Numeri complessi: esercizi...
buona sera a tutti, avrei dei semplici esercizi sui numeri complessi di cui non capisco dei piccoli dettagli, ad esempio:
trovare la parte immaginaria di: $Imm((sqrt3/2+i)/(2-i))=$ $(sqrt3+2i)/(2-i)*(2+i)/(2+i)=$ $(2sqrt3-2+sqrt3i+4i)/5$ $rArr$ $((sqrt3+4)/5)i$ però sul libro non mi trovo, da come risultato: $((sqrt3+4)/10)i$ dove ho sbagliato? i calcoli sembrano fatti bene, li ho ricontrollati più volte.....
trovare la parte immaginaria di: $Imm((sqrt3/2+i)/(2-i))=$ $(sqrt3+2i)/(2-i)*(2+i)/(2+i)=$ $(2sqrt3-2+sqrt3i+4i)/5$ $rArr$ $((sqrt3+4)/5)i$ però sul libro non mi trovo, da come risultato: $((sqrt3+4)/10)i$ dove ho sbagliato? i calcoli sembrano fatti bene, li ho ricontrollati più volte.....
Risposte
ma $-2+2sqrt3 i$ è un angolo noto?
a no va bene ho capito sarebbe: $2(-1sqrt3 i)$ è il seno e coseno a $pi-pi/3$; ma posso dire che succede solo con angoli noti esplicitati?
Devi solo fare i calcoli come li facevi per le potenze. Per il radicando si ha:
$rho=sqrt((-2)^2+(2sqrt 3)^2)=sqrt(4+12)=4$
$cos theta=(-2)/4=-1/2$
$sin theta=(2sqrt 3)/4=sqrt 3/2$
e poiché siamo nel secondo quadrante, $theta=pi-pi/3+2kpi=(2pi)/3+2kpi$.
In alternativa, potevi usare la formula con la tangente che ti ho già scritto; ottenevi $tg theta=(2sqrt3)/(-2)=-sqrt3$ e guardando i segni di $u,v$ aggiungevi di essere nel secondo quadrante: la conclusione era la stessa.
Quanto all'ultima domanda, non so bene cosa intendi con "angoli noti esplicitati" e riesco solo a supporre che significhi "angoli speciali". La risposta è no, possono essere angoli qualsiasi, solo che in questo caso devi fare i calcoli con la calcolatrice scientifica oppure lasciarli indicati con la scritta arcsin.... Ad esempio (scelgo di fare i calcoli e di usare i radianti), se ho $sin theta=3/5$ e $cos theta=4/5$ sono nel primo quadrante e ottengo $theta=0,6435..$, cioè all'incirca a $pi/5$.
$rho=sqrt((-2)^2+(2sqrt 3)^2)=sqrt(4+12)=4$
$cos theta=(-2)/4=-1/2$
$sin theta=(2sqrt 3)/4=sqrt 3/2$
e poiché siamo nel secondo quadrante, $theta=pi-pi/3+2kpi=(2pi)/3+2kpi$.
In alternativa, potevi usare la formula con la tangente che ti ho già scritto; ottenevi $tg theta=(2sqrt3)/(-2)=-sqrt3$ e guardando i segni di $u,v$ aggiungevi di essere nel secondo quadrante: la conclusione era la stessa.
Quanto all'ultima domanda, non so bene cosa intendi con "angoli noti esplicitati" e riesco solo a supporre che significhi "angoli speciali". La risposta è no, possono essere angoli qualsiasi, solo che in questo caso devi fare i calcoli con la calcolatrice scientifica oppure lasciarli indicati con la scritta arcsin.... Ad esempio (scelgo di fare i calcoli e di usare i radianti), se ho $sin theta=3/5$ e $cos theta=4/5$ sono nel primo quadrante e ottengo $theta=0,6435..$, cioè all'incirca a $pi/5$.
"giammaria":
Devi solo fare i calcoli come li facevi per le potenze. Per il radicando si ha:
$rho=sqrt((-2)^2+(2sqrt 3)^2)=sqrt(4+12)=4$
$cos theta=(-2)/4=-1/2$
$sin theta=(2sqrt 3)/4=sqrt 3/2$
e poiché siamo nel secondo quadrante, $theta=pi-pi/3+2kpi=(2pi)/3+2kpi$.
In alternativa, potevi usare la formula con la tangente che ti ho già scritto; ottenevi $tg theta=(2sqrt3)/(-2)=-sqrt3$ e guardando i segni di $u,v$ aggiungevi di essere nel secondo quadrante: la conclusione era la stessa.
ok chiarissimo.......
"giammaria":
Quanto all'ultima domanda, non so bene cosa intendi con "angoli noti esplicitati" e riesco solo a supporre che significhi "angoli speciali". La risposta è no, possono essere angoli qualsiasi, solo che in questo caso devi fare i calcoli con la calcolatrice scientifica oppure lasciarli indicati con la scritta arcsin.... Ad esempio (scelgo di fare i calcoli e di usare i radianti), se ho $sin theta=3/5$ e $cos theta=4/5$ sono nel primo quadrante e ottengo $theta=0,6435..$, cioè all'incirca a $pi/5$.
riguardo a questo infatti, ad esempio ho l'esercizio:
$sqrt(sqrt3/2+i/2)$
$theta= pi/6$, $rho=1$
$sqrt([1;pi/6])$
$sqrtZ rarr$ $omega_k=[sqrt1;(pi/6+2k pi)/2]$ , $k=0,1.$ la prima radice è:
$omega_k0=[1;pi/6*1/2]= [1;pi/12]= (cos (pi/12)+i sin (pi/12))$;
la seconda invece risulta:
$omega_k1=[1;(pi/6+2pi)*1/2]= [1;13/6pi*1/2]= [1;13/12pi]= (cos (13/12pi)+i sin (13/12pi))$.
solo che ora gli angoli non sono noti e li posso lasciare così, sol che ora li vorrei almeno disegnare nella circonferenza, come faccio a capire in che punto mi trovo nella circonferenza goniometrica?
i segni $u,v$ sono positivi quindi mi trovo nel primo quadrante?
Cominciamo con il secondo angolo, per il quale ti conveniva fare i calcoli così: $(pi/6+2pi)*1/2=pi/12+pi$. Vedevi subito che è l'angolo del terzo quadrante delimitato dal prolungamento della semiretta che delimita il primo. Oppure potevi usare il ragionamento che ti ha già spiegato in passato; mi pare che allora ci fosse l'angolo $(4pi)/3$.
Consideriano ora il primo angolo; ci sono molte risposte possibili e ti indico le tre che è bene ricordare sempre.
1) Chiedi come disegnarlo: poiché è la metà di $pi/6$, disegni quest'ultimo e lo dividi a metà. Oppure lo trasformi in gradi (sono 15°) e usi il goniometro per disegnarlo.
2) $pi/12$ non è un angolo notissimo, ma anche lui è considerato un angolo speciale; sulla tabella che li riporta lo trovi di certo. Di solito questa tabella sta in fondo al libro o nelle ultime pagine della teoria. Scoprirai che $sin (pi/12)=(sqrt6-sqrt2)/4$ e $cos (pi/12)=(sqrt6+sqrt2)/4$.
3) Quando l'angolo che ci interessa è la metà di un angolo speciale, ne possiamo calcolare seno e coseno con le formule di bisezione. Supponendo di essere nel primo quadrante, queste formule sono $sin (alpha/2)=sqrt((1-cos alpha)/2)$ e $cos (alpha/2)=sqrt((1+cos alpha)/2)$. Questo metodo può essere usato anche per la metà di un angolo non speciale, conoscendo il coseno dell'angolo iniziale.
Aggiungo due cose:
a) Il fatto che i segni delle $u,v$ iniziali siano positivi ti dice che il radicando sta nel primo quadrante, ma non dove stanno le radici; e infatti la prima è nel primo quadrante, ma la seconda è nel terzo.
b) Quando si deve calcolare solo la radice quadrata di un numero complesso ci sono anche regole apposite, che non valgono per le altre radici; non voglio però confonderti le idee spiegandotele.
Consideriano ora il primo angolo; ci sono molte risposte possibili e ti indico le tre che è bene ricordare sempre.
1) Chiedi come disegnarlo: poiché è la metà di $pi/6$, disegni quest'ultimo e lo dividi a metà. Oppure lo trasformi in gradi (sono 15°) e usi il goniometro per disegnarlo.
2) $pi/12$ non è un angolo notissimo, ma anche lui è considerato un angolo speciale; sulla tabella che li riporta lo trovi di certo. Di solito questa tabella sta in fondo al libro o nelle ultime pagine della teoria. Scoprirai che $sin (pi/12)=(sqrt6-sqrt2)/4$ e $cos (pi/12)=(sqrt6+sqrt2)/4$.
3) Quando l'angolo che ci interessa è la metà di un angolo speciale, ne possiamo calcolare seno e coseno con le formule di bisezione. Supponendo di essere nel primo quadrante, queste formule sono $sin (alpha/2)=sqrt((1-cos alpha)/2)$ e $cos (alpha/2)=sqrt((1+cos alpha)/2)$. Questo metodo può essere usato anche per la metà di un angolo non speciale, conoscendo il coseno dell'angolo iniziale.
Aggiungo due cose:
a) Il fatto che i segni delle $u,v$ iniziali siano positivi ti dice che il radicando sta nel primo quadrante, ma non dove stanno le radici; e infatti la prima è nel primo quadrante, ma la seconda è nel terzo.
b) Quando si deve calcolare solo la radice quadrata di un numero complesso ci sono anche regole apposite, che non valgono per le altre radici; non voglio però confonderti le idee spiegandotele.
"giammaria":
[...]
a) Il fatto che i segni delle $u,v$ iniziali siano positivi ti dice che il radicando sta nel primo quadrante, ma non dove stanno le radici; e infatti la prima è nel primo quadrante, ma la seconda è nel terzo. [...]
ma per il radicando intendi: $sqrt([1;pi/6])$?
il resto è tutto chiaro.......
p.s.
ma quindi essendo la seconda radice nel terzo quadrante posso scrivere $(-cos (pi/12) - i sin (pi/12))$ giusto?
Radicando è quello che sta sotto radice, cioè $sqrt3/2+i/2$, che ha coordinate polari $[1;pi/6]$; nel tuo scritto non doveva esserci la radice e inoltre un numero è diverso dalle sue coordinate. Il concetto è giusto, la forma no. Se il tuo professore lo accetta ...
Giusta l'ultima affermazione.
Giusta l'ultima affermazione.
ok capito, volevo un attimo chiare una piccola cosa cioè:
ora ho $pi/12$ che è la metà di un angolo speciale e voglio calcolare il seno e il coseno con le formule di bisezione;
dunque come devo scrivere $sin(pi/12)=...$ oppure $sin((pi/6)/2)=...$ o devo esprimere $pi/6$ in gradi e quindi la scrittura sarà $sin(30/2)$?
"giammaria":
3) Quando l'angolo che ci interessa è la metà di un angolo speciale, ne possiamo calcolare seno e coseno con le formule di bisezione. Supponendo di essere nel primo quadrante, queste formule sono $sin (alpha/2)=sqrt((1-cos alpha)/2)$ e $cos (alpha/2)=sqrt((1+cos alpha)/2)$.
ora ho $pi/12$ che è la metà di un angolo speciale e voglio calcolare il seno e il coseno con le formule di bisezione;
dunque come devo scrivere $sin(pi/12)=...$ oppure $sin((pi/6)/2)=...$ o devo esprimere $pi/6$ in gradi e quindi la scrittura sarà $sin(30/2)$?
Sono giuste tutte le tue formule; la prima mi piace più della seconda perché più compatta. Sconsiglierei la terza perché nei calcoli precedenti usavi i radianti e non sta bene cambiare unità di misura in uno stesso esercizio: cosa penseresti di uno scritto in cui alcune lunghezze sono in metri e altre in pollici?
e si effettivamente pensandoci chi legge l'esercizio dovrebbè fare tutti i calcoli per vedere a quanto corrisponde una certa unità di misura e farlo per molte volte risulta molto pesante....
poi ho degli esercizi dove devo risolvere in campo trigonometrico delle equazioni, la prima è questa:
$Z^4+i=0$ pongo $Z^4=t^2$ e l'equazione diventa una banale equazione di secondo grado: $t^2+i=0$ le cui radici $t_1=-sqrt(-i)$ e $t_2= sqrt(-i)$
ora però volevo provare a togliere il meno sotto radice e ho scritto $t_1=-isqrt(i)$ e $t_2= isqrt i$ però qualcosa mi dice o che non conviene o che è sbagliato;
di solito nel campo complesso se ho $sqrt(-2)$ posso scrivere $isqrt2$.... come posso fare?
anche perchè provando a fare i calcoli con $t_1=-isqrt(i)$ e $t_2= isqrt i$ non sono riuscito a fare niente, è troppo difficile;
mentre lasciando le cose come: $t_1=-sqrt(-i)$ e $t_2= sqrt(-i)$ arrivo a soluzioni anche abbastanza sensate solo che il libro me li riporta come 4 soluzioni del tipo $cos (pi/8) +i sin (pi/8)$ ecc...
poi ho degli esercizi dove devo risolvere in campo trigonometrico delle equazioni, la prima è questa:
$Z^4+i=0$ pongo $Z^4=t^2$ e l'equazione diventa una banale equazione di secondo grado: $t^2+i=0$ le cui radici $t_1=-sqrt(-i)$ e $t_2= sqrt(-i)$
ora però volevo provare a togliere il meno sotto radice e ho scritto $t_1=-isqrt(i)$ e $t_2= isqrt i$ però qualcosa mi dice o che non conviene o che è sbagliato;
di solito nel campo complesso se ho $sqrt(-2)$ posso scrivere $isqrt2$.... come posso fare?
anche perchè provando a fare i calcoli con $t_1=-isqrt(i)$ e $t_2= isqrt i$ non sono riuscito a fare niente, è troppo difficile;
mentre lasciando le cose come: $t_1=-sqrt(-i)$ e $t_2= sqrt(-i)$ arrivo a soluzioni anche abbastanza sensate solo che il libro me li riporta come 4 soluzioni del tipo $cos (pi/8) +i sin (pi/8)$ ecc...
In campo reale, come risolveresti queste tre equazioni?
$x^3=125$
$x^4=81$
$x^3=7$
$x^3=125$
$x^4=81$
$x^3=7$
Il precedente intervento si riferiva al modo di risolvere quelle equazioni; in questo invece esamino come calcolare $sqrt(-i)$. Basta un'occhiata al piano complesso per dire che $-i$ ha $rho=1$ e $theta=(3 pi)/2+2kpi$ (oppure $theta=-pi/2+2kpi$; è lo stesso punto). Se questo ragionamento ti è difficile, pensa che $-i=0-1i$ e quindi si ha $u=0, v=-1$; da questi valori deduci le coordinate polari di $-i$.
Per calcolare le radici volute ti basta ora applicare la regola per le radici.
Per calcolare le radici volute ti basta ora applicare la regola per le radici.
"giammaria":
In campo reale, come risolveresti queste tre equazioni?
$x^3=125$
$x^4=81$
$x^3=7$
allora per la prima:
$x=root(3)(125)= root(3)(5^3)= 5$
la seconda:
$x^4-81=0 rarr (x^2+9)(x^2-9)=0 rArr x_(1,2)=varphi uuu x_3=-3 uuu x_4=+3$
per la terza abbiamo:
$x=root(3)(7)$
per la prima e la seconda ho un dubbio.... ma credo che non si faccia così si deve diminuire di grado.......
"giammaria":
... esamino come calcolare $sqrt(-i)$. Basta un'occhiata al piano complesso per dire che $-i$ ha $rho=1$ e $theta=(3 pi)/2+2kpi$ (oppure $theta=-pi/2+2kpi$; è lo stesso punto). Se questo ragionamento ti è difficile, pensa che $-i=0-1i$ e quindi si ha $u=0, v=-1$; da questi valori deduci le coordinate polari di $-i$.
Per calcolare le radici volute ti basta ora applicare la regola per le radici.
si si così ho hatto e mi trovo:
$omega_(k_0)=[sqrt1;(3/2pi+2kpi)/2]= [1;3/4pi]=$ $-(sqrt2)/2+ i (sqrt2)/2= 1/2(-sqrt2+sqrt2 i)$
$omega_(k_1)=[sqrt1;(3/2pi+2kpi)/2]= [1;7/4pi]=$ $(sqrt2)/2- i (sqrt2)/2= 1/2(sqrt2-sqrt2 i)$;
però ora confrontato con le quattro soluzioni del libro non se ne trova nemmeno una....
P.S. non è che ho sbagliato nel cambio di variabili? cioè le soluzioni di $z^4+i=0$ ponendo $z^4=t^2$ sono $t_1=-sqrt(-i)$ e $t_2=sqrt(-i)$ ora devo ritornare alla variabile $z$, e si ha: $z^2=-sqrt(-i)$ e $z^2=sqrt(-i)$...
La prima e la terza equazione vanno bene; perché non usi lo stesso metodo anche per la seconda? Così:
$x^4=81->x=+-root(4)81=+-3$
dove il $+-$ è stato necessario per avere tutte le soluzioni reali (ricordiamo che bisogna metterlo quando l'esponente è pari, ma non quando è dispari). Con questo stesso metodo, ma usando le radici dei numeri complessi, puoi risolvere la tua $Z^4=-i$; non occorre il $+-$ perchè in campo complesso si trovano già tutte le soluzioni.
Quanto al fatto che le soluzioni non ti vengono, quello che hai calcolato è $t$ e devi ancora estrarre la radice quadrata per ottenere $x$; è molto più rapido estrarre subito la radice quarta.
$x^4=81->x=+-root(4)81=+-3$
dove il $+-$ è stato necessario per avere tutte le soluzioni reali (ricordiamo che bisogna metterlo quando l'esponente è pari, ma non quando è dispari). Con questo stesso metodo, ma usando le radici dei numeri complessi, puoi risolvere la tua $Z^4=-i$; non occorre il $+-$ perchè in campo complesso si trovano già tutte le soluzioni.
Quanto al fatto che le soluzioni non ti vengono, quello che hai calcolato è $t$ e devi ancora estrarre la radice quadrata per ottenere $x$; è molto più rapido estrarre subito la radice quarta.
quindi una volta calcolate le radici di $t=sqrt(-i)$:
$omega_(k_0)=[sqrt1;(3/2pi+2kpi)/2]= [1;3/4pi]=$ $-(sqrt2)/2+ i (sqrt2)/2= 1/2(-sqrt2+sqrt2 i)$
$omega_(k_1)=[sqrt1;(3/2pi+2kpi)/2]= [1;7/4pi]=$ $(sqrt2)/2- i (sqrt2)/2= 1/2(sqrt2-sqrt2 i)$;
devo estrarre di nuovo la radice quadrata di $omega_(k_0)=-(sqrt2)/2+ i (sqrt2)/2$ e di $omega_(k_1)=(sqrt2)/2- i (sqrt2)/2$? e quindi mi viene:
-1). $sqrt(-(sqrt2)/2+ i (sqrt2)/2)$
-2). $sqrt((sqrt2)/2- i (sqrt2)/2)$???
$omega_(k_0)=[sqrt1;(3/2pi+2kpi)/2]= [1;3/4pi]=$ $-(sqrt2)/2+ i (sqrt2)/2= 1/2(-sqrt2+sqrt2 i)$
$omega_(k_1)=[sqrt1;(3/2pi+2kpi)/2]= [1;7/4pi]=$ $(sqrt2)/2- i (sqrt2)/2= 1/2(sqrt2-sqrt2 i)$;
devo estrarre di nuovo la radice quadrata di $omega_(k_0)=-(sqrt2)/2+ i (sqrt2)/2$ e di $omega_(k_1)=(sqrt2)/2- i (sqrt2)/2$? e quindi mi viene:
-1). $sqrt(-(sqrt2)/2+ i (sqrt2)/2)$
-2). $sqrt((sqrt2)/2- i (sqrt2)/2)$???
Se ti piace complicarti la vita, puoi fare così e non è sbagliato; ma perché non calcoli direttamente le radici quarte di $-i$? Il metodo è lo stesso che ti ho spiegato per le radici quadrate.
$Z^4=-i->Z=root(4)(-i)$
Ho qualche perplessità sul tuo modo di scrivere la radici: perché usi la lettera $omega$ per indicare le soluzioni di un'equazione con incognita $t$? Inoltre la scritta $[sqrt 1; ((3pi)/2+2kpi)/2]$ indica la formula generale per le radici e non è uguale ad una singola radice: puoi scriverla in generale, ad esempio preceduta da $t=$ e poi passare ai casi particolari: $t_1=[1, (3pi)/4]=...$ e simili. Se scrivi $t_(k0)$ anzichè $t_1$ va anche bene.
$Z^4=-i->Z=root(4)(-i)$
Ho qualche perplessità sul tuo modo di scrivere la radici: perché usi la lettera $omega$ per indicare le soluzioni di un'equazione con incognita $t$? Inoltre la scritta $[sqrt 1; ((3pi)/2+2kpi)/2]$ indica la formula generale per le radici e non è uguale ad una singola radice: puoi scriverla in generale, ad esempio preceduta da $t=$ e poi passare ai casi particolari: $t_1=[1, (3pi)/4]=...$ e simili. Se scrivi $t_(k0)$ anzichè $t_1$ va anche bene.
"giammaria":
Se ti piace complicarti la vita, puoi fare così e non è sbagliato; ma perché non calcoli direttamente le radici quarte di $-i$? Il metodo è lo stesso che ti ho spiegato per le radici quadrate.
$Z^4=-i->Z=root(4)(-i)$
no era per vedere se avevo capito bene dove sbagliavo e perche non mi trovavo con i risultati......
"giammaria":
Ho qualche perplessità sul tuo modo di scrivere la radici: perché usi la lettera $omega$ per indicare le soluzioni di un'equazione con incognita $t$? Inoltre la scritta $[sqrt 1; ((3pi)/2+2kpi)/2]$ indica la formula generale per le radici e non è uguale ad una singola radice: puoi scriverla in generale, ad esempio preceduta da $t=$ e poi passare ai casi particolari: $t_1=[1, (3pi)/4]=...$ e simili. Se scrivi $t_(k0)$ anzichè $t_1$ va anche bene.
scrivo omega perchè, mi viene spontaneo, cioè ho usato sempre omega e quindi uso scrivere così.... è sbagliato però, ora correggo..... anche per la la scritta $[sqrt 1; ((3pi)/2+2kpi)/2]$ la metto sempre per dire che al posto di $k$ ci vanno dei valori.....grazie comunque per l'avvertimento correggo subito....
Se quella scritta ti viene spontanea, puoi modificarla così:
$[sqrt 1; ((3pi)/2+2kpi)/2]_(k=0)$
in cui il $k=0$ aggiunto indica che dai quel valore a quella lettera. Non è una vera regola matematica, ma penso che quasi tutti i professori la accetterebbero.
$[sqrt 1; ((3pi)/2+2kpi)/2]_(k=0)$
in cui il $k=0$ aggiunto indica che dai quel valore a quella lettera. Non è una vera regola matematica, ma penso che quasi tutti i professori la accetterebbero.
ok grazie.........
però ora mi trovo in difficoltà a disegnare gli angoli.....
cioè: $3/8pi$ lo posso scrivere come $pi-5/8pi$ quindi è nel secondo quadrante, poi noto che $3/8pi$ è la metà di $3/4pi$, disegno quest' ultimo angolo e lo divido a metà e questo è l'angolo che disegno sulla circonferenza......
mentre $11/8pi$ lo posso scrivere come $3/8pi+pi$ si trova nel terzo quadrante e anche qui noto che $3/8pi$ è la metà di $3/4pi$; disegno quest'ultimo nel terzo quadrante lo divido a metà e trovo che la mèta è l'angolo che cerco ($11/8pi$)... giusto?
però ora mi trovo in difficoltà a disegnare gli angoli.....
cioè: $3/8pi$ lo posso scrivere come $pi-5/8pi$ quindi è nel secondo quadrante, poi noto che $3/8pi$ è la metà di $3/4pi$, disegno quest' ultimo angolo e lo divido a metà e questo è l'angolo che disegno sulla circonferenza......
mentre $11/8pi$ lo posso scrivere come $3/8pi+pi$ si trova nel terzo quadrante e anche qui noto che $3/8pi$ è la metà di $3/4pi$; disegno quest'ultimo nel terzo quadrante lo divido a metà e trovo che la mèta è l'angolo che cerco ($11/8pi$)... giusto?
Giusto. Per $11/8 pi$ puoi fare anche più facilmente: hai notato che è uguale a $3/8 pi+pi$, quindi ti basta prolungare la semiretta che limitava l'altro angolo; seno e coseno sono uguali ai precedenti cambiati di segno.
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