

parto dalla seconda equazione del sistema e ottengo $v=-2u$ sostituisco nella seconda e trovo che $u=+-1$ dunque può essere:

-1). ${(u=-1),(v=-2(-1)=+2):}$ dunque $z=-1+2i$

-2). ${(u=+1),(v=-2(+1)=-2):}$ dunque $z=+1-2i$

riassumo il tutto come: $z=-+1+-2i$ ora il libro riporta al contrario cioè $z=+-1-+2i$ è la stessa cosa solo che ha invertito....
ora, può essere dovuto dal fatto che lui ha calcolato prima per $+1$ e poi per $-1$??? di solito per quale valore si parte per prima??? io penso che si va dal valore negativo al valore positivo...

[Gi81]

"domy90":iassumo il tutto come: $z=-+1+-2i$ ora il libro riporta al contrario cioè $z=+-1-+2i$ è la stessa cosa solo che ha invertito....
ora, può essere dovuto dal fatto che lui ha calcolato prima per $+1$ e poi per $-1$??? di solito per quale valore si parte per prima??? io penso che si va dal valore negativo al valore positivo...

E' assolutamente indifferente

[kioccolatino90]

ok grazie per il chiarimento Gi8 e grazie anche a giammaria, avrei un'ultima equazione frazionaria:

$(1+zi)/(zi+1)=z$ il primo tentativo di risolverla era quello di semplificare numeratore e denominatore, sono le stesse quantità ma poi ho visto il risultato e ho pensato che non era così il procedimento.....

il secondo tentativo che ho fatto è quello di moltiplicare e dividere per $1-zi$ e quindi mi viene:


$(1+zi)/(1+zi)*(1-zi)/(1-zi)=z$

$(1+z^2)/(1+z^2)=z$

$(1+z^2)/(1+z^2)-z=0$

$((1+z^2)-z(1+z^2))/(1+z^2)=0$

$(1+z^2-z-z^3)/(1+z^2)=0$

$(-z^3+z^2-z+1)/(1+z^2)=0$ ora devo mettere a sistema giusto??? devono valere entrambi zero...

[giammaria2]

La prima idea era giusta: dovevi imporre $zi+1!=0$ e poi semplificare. Il tutto è decisamente troppo facile, quindi controlla bene di non aver sbagliato nel leggere il testo. Eventualmente posta le soluzioni date dal libro; forse da queste si può risalire ad eventuali errori di stampa.
Quanto alla domanda finale, no, non devi mettere a sistema: una frazione vale zero quando si annulla il numeratore ma non il denominatore. La condizione "denominatore diverso da zero" costituisce il campo di esistenza; per abitudine e comodità viene sempre studiata a parte, quindi basta imporre "numeratore uguale a zero". Nel tuo caso poi la frazione è semplificabile: con un raccoglimento a gruppi (primo con terzo e secondo con quarto) hai
$(-z^3+z^2-z+1 )/(1+z^2) =(-z(z^2+1)+1(z^2+1))/(1+z^2)=((z^2+1)(-z+1))/(1+z^2)=-z+1$