Numeri complessi: esercizi...

[kioccolatino90]

buona sera a tutti, avrei dei semplici esercizi sui numeri complessi di cui non capisco dei piccoli dettagli, ad esempio:

trovare la parte immaginaria di: $Imm((sqrt3/2+i)/(2-i))=$ $(sqrt3+2i)/(2-i)*(2+i)/(2+i)=$ $(2sqrt3-2+sqrt3i+4i)/5$ $rArr$ $((sqrt3+4)/5)i$ però sul libro non mi trovo, da come risultato: $((sqrt3+4)/10)i$ dove ho sbagliato? i calcoli sembrano fatti bene, li ho ricontrollati più volte.....

[kioccolatino90]

ok capito tutto......
la traccia l'ho rivista e sembrerebbe proprio quella, purtroppo non so come posso postare un immagine se no la scannerizzavo e la inserivo....

[kioccolatino90]

Se mi è concesso vorrei postare un esercizio che non ho il risultato e non so se l'ho fatto bene:

$z=root(3)(1/(|(sqrt2/2-isqrt2/2)^147|))= z=root(3)(1/(|[1; -pi/4]^147|))= root(3)(1/(|[1; -147pi/4]|))$

$-147pi/4$ non so se è un angolo che mi riporta a $pi, pi/2,-pi ecc$ e quindi cerco di scriverlo come: $-146*pi/4-pi/4= -73*pi/2-pi/4=-72pi/2-pi/2-pi/4=-36pi-3/4pi=2kpi-3/4pi$, con $k=-36$

dato che: $1/([rho;theta])= [1/rho;-theta]$ che fare il valore assoluto significa fare la radice quadrata, abbiamo:

$z=root(3)(sqrt([1; +3/4pi]))= root(6)([1;3/4])$... ho fatto bene?

P.S. senza che posto il risultato se poi ho sbagliato qualcosa....

[giammaria2]

Fare il valore assoluto NON significa fare la radice quadrata: con cosa ti stai confondendo? Inoltre un numero complesso non ha valore assoluto; la doppia sbarra viene di solito usata per indicare il modulo. Ne consegue che i tuoi calcoli per l'argomento sono inutili (peccato, perché erano ben fatti) e il denominatore è 1: le soluzioni sono quindi le radici terze di 1.
Altra osservazione: ammettendo che fosse tutto giusto fino all'ultimo passaggio, l'esercizio non era finito perché dovevi calcolare le radici seste: hanno modulo 1 ed argomento $((3pi)/4+2kpi)/6=pi/8+(kpi)/3$

[kioccolatino90]

"giammaria":Fare il valore assoluto NON significa fare la radice quadrata: con cosa ti stai confondendo? Inoltre un numero complesso non ha valore assoluto; la doppia sbarra viene di solito usata per indicare il modulo.

mi sono confuso intendevo dire il modulo....

"giammaria":Ne consegue che i tuoi calcoli per l'argomento sono inutili (peccato, perché erano ben fatti) e il denominatore è 1: le soluzioni sono quindi le radici terze di 1.

perchè esce uno al denominatore? non capisco....

"giammaria":Altra osservazione: ammettendo che fosse tutto giusto fino all'ultimo passaggio, l'esercizio non era finito perché dovevi calcolare le radici seste: hanno modulo 1 ed argomento $((3pi)/4+2kpi)/6=pi/8+(kpi)/3$

si non le ho postate perchè sapevo che qualcosa era sbagliato e sarebbe stata fatica sprecata, scrivere tutte le radici seste....

[giammaria2]

"domy90": perchè esce uno al denominatore? non capisco....

Tu stesso hai scritto che il modulo del denominatore è [tex]1[/tex], aggiungendovi anche il suo argomento, $-147 pi/4$; era richiesto solo il modulo, quindi [tex]1[/tex]

[kioccolatino90]

ah già perchè al denominatore vi era $|*|$ quindi voleva solo il modulo di quel numero complesso che stava al denominatore....

[kioccolatino90]

mentre se ad esempio fosse stato come questa: $z=root(3)(((-1)/(1/2+isqrt3/2))^3$ quel procedimento di prima andava bene: $z=root(3)(((-1)/([1;pi/6]))^3)=root(3)([-1;pi/6]^3)=root(3)([-1^3;3pi/6])= root(3)([-1;pi/2])$ dunque: $root(3)(-(cos (pi/2)+isin (pi/2)))= root(3)(-(cos (pi/2)+isin (pi/2)))= root(3)(-i)$ e quindi devo trovare le radici terze di $-i$ dico bene?

[giammaria2]

Ci sono due errori: il modulo non può mai essere negativo (questo però non impedirebbe al risultato di venire giusto) e l'angolo iniziale non è $pi/6$ ma $pi/3$. Il metodo più semplice per il tuo esercizio mi sembra quello di razionalizzare il denominatore; per non impazzire con il compilatore, faccio i calcoli un pezzo per volta.
$(-1)/(1/2+isqrt3/2)=(-1)/(1/2+isqrt3/2)* (1/2-isqrt3/2)/(1/2-isqrt3/2)=(-1/2+isqrt3/2)/(1/4+3/4)= -1/2+isqrt3/2=[1,(2pi)/3]$
Elevando al cubo ottengo $[1, 2pi]$, quindi $z=root(3)1$ e basta completare il calcolo.
Aggiungo che con i numeri reali sarebbe stato consigliabile semplificare fra loro l'esponente e l'indice di radice; non credo però che sia lecito farlo con i numeri complessi.

[kioccolatino90]

che delusione, pensavo che almeno una volta avevo azzeccato il procedimento...... però se al numeratore c'era $1$ e non $-1$ il modulo sarebbe stato positivo e il procedimento era giusto........?

[giammaria2]

L'angolo era comunque sbagliato. Inoltre, come tu stesso hai scritto qualche intervento fa, [tex]\displaystyle \frac 1 {[1,\alpha]}=[1,-\alpha][/tex] .
Comunque non preoccuparti: i numeri complessi vengono quasi sempre studiati in modo molto meno approfondito di quanto faccia il tuo libro e pochissimi allievi di secondaria saprebbero svolgere senza errori esercizi complicati come gli ultimi che hai postato.

[kioccolatino90]

già ho fatto un po di errori con l'angolo e non ho nemmeno applicato $1/([1;alpha])=[1;-alpha]$

Comunque ieri ho svolto questo esercizio: $z^6=(1-i)^3$

come prima cosa ho fatto: $z=root(6)((1-i)^3)$ poi ho scritto in forma trigonometrica $(1-i)^3= [sqrt2;-pi/4]^3$ e mi viene:

$z=root(6)( [sqrt2;-pi/4]^3)=z=root(6)( [(sqrt2)^3;-3/4pi])$ quindi $-3/4pi$ si trova nel quarto quadrante;

dunque devo calcolare le radici seste di quest'equazione:
$z=root(6)( [2sqrt2;-3/4pi])$

procedo:
$root(6)(z) rarr omega_k=[root(6)(2sqrt2);(-3/4pi+2kpi)/6]_(k=0,1,2,3,4,5)$

essendo:
$root(6)(2sqrt2)=$ $root(6)(2)*root(6)(sqrt2)=$ $root(6)(2)*root(12)(2)=$ $2^1/6*2^1/12$ $=2^(1/6+1/12)=$ $2^(3/12)=$ $root(12)(2^3)=$ $(2)root(12)(2)$

$omega_k=[(2)root(12)(2);(-3/4pi+2kpi)/6]_(k=0,1,2,3,4,5)$ successivamente ho calcolato le radici seste al variare del parametro $k$:

$omega_(k_0)=[(2)root(12)(2);-pi/8]= (2)root(12)(2)(cos(pi/8)-isin (pi/8))$;

$omega_(k_1)= [(2)root(12)(2);(-3/4+2pi)1/6]=[(2)root(12)(2);(5/4pi)1/6]=[(2)root(12)(2);(5/24pi)]=(2)root(12)(2)(cos(5/24pi)+isin (5/24pi))$; e così via....

[giammaria2]

Attento al modulo: l'esponente e l'indice di radice si semplificano fra loro e ottieni $root(12)(2^3)=root(4)2$. Poiché all'inizio c'era un'elevazione al cubo, il metodo più rapido era $root(6)((sqrt2)^3)=sqrt(sqrt2)=root(4)2$.
Non ho guardato con attenzione il resto, ma mi sembra giusto.

[kioccolatino90]

io volevo fare così però non ero sicuro....
il procedimento almeno l'ho fatto bene.......
Ho trovato un esercizio davvero interessante che non ho saputo svolgere ma che mi piacerebbe sapere come si fa, la traccia è questa:

trovare un polinomio $p(z) in RR[z]$ di grado 5, avente $a=0$ come radice semplice, $b=2-3i$ come radice di molteplicità $2$, tale che $p(0)=1$...

io avevo pensato: $a^5(2-3i)^2$ ma credo che non è così è troppo facile....

[giammaria2]

Così non è un polinomio in $z$; inoltre un'elevazione alla quinta fa pensare ad una radice con molteplicità 5.
Avevo scritto la soluzione senza badare ai valori forniti per le soluzioni; la lascio per mostrarti il procedimento generale, ma poi ne faccio la critica, relativa ai valori dati.

Soluzione generale
Trascurando per ora l'ultima condizione, deve essere
$p(z)=(z-a)(z-b)^2(alpha z^2+beta z+gamma)$
dove l'ultimo fattore è stato introdotto perché il grado diventasse 5; deve essere $alpha!=0$. Imponiamo ora $p(0)=1$:
$(0-a)(0-b)^2(alpha*0^2+beta*0+gamma)=1->gamma=-1/(ab^2)=...$
Non ci sono dati per calcolare $alpha,beta$ e possiamo sceglierli a piacere; la scelta più semplice è $alpha=1$ e $beta=0$

Critica
Nel nostro caso era però $a=0$, quindi non possiamo ricavare $gamma$: il problema è impossibile. Del resto, se una soluzione è $z=a=0$, ne consegue che $p(0)=0!=1$

Dubbio
Cos'è $RR[z]$? Forse ho sbagliato tutto.

[kioccolatino90]

sul foglietto c'è scritto $p(z) in RR[z]$ quindi penso che si riferisca al campo dei numeri complessi.... forse la soluzione è $S=Phi$.....cioè non esiste $p(0)=1$....

[giammaria2]

Di solito la lettera $RR$ indica il campo dei reali, mentre il campo dei complessi è $CC$; il mio dubbio era in realtà una domanda rivolta a chi ne sa più di noi. Quanto alla soluzione, è la stessa che ho trovato io, quindi forse non ho sbagliato.

[giammaria2]

Mi è venuta un'idea per quel $p(z) in RR[z]$: forse si intende che le radici possono essere complesse ma i coefficienti del polinomio devono essere reali. Il problema continua ad essere impossibile perché se una radice è zero si ha $p(0)=0$, ma supponiamo che i dati fossero $a=2$ e $b=2-3i$, in modo che non ci siano contraddizioni. In questo caso, poiché ci sono anche le complesse coniugate di $b$, il polinomio è
$p(z)=alpha(z-a)(z-b)^2(z-bar b)^2=...=alpha(z-2)(z^2-4z+13)^2$

Imponendo poi $p(0)=1$, ottengo $alpha*(-2)*13^2=1-> alpha=-1/338$

[kioccolatino90]

ma quindi alla fine l'esercizio vuole sapere $alpha$?

[giammaria2]

L'esercizio vuole sapere un polinomio che soddisfa a quelle condizioni, ed è quello che ho scritto nella mia penultima riga, in cui però c'era ancora un coefficiente incognito, $alpha$. Per dare la risposta finale avrei dovuto ricopiare quel polinomio, sostituendovi il valore trovato: non l'ho fatto pensando che era molto ovvio.

[kioccolatino90]

si si infatti io avevo scritto il poliniomio in questo modo: $-1/338(z-2)(z^2-4z+13)^2$, però volevo una certezza... perchè non ero sicuro se cercava questo o $alpha$...