Numeri complessi: esercizi...
buona sera a tutti, avrei dei semplici esercizi sui numeri complessi di cui non capisco dei piccoli dettagli, ad esempio:
trovare la parte immaginaria di: $Imm((sqrt3/2+i)/(2-i))=$ $(sqrt3+2i)/(2-i)*(2+i)/(2+i)=$ $(2sqrt3-2+sqrt3i+4i)/5$ $rArr$ $((sqrt3+4)/5)i$ però sul libro non mi trovo, da come risultato: $((sqrt3+4)/10)i$ dove ho sbagliato? i calcoli sembrano fatti bene, li ho ricontrollati più volte.....
trovare la parte immaginaria di: $Imm((sqrt3/2+i)/(2-i))=$ $(sqrt3+2i)/(2-i)*(2+i)/(2+i)=$ $(2sqrt3-2+sqrt3i+4i)/5$ $rArr$ $((sqrt3+4)/5)i$ però sul libro non mi trovo, da come risultato: $((sqrt3+4)/10)i$ dove ho sbagliato? i calcoli sembrano fatti bene, li ho ricontrollati più volte.....
Risposte
le soluzioni che da il libro sono: $+-1/sqrt2(1-i)$....anche il risultato è strano....
Credo che l'esercizio dovesse essere
$(1+iz)/(iz+i)=z$
Conviene risolverlo dando subito denominatore comune (dopo aver trovato il campo di esistenza)
$(1+iz)/(iz+i)=z$
Conviene risolverlo dando subito denominatore comune (dopo aver trovato il campo di esistenza)
ho sbagliato la traccia, perdonami, eppure che l'ho controllata più di una volta, accidenti......
comunque sfogliando il libro ho notato un'esercizio del genere e ho visto che lo risolve più o meno così:
l'equazione $(1+zi)/(zi+i)=z$ può essere scritta: $1+zi=z(zi+i)$
$1+zi=z^2i+zi$
$z^2i=1$
$z^2=1/i rarr z^2=-i rarr z=sqrt(-i)$ ora se calcolo le radici quadrate di $-i$ si trova $Z_(K_0)=-sqrt2/2+sqrt2/2i$ e $Z_(K_1)=sqrt2/2-sqrt2/2i$ che potrei riassiumere come: $Z=+-sqrt2/2(1-i)$.... ora $1/sqrt2=sqrt2/2$ o no? però perchè non lo razionalizza? poi perchè il denominatore lo toglie?
comunque sfogliando il libro ho notato un'esercizio del genere e ho visto che lo risolve più o meno così:
l'equazione $(1+zi)/(zi+i)=z$ può essere scritta: $1+zi=z(zi+i)$
$1+zi=z^2i+zi$
$z^2i=1$
$z^2=1/i rarr z^2=-i rarr z=sqrt(-i)$ ora se calcolo le radici quadrate di $-i$ si trova $Z_(K_0)=-sqrt2/2+sqrt2/2i$ e $Z_(K_1)=sqrt2/2-sqrt2/2i$ che potrei riassiumere come: $Z=+-sqrt2/2(1-i)$.... ora $1/sqrt2=sqrt2/2$ o no? però perchè non lo razionalizza? poi perchè il denominatore lo toglie?
E' vero che $1/sqrt2=sqrt2/2$. Non mi pare che il testo abbia tolto alcun denominatore; si è limitato a non razionalizzare. Avrebbe fatto meglio a farlo ma a volte, quando si è arrivati al risultato, non ci si preoccupa di questo.
Al tuo esercizio manca la ricerca del C.E.(=campo di esistenza): il denominatore non deve annullarsi, quindi
$iz+i!=0$; dividendo per $i$ si ottiene $z+1!=0->z!=-1$
E' sempre necessario farlo perché se tu avessi trovato come soluzione proprio quel valore avresti dovuto scartarlo.
Al tuo esercizio manca la ricerca del C.E.(=campo di esistenza): il denominatore non deve annullarsi, quindi
$iz+i!=0$; dividendo per $i$ si ottiene $z+1!=0->z!=-1$
E' sempre necessario farlo perché se tu avessi trovato come soluzione proprio quel valore avresti dovuto scartarlo.
cioè dicevo a questo punto: $(1+zi)=z(zi+i)$ ha moltiplicato per il denominatore però poi non lo prende in considerazione lo toglie e basta invece non doveva essere del tipo $(1+zi)/(zi+i)=(z(zi+i))/(zi+i)$? e poi studiare numeratore e denominatore?
Mi pare che tu stia confondendo equazioni e disequazioni; vediamone un rapido ripasso, riferito solo all'argomento di cui parliamo.
1) Sono equazioni quelle con il segno $=$; nello stesso modo si trattano quelle col $!=$. Se hai l'equazione $N/D=0$ vuoi che la frazione si annulli e questo succede quando lo fa $N$; invece deve essere $D!=0$ e questo è il C.E., detto anche dominio. Di conseguenza trovi il C.E. e poi guardi solo più il numeratore, trascurando il denominatore comune.
2) Sono disequazioni quelle con uno dei segni $> , <$: in questo caso ti interessa il segno della frazione, che dipende dai segni di numeratore e denominatore. Quindi risolvi le disequazioni $N>0$ e $D>0$ (sempre $>$, anche se la disequazione iniziale aveva il $<$) e riporti le soluzioni in un diagramma, da cui deduci il segno del loro rapporto: a seconda del verso della disequazione iniziale, sceglierai le zone in cui il rapporto ha il segno più o il meno. Inutile calcolare il C.E.
3) Con uno dei segni $>= , <=$ sei in un caso intermedio fra i due precedenti: si risolve come una disequazione, ma nella soluzione si bada a non mettere l'uguale in corrispondenza ai valori che annullano il denominatore.
Un'ultima osservazione: con i numeri complessi, non è definito cosa si intende con maggiore o minore e quindi non hanno senso le disequazioni. Finché resterai su questo argomento, troverai solo equazioni.
1) Sono equazioni quelle con il segno $=$; nello stesso modo si trattano quelle col $!=$. Se hai l'equazione $N/D=0$ vuoi che la frazione si annulli e questo succede quando lo fa $N$; invece deve essere $D!=0$ e questo è il C.E., detto anche dominio. Di conseguenza trovi il C.E. e poi guardi solo più il numeratore, trascurando il denominatore comune.
2) Sono disequazioni quelle con uno dei segni $> , <$: in questo caso ti interessa il segno della frazione, che dipende dai segni di numeratore e denominatore. Quindi risolvi le disequazioni $N>0$ e $D>0$ (sempre $>$, anche se la disequazione iniziale aveva il $<$) e riporti le soluzioni in un diagramma, da cui deduci il segno del loro rapporto: a seconda del verso della disequazione iniziale, sceglierai le zone in cui il rapporto ha il segno più o il meno. Inutile calcolare il C.E.
3) Con uno dei segni $>= , <=$ sei in un caso intermedio fra i due precedenti: si risolve come una disequazione, ma nella soluzione si bada a non mettere l'uguale in corrispondenza ai valori che annullano il denominatore.
Un'ultima osservazione: con i numeri complessi, non è definito cosa si intende con maggiore o minore e quindi non hanno senso le disequazioni. Finché resterai su questo argomento, troverai solo equazioni.
ok tutto chiaro!!! grazie mille....
Se mi è consentito vorrei postare un'altro esercizio dove vorrei un piccolo suggrimento....
Avrei come esercizio l'equazione:
$z^6-2z^3+2=0$ ora mi chiedo per risolverla mi conviene di più Ruffini oppure fare in un altro modo? perchè con il metodo di Ruffini si deve ripetere più volte....
ache se non mi trovo nemmeno con questo perchè nella scomposizione ho sempre il resto....
e quindi avevo anche pensato di introdurre la variabile $t$...
Avrei come esercizio l'equazione:
$z^6-2z^3+2=0$ ora mi chiedo per risolverla mi conviene di più Ruffini oppure fare in un altro modo? perchè con il metodo di Ruffini si deve ripetere più volte....
ache se non mi trovo nemmeno con questo perchè nella scomposizione ho sempre il resto....
e quindi avevo anche pensato di introdurre la variabile $t$...
Giusta l'ultima idea: poni $t=z^3$. Il metodo di Ruffini non funziona perché non ci sono soluzioni razionali.
capito, mentre poi ne trovo una un po particolare che non ho il risultato e so se è fatta bene:
$z^3|z|^2-barzi=0$
$(u+iv)^3(u+iv)(u-iv)-i(u-iv)=0$
$(u+iv)^3{(u-iv)[(u+iv)-i]}=0$ ora applico la legge di annullamento ed ho due casi:
-1). quando: $(u+iv)^3=0$ quindi $z_0=0$
-2). quando risulta: $(u-iv)[(u+iv)-i]=0$ essendo di nuovo un prodotto posso riapplicare la legge di annullamento del prodotto distinguendo altri 2 casi:
uno con $(u-iv)=0 rarr barz_1=0$
e l'altro quando: $(u+iv)-i=0$ $rarr u+iv-i=0 rarr u=i(v+1)$ ma credo che sia sbagliato.....
$z^3|z|^2-barzi=0$
$(u+iv)^3(u+iv)(u-iv)-i(u-iv)=0$
$(u+iv)^3{(u-iv)[(u+iv)-i]}=0$ ora applico la legge di annullamento ed ho due casi:
-1). quando: $(u+iv)^3=0$ quindi $z_0=0$
-2). quando risulta: $(u-iv)[(u+iv)-i]=0$ essendo di nuovo un prodotto posso riapplicare la legge di annullamento del prodotto distinguendo altri 2 casi:
uno con $(u-iv)=0 rarr barz_1=0$
e l'altro quando: $(u+iv)-i=0$ $rarr u+iv-i=0 rarr u=i(v+1)$ ma credo che sia sbagliato.....
Non puoi mettere in evidenza $(u+iv)^3$ (terza riga) perchè non è contenuto nel secondo addendo; potevi invece mettere in evidenza $u-iv$. Il metodo più rapido è questo:
$z^3*z*barz-barzi=0->barz(z^4-i)=0$
Adesso puoi applicare la legge di annullamento del prodotto. In questo caso conviene lavorare con $z$, senza introdurre $u,v$
$z^3*z*barz-barzi=0->barz(z^4-i)=0$
Adesso puoi applicare la legge di annullamento del prodotto. In questo caso conviene lavorare con $z$, senza introdurre $u,v$
poi ho quest'altro esercizio $z=sqrt(1+root(3)(-1))$ che nemmeno so il risultato e quindi non so se è fatto bene...
io ho incominciato a scriverlo in questo modo:
$z=sqrt(1+iroot(3)(1)) rarr z=sqrt(1+i)$ e quindi adesso posso procedere a calcolare le radici quadrate però mi sembra troppo banale non è che sbaglio a non fare alcune considerazioni?
io ho incominciato a scriverlo in questo modo:
$z=sqrt(1+iroot(3)(1)) rarr z=sqrt(1+i)$ e quindi adesso posso procedere a calcolare le radici quadrate però mi sembra troppo banale non è che sbaglio a non fare alcune considerazioni?
E' sbagliato fin dal primo passaggio: $i$ è la radice QUADRATA di -1, non quella cubica. Devi invece calcolare le tre radici cubiche di $-1$ e, per ciascuna di esse, le radici quadrate della somma indicata. Troverai che una soluzione è $z=0$ e che ce ne sono altre quattro, fra cui $z=root(4)3(cospi/12+isen pi/12)$. Non ho calcolato le altre tre.
Aggiungo una considerazione di tutt'altro carattere: il tuo primo messaggio sui numeri complessi è del 10 novembre, quindi sei su questo argomento da almeno 40 giorni. Non so quale sia lo scopo che ti prefiggi, ma se devi studiare un programma piuttosto ampio ti conviene non trascurarne le altre parti.
Aggiungo una considerazione di tutt'altro carattere: il tuo primo messaggio sui numeri complessi è del 10 novembre, quindi sei su questo argomento da almeno 40 giorni. Non so quale sia lo scopo che ti prefiggi, ma se devi studiare un programma piuttosto ampio ti conviene non trascurarne le altre parti.
"giammaria":non ho capito $root(3)(-1)$ non lo posso scrivere come $i*root(3)(1)$ e quindi viene $i$????forse ho scritto male...coreggo...
E' sbagliato fin dal primo passaggio: $i$ è la radice QUADRATA di -1, non quella cubica
"giammaria":
Aggiungo una considerazione di tutt'altro carattere: il tuo primo messaggio sui numeri complessi è del 10 novembre, quindi sei su questo argomento da almeno 40 giorni. Non so quale sia lo scopo che ti prefiggi, ma se devi studiare un programma piuttosto ampio ti conviene non trascurarne le altre parti.
plo scopo è quello di esercitarmi, per quanto riguarda al programma si devo ammettere che l'ho un pò trascurato mi limitavo solo alla teoria senza esercizi....
"domy90":No, non puoi. Credo che il tuo ragionamento sia stato "il meno sotto radice diventa $i$ e poi guardo il valore assoluto", ma questo è vero solo se la radice è quadrata. Te ne puoi convincere facilmente elevando al cubo le due cose; se sono uguali anche i loro cubi lo sono, mentre nel tuo caso $(root(3)(-1))^3=-1$ e $(i*root(3)1)^3=i^3=-i$.
$root(3)(-1)$ non lo posso scrivere come $i*root(3)(1)$ e quindi viene $i$????
ah ho capito quello che dico io vale solo per la radice quadrata.............
poi ho una che non so proprio dove mettre le mani è difficilissima si tratta di:
${(|z+1|e^(3iz)=sqrt(10)e^(-3Im(z))),(|Re(z)|<=2):}$
come detto non so da dove partire un aiuto per incominciare perchè io non ho scritto niente non riesco a pensare alternative o su come si potrebbe svolgere....
P.S. ma quando si trova una soluzione $z=0$ come nel caso precedente quando vado a disegnarlo nella circonferenza goniometrica (come faccio per le radici), questa soluzione si trova nell'origine degli assi cioè al cetro della circonferenza?....
poi ho una che non so proprio dove mettre le mani è difficilissima si tratta di:
${(|z+1|e^(3iz)=sqrt(10)e^(-3Im(z))),(|Re(z)|<=2):}$
come detto non so da dove partire un aiuto per incominciare perchè io non ho scritto niente non riesco a pensare alternative o su come si potrebbe svolgere....
P.S. ma quando si trova una soluzione $z=0$ come nel caso precedente quando vado a disegnarlo nella circonferenza goniometrica (come faccio per le radici), questa soluzione si trova nell'origine degli assi cioè al cetro della circonferenza?....
Sì per il P.S.; infatti si ha $u=v=0$.
Per l'equazione, scrivo l'intera mia soluzione: un po' perché non saprei come instradarti e un po' perché non mi trovo col libro e quindi forse faccio qualche errore. Posto $z=u+iv$, si ottiene
$|u+iv+1|e^(3iu-3v)=sqrt 10 e^(-3v)->|u+iv+1|e^(3iu)*e^(-3v)=sqrt 10 e^(-3v)$
che può essere semplificata dividendo i due membri per $e^(-3v)$. Resta
$|u+1+iv|e^(3iu)=sqrt 10 e^(i*0)$
Ricordando che $e^(ix)$, con $x$ reale, ha modulo 1 ed argomento $x$ ed eguagliando argomenti e moduli si ottiene
${(3u=0),(|u+1+iv|=sqrt10):}$
${(u=0),(|1+iv|=sqrt 10):}->{(u=0),(1+v^2=10->v=+-3):}$
e quindi la soluzione sarebbe $z=+-3i$. A questo punto però non capisco la limitazione posta dal libro: a me risulta $Re(z)=0$.
Per l'equazione, scrivo l'intera mia soluzione: un po' perché non saprei come instradarti e un po' perché non mi trovo col libro e quindi forse faccio qualche errore. Posto $z=u+iv$, si ottiene
$|u+iv+1|e^(3iu-3v)=sqrt 10 e^(-3v)->|u+iv+1|e^(3iu)*e^(-3v)=sqrt 10 e^(-3v)$
che può essere semplificata dividendo i due membri per $e^(-3v)$. Resta
$|u+1+iv|e^(3iu)=sqrt 10 e^(i*0)$
Ricordando che $e^(ix)$, con $x$ reale, ha modulo 1 ed argomento $x$ ed eguagliando argomenti e moduli si ottiene
${(3u=0),(|u+1+iv|=sqrt10):}$
${(u=0),(|1+iv|=sqrt 10):}->{(u=0),(1+v^2=10->v=+-3):}$
e quindi la soluzione sarebbe $z=+-3i$. A questo punto però non capisco la limitazione posta dal libro: a me risulta $Re(z)=0$.
L'avevo risolta anch'io così ottenendo lo stesso risultato, ma siccome non combaciava con la limitazione del libro avevo evitato di rispondere temendo di avere fatto un qualche errore di cui non mi ero resa conto.
capito tutto quello prima di questo passaggio......
non capisco questo punto $e^(i*0)$ perchè mettere la $i$ non si poteva semplificare direttamente tutto, cioè so che il risultato non cambia è la stessa cosa, quello che mi chiedevo è perchè compare la $i$ se prima non c'era?
"giammaria":
$|u+1+iv|e^(3iu)=sqrt 10 e^(i*0)$.
non capisco questo punto $e^(i*0)$ perchè mettere la $i$ non si poteva semplificare direttamente tutto, cioè so che il risultato non cambia è la stessa cosa, quello che mi chiedevo è perchè compare la $i$ se prima non c'era?
"domy90":Avrei potuto tranquillamente tralasciarlo e dire invece "il secondo membro ha argomento zero e il primo ha argomento $3u$, quindi $3u=0$. L'ho messo nella speranza (evidentemente sbagliata) di rendere chiaro che il secondo membro ha argomento zero, come invito a fare il ragionamento che ti ho appena indicato. Scriverlo è comunque lecito, perché $e^(i*0)=e^0=1$ e moltiplicando per 1 non modifico nulla.
non capisco questo punto $e^(i*0)$
Per @melia. Mi consoli: se abbiamo ottenuto lo stesso risultato, vuol dire che è giusto e che l'errore è del libro o di domy90: non sarebbe la prima volta che sbaglia nel copiare una traccia.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo