Numeri complessi: esercizi...
buona sera a tutti, avrei dei semplici esercizi sui numeri complessi di cui non capisco dei piccoli dettagli, ad esempio:
trovare la parte immaginaria di: $Imm((sqrt3/2+i)/(2-i))=$ $(sqrt3+2i)/(2-i)*(2+i)/(2+i)=$ $(2sqrt3-2+sqrt3i+4i)/5$ $rArr$ $((sqrt3+4)/5)i$ però sul libro non mi trovo, da come risultato: $((sqrt3+4)/10)i$ dove ho sbagliato? i calcoli sembrano fatti bene, li ho ricontrollati più volte.....
trovare la parte immaginaria di: $Imm((sqrt3/2+i)/(2-i))=$ $(sqrt3+2i)/(2-i)*(2+i)/(2+i)=$ $(2sqrt3-2+sqrt3i+4i)/5$ $rArr$ $((sqrt3+4)/5)i$ però sul libro non mi trovo, da come risultato: $((sqrt3+4)/10)i$ dove ho sbagliato? i calcoli sembrano fatti bene, li ho ricontrollati più volte.....
Risposte
Sì, sul cerchio goniometrico è lo stesso punto, anche se i due numeri sono diversi.
quindi $-pi$ sarebbe $2pi$ che è anche $0$?
No: $-pi$ significa "ruotiamo di $pi$ (cioè di mezzo giro) andando in senso negativo (cioè in senso orario)"; è lo stesso punto di $pi$.
cioè $-pi$ vale $(-1;0)$???
La frase è sbagliata, ma il concetto è giusto: il punto del cerchio goniometrico corrispondente all'angolo $-pi$ ha coordinate cartesiane (-1,0) nell'abituale sistema di riferimento. In sé e di per sé, $-pi$ vale -3,14...
Se vuoi una frase breve ma accettabile, puoi dire che $-pi$ corrisponde a (-1,0).
Se vuoi una frase breve ma accettabile, puoi dire che $-pi$ corrisponde a (-1,0).
ho capito, o ruoto in senso orario o in senso antiorario di $pi$ arrivo sempre allo stesso "valore", perchè comunque $pi= (-1,0)$, $-pi$ corrisponde a $(-1,0)$...
poi ho un'altro che non capisco come devo procedere....
$Z^4=(1+1/sqrt3i)^4$
$rho=sqrt(1+1/3)=sqrt(4/3)= sqrt2/3$
$cos theta= 1/(sqrt2/3)= 3/(sqrt2)=(3sqrt2)/2$
$sin theta= (1/sqrt3)/(sqrt2/3)= 1/sqrt3*3/sqrt2= 3/(sqrt2*sqrt3)$
solo che ora non so che fare, dove ho sbagliato?
$Z^4=(1+1/sqrt3i)^4$
$rho=sqrt(1+1/3)=sqrt(4/3)= sqrt2/3$
$cos theta= 1/(sqrt2/3)= 3/(sqrt2)=(3sqrt2)/2$
$sin theta= (1/sqrt3)/(sqrt2/3)= 1/sqrt3*3/sqrt2= 3/(sqrt2*sqrt3)$
solo che ora non so che fare, dove ho sbagliato?
"domy90":
dove ho sbagliato?
Qui $rho=sqrt(1+1/3)=sqrt(4/3)= sqrt2/3$
la forma corretta è $rho=sqrt(1+1/3)=sqrt(4/3)= 2/sqrt3$
ma non si razionalizza? o meglio di solito quando si ha un irrazionale al denominatore si razionalizza, però ora è sbagliato perchè?......
razionalizzando viene $2/3*sqrt3$ e non come hai scritto tu.
ma $a/sqrtb= (a*sqrtb)/(sqrtb*sqrtb)=(a*sqrtb)/b$???
L'ultimo scritto è giusto; lo sbaglio era in $sqrt(4/3)=sqrt2/3$. In realtà si ha
$sqrt(4/3)=2/sqrt3=(2sqrt3)/3$
Ho razionalizzato, anche se questo è uno dei rari casi in cui è meglio non farlo: diventano più facili sia la divisione per $rho$ che la sua elevazione a potenza. Comunque non è errore razionalizzare.
$sqrt(4/3)=2/sqrt3=(2sqrt3)/3$
Ho razionalizzato, anche se questo è uno dei rari casi in cui è meglio non farlo: diventano più facili sia la divisione per $rho$ che la sua elevazione a potenza. Comunque non è errore razionalizzare.
non lo sapevo....
comunque non è un errore però comunque mi ha portato a sbagliare l'esercizio perchè ammettiamo che non avevo fatto l'errore e avevo scritto giusto $sqrt(4/3)$ comunque poi razionalizzavo e non sapevo come continuare, quindi l'esercizio non svolto....ma credo che si poteva fare qualcosa o no?
comunque non è un errore però comunque mi ha portato a sbagliare l'esercizio perchè ammettiamo che non avevo fatto l'errore e avevo scritto giusto $sqrt(4/3)$ comunque poi razionalizzavo e non sapevo come continuare, quindi l'esercizio non svolto....ma credo che si poteva fare qualcosa o no?
Ammettiamo che tu avessi fatto i calcoli giusti e razionalizzato, ottenendo $rho=(2sqrt3)/3$. Continuavi così:
$cos theta=1/((2sqrt3)/3)=3/(2sqrt3)=(3sqrt3)/6=(sqrt3)/2$
e in modo analogo calcolavi il seno.
Se guardi i valori che in precedenza hai ottenuto per seno e coseno, noti che sono maggiori di 1: non è possibile, quindi cerchi l'errore. Se non lo trovi, puoi calcolare $theta$ in un altro modo: dato $z=u+iv$, si ha $tg theta=v/u$; nel tuo caso $tg theta=1/sqrt3$. Non basta a determinare l'angolo, che può essere nel primo o nel terzo quadrante; notando però che seno e coseno sono positivi (per questo basta guardare il segno di $u,v$), scegli $theta=pi/6$.
$cos theta=1/((2sqrt3)/3)=3/(2sqrt3)=(3sqrt3)/6=(sqrt3)/2$
e in modo analogo calcolavi il seno.
Se guardi i valori che in precedenza hai ottenuto per seno e coseno, noti che sono maggiori di 1: non è possibile, quindi cerchi l'errore. Se non lo trovi, puoi calcolare $theta$ in un altro modo: dato $z=u+iv$, si ha $tg theta=v/u$; nel tuo caso $tg theta=1/sqrt3$. Non basta a determinare l'angolo, che può essere nel primo o nel terzo quadrante; notando però che seno e coseno sono positivi (per questo basta guardare il segno di $u,v$), scegli $theta=pi/6$.
ho capito, grazie!!!!!! 
tuttavia gli esercizi non sono finiti o meglio di questa tipologia si, infatti ora devo cercare le radici $root(n)(Z)$ del numero $Z$.... cominciando da questa:
$root(4)(-1/2+sqrt3/2i)$ allora noto che sotto radice sembrerebbe l'angolo $pi-pi/3$.. ora da questo posso fare direttamente qualche considerazione particolare per velocizzare e semplificare i calcoli? ad esempio se calcolo $rho$ ottengo $-1/2$ però cambiato di segno....
tuttavia gli esercizi non sono finiti o meglio di questa tipologia si, infatti ora devo cercare le radici $root(n)(Z)$ del numero $Z$.... cominciando da questa:
$root(4)(-1/2+sqrt3/2i)$ allora noto che sotto radice sembrerebbe l'angolo $pi-pi/3$.. ora da questo posso fare direttamente qualche considerazione particolare per velocizzare e semplificare i calcoli? ad esempio se calcolo $rho$ ottengo $-1/2$ però cambiato di segno....
Impossibile che tu ottenga $rho=-1/2$ perché, per la sua stessa definizione, $rho$ è sempre positivo: controlla i tuoi calcoli. I miei danno $rho=1$.
Quanto all'angolo, è giusto (fai anche la sottrazione indicata), ma quando si calcolano le radici occorre sempre ricordare che è definito a meno di multipli dell'angolo giro, quindi $theta=(2pi)/3+2k pi$.
Quanto all'angolo, è giusto (fai anche la sottrazione indicata), ma quando si calcolano le radici occorre sempre ricordare che è definito a meno di multipli dell'angolo giro, quindi $theta=(2pi)/3+2k pi$.
"giammaria":no non ho ottenuto $-1/2$ ma volevo dire $+1/2$ tuttavia era sbagliato lo stesso, ora ho corretto....
Impossibile che tu ottenga $rho=-1/2$ perché, per la sua stessa definizione, $rho$ è sempre positivo: controlla i tuoi calcoli. I miei danno $rho=1$.
"giammaria":
Quanto all'angolo, è giusto (fai anche la sottrazione indicata), ma quando si calcolano le radici occorre sempre ricordare che è definito a meno di multipli dell'angolo giro, quindi $theta=(2pi)/3+2k pi$.
quindi l'anlgolo è giusto e non c'è bisogno di calcolare seno e coseno dividendo per $rho$, quello che c'è sotto radice risulata essere proprio l'angolo che cerco e dunque quando mi trovo in un caso del genere (valori di angoli noti sotto radice) posso saltare il calcolo del seno e del coseno poichè essi mi servono solo per trovare l'angolo $theta$.
ma solo se $rho=1$, quindi mi chiedo: in casi del genere $rho$ è sempre uguale a uno?
"domy90":La prima frase non è chiara; forse volevi dire che non occorre dividere per $rho$ perché sarebbe dividere per 1. Se $rho!=1$, fai i calcoli nel modo normale e trovi l'angolo dividendo per il modulo o usando la formula per la sua tangente, come già facevi per le potenze.
quindi l'angolo è giusto e non c'è bisogno di calcolare seno e coseno dividendo per $rho$, quello che c'è sotto radice risulata essere proprio l'angolo che cerco e dunque quando mi trovo in un caso del genere (valori di angoli noti sotto radice) posso saltare il calcolo del seno e del coseno poichè essi mi servono solo per trovare l'angolo $theta$.
ma solo se $rho=1$, quindi mi chiedo: in casi del genere $rho$ è sempre uguale a uno?
si si è quello volevo dire...
ad esempio se sotto radice ho i valori di un angolo noto tipo ad esempio: $root(n)(sqrt2/2+isqrt2/2)$ non bisogno di calcolare il seno e il coseno per individuare $theta$ poichè l'argomento della radice mi ha già esplicitato l'angolo che mi serve, e quindi volevo sapere se succede per tutti gli angoi noti ($0; pi/2; pi; 3/2pi; 2pi, pi/6;pi/4; pi/3$)....
ad esempio se sotto radice ho i valori di un angolo noto tipo ad esempio: $root(n)(sqrt2/2+isqrt2/2)$ non bisogno di calcolare il seno e il coseno per individuare $theta$ poichè l'argomento della radice mi ha già esplicitato l'angolo che mi serve, e quindi volevo sapere se succede per tutti gli angoi noti ($0; pi/2; pi; 3/2pi; 2pi, pi/6;pi/4; pi/3$)....
No, non sempre succede. Ad esempio, se devi calcolare $root(4)(-2+2isqrt3)$, trovi che il radicando ha $rho=4$ e $theta=(2pi)/3+2kpi$, quindi le radici hanno $rho=root(4)4=sqrt2$ e $theta=pi/6+k pi/2$.
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