Limiti
Non sto capendo un passaggio :
Scusate, ma come fa a dire prima che $ f(x) = (x^2 - x -2)/(x-2) $ e poi dice che per $ x!= 2 $ diventa:
$ x+1 = (x^2 - x -2)/(x-2) $
Ma da dove ha preso quel $ x+1 $ ????
Scusate, ma come fa a dire prima che $ f(x) = (x^2 - x -2)/(x-2) $ e poi dice che per $ x!= 2 $ diventa:
$ x+1 = (x^2 - x -2)/(x-2) $
Ma da dove ha preso quel $ x+1 $ ????
Risposte
$lim_(x->+infty) x* senx= +infty * (?)$
Mi sto incasinando con il seguente limite:
$lim_(n->+oo) n * (log(n^2+1))/(n^3)$
Essendo nella forma $+-oo$ , mi viene di dire che:
$lim_(n->+oo) (log(n^2))/(n^2)= -oo$
E' giusto?
Mentre se fosse cosi'?
$lim_(n->+oo) n^2* (log(n^2+1))/(n^3)$
Quanto farebbe?
P.S. Questi sono limiti che sto incontrando nel calcolo infinitesimo!
Helppppppp!!!!!!!
$lim_(n->+oo) n * (log(n^2+1))/(n^3)$
Essendo nella forma $+-oo$ , mi viene di dire che:
$lim_(n->+oo) (log(n^2))/(n^2)= -oo$
E' giusto?
Mentre se fosse cosi'?
$lim_(n->+oo) n^2* (log(n^2+1))/(n^3)$
Quanto farebbe?
P.S. Questi sono limiti che sto incontrando nel calcolo infinitesimo!
Helppppppp!!!!!!!
Io avrei fatto così:
$lim_(n->+infty) (ln(n^2+1))/n^3 $
Possiamo applicare De l'Hopital in quanto abbiamo la forma indeterminata $[infty/infty]$
$lim_(n->+infty) (ln(n^2+1))/n^3 = lim_(n->+infty) ((1/(n^2+1))*2n)/(3n^2) = lim_(n->+infty) (2n)/((n^2+1)(3n^2))$
$lim_(n->+infty) (2n)/((n^2+1)(3n^2)) = lim_(n->+infty) (2n)/(3n^4+3n^2) = lim_(n->+infty) (n*(2))/((n^4)*(3+(3/n^2)))$
Semplificando il tutto viene che:
$lim_(n->+infty) (ln(n^2+1))/n^3 = lim_(n->+infty) 2/(3n^3) = [2/(+infty) ] = 0 $
Quindi $lim_(n->+infty) n*((ln(n^2+1))/(n^3)) = lim_(n->+infty)n*( 2/(3n^3)) =$ (non sono molto sicuro di questa mia ultima sostituzione)
$= lim_(n->+ infty) 2/(3n^2)= [2/(+infty)] = 0$
Ripeto IO avrei approcciato così il limite... non so però fino a quanto è corretto!!
$lim_(n->+infty) (ln(n^2+1))/n^3 $
Possiamo applicare De l'Hopital in quanto abbiamo la forma indeterminata $[infty/infty]$
$lim_(n->+infty) (ln(n^2+1))/n^3 = lim_(n->+infty) ((1/(n^2+1))*2n)/(3n^2) = lim_(n->+infty) (2n)/((n^2+1)(3n^2))$
$lim_(n->+infty) (2n)/((n^2+1)(3n^2)) = lim_(n->+infty) (2n)/(3n^4+3n^2) = lim_(n->+infty) (n*(2))/((n^4)*(3+(3/n^2)))$
Semplificando il tutto viene che:
$lim_(n->+infty) (ln(n^2+1))/n^3 = lim_(n->+infty) 2/(3n^3) = [2/(+infty) ] = 0 $
Quindi $lim_(n->+infty) n*((ln(n^2+1))/(n^3)) = lim_(n->+infty)n*( 2/(3n^3)) =$ (non sono molto sicuro di questa mia ultima sostituzione)
$= lim_(n->+ infty) 2/(3n^2)= [2/(+infty)] = 0$
Ripeto IO avrei approcciato così il limite... non so però fino a quanto è corretto!!
Il risultato mi pare corretto, si poteva concludere anche senza semplificarla molto in quanto il grado al denominatore è maggiore di quello al numeratore.
Ok, ma perche' il testo si ferma al secondo passaggio per dire che la serie converge?
Non sto proprio capendo cosa fa per dire che la serie diverge!
Come fa?
Lui parte dalla sommatoria iniziale:
$ sum_(n=2)^(+oo) (log(n^2 +1))/(n^3)$
Questo e' evidente che tende a zero!
Poi fa pa verifica con la fase 1, sarebbe pa seguente:
$ sum_(n=2)^(+oo)n (log(n^2 +1))/(n^3)$
E io penso che basterebbe per dire che converge, perche' :
$ sum_(n=2)^(+oo) (log(n^2 +1))/(n^2)$
Penso si possa pensare al seguente:
$ lim_(n->+oo) (log(x +1))/(x)=1$
Perche' arriva fino al secondo passaggio per dire che converge? Cioe' a utilizzare la seguente?
$ lim_(n->+oo) n^2(log(n^2 +1))/(n^3)$
????????
Se lui arriva a dire che converge con questo ultimo limite, allora che calcoli ha fatto?????
Ecco cosa ha fatto:
Utilizzando questo schemino:
Helpppppp
Non sto proprio capendo cosa fa per dire che la serie diverge!
Come fa?
Lui parte dalla sommatoria iniziale:
$ sum_(n=2)^(+oo) (log(n^2 +1))/(n^3)$
Questo e' evidente che tende a zero!
Poi fa pa verifica con la fase 1, sarebbe pa seguente:
$ sum_(n=2)^(+oo)n (log(n^2 +1))/(n^3)$
E io penso che basterebbe per dire che converge, perche' :
$ sum_(n=2)^(+oo) (log(n^2 +1))/(n^2)$
Penso si possa pensare al seguente:
$ lim_(n->+oo) (log(x +1))/(x)=1$
Perche' arriva fino al secondo passaggio per dire che converge? Cioe' a utilizzare la seguente?
$ lim_(n->+oo) n^2(log(n^2 +1))/(n^3)$
????????
Se lui arriva a dire che converge con questo ultimo limite, allora che calcoli ha fatto?????
Ecco cosa ha fatto:
Utilizzando questo schemino:
Helpppppp
Scusate, ma quanto fa il seguente limite?
$lim_(n->+oo) (2/n - sin(1/n))$
E quanto fa invece il seguente?
$lim_(n->+oo) n (2/n - sin(1/n))$
$lim_(n->+oo) (2/n - sin(1/n))$
E quanto fa invece il seguente?
$lim_(n->+oo) n (2/n - sin(1/n))$
Il primo credo faccia $0$, il secondo per ora non mi viene.
Fai la sostituzione $n=1/x$:
- il primo limite diventa $lim_(x->0)(2x-sinx)$
- il secondo diventa $lim_(x->0)(2-sinx/x)$
entrambi facilissimi.
- il primo limite diventa $lim_(x->0)(2x-sinx)$
- il secondo diventa $lim_(x->0)(2-sinx/x)$
entrambi facilissimi.
"giammaria":
Fai la sostituzione $n=1/x$:
- il primo limite diventa $lim_(x->0)(2x-sinx)$
- il secondo diventa $lim_(x->0)(2-sinx/x)$
entrambi facilissimi.
Accipicchia, non riesco a risolverli!
Sono sicuro che non sto ricordando
Nel primo credo si debba semplicemente sostituire, nel secondo hai $(senx)/x$ che è un limite notevole per $ x-> 0$
Adesso ho proprio un dubbio......
Se io ho un limite nella forma indeterminata $0/0$ oppure $(oo)/(oo)$ posso applicare del?Hospital, perfetto, ma perchè il risultato non è lo stesso per il seguente?
$lim_(x->2) (x^4 -8x^2+16)/(x^3-8) = 0/0$
Con del'Hospital:
$lim_(x->2) (4x3 -16x)/(3x^2) = (36-36)/(12) = 0/12 = 0$
Mentre se uso un po di artifici per togliere quella forma di indeterminazione, arrivo alla seguente conclusione:
$lim_(x->2) (x^4 -8x^2+16)/(x^3-8) =lim_(x->2) ((x-2)^2(x+2)^2)/((x-2)(x^2+2x+4)) =lim_(x->2) ((x-2)(x+2)^2)/(x^2+2x+4)=lim_(x->2) (x-2) = 0$
Alla fine, cosa mi è servito applicare del'Hospital se la soluzione è sempre zero?
Ho pensato che lo scopo principale è solo stato quello di togliere la forma di indeterminazione, vero? Fatto quello, allora si arriva a confermare che è veramente vero senza essere tanto indeterminati nella sua esistenza, vero????
Se io ho un limite nella forma indeterminata $0/0$ oppure $(oo)/(oo)$ posso applicare del?Hospital, perfetto, ma perchè il risultato non è lo stesso per il seguente?
$lim_(x->2) (x^4 -8x^2+16)/(x^3-8) = 0/0$
Con del'Hospital:
$lim_(x->2) (4x3 -16x)/(3x^2) = (36-36)/(12) = 0/12 = 0$
Mentre se uso un po di artifici per togliere quella forma di indeterminazione, arrivo alla seguente conclusione:
$lim_(x->2) (x^4 -8x^2+16)/(x^3-8) =lim_(x->2) ((x-2)^2(x+2)^2)/((x-2)(x^2+2x+4)) =lim_(x->2) ((x-2)(x+2)^2)/(x^2+2x+4)=lim_(x->2) (x-2) = 0$
Alla fine, cosa mi è servito applicare del'Hospital se la soluzione è sempre zero?
Ho pensato che lo scopo principale è solo stato quello di togliere la forma di indeterminazione, vero? Fatto quello, allora si arriva a confermare che è veramente vero senza essere tanto indeterminati nella sua esistenza, vero????
"Bad90":
Mentre se uso un po di artifici per togliere quella forma di indeterminazione, arrivo alla seguente conclusione:
$lim_(x->2) (x^4 -8x^2+16)/(x^3-8) =lim_(x->2) ((x-2)^2(x+2)^2)/((x-2)(x^2+2x+4)) =lim_(x->2) ((x-2)(x+2)^2)/(x^2+2x+4)=lim_(x->2) (x-2) = 0$
L'ultima semplificazione che hai fatto non è corretta, infatti \[
x^2 + 2x + 4 \ne \left(x+2\right)^2
\] Comunque il risultato del limite viene $0$ con tutti i metodi.
"Bad90":
Alla fine, cosa mi è servito applicare del'Hospital se la soluzione è sempre zero?
Ho pensato che lo scopo principale è solo stato quello di togliere la forma di indeterminazione, vero? Fatto quello, allora si arriva a confermare che è veramente vero senza essere tanto indeterminati nella sua esistenza, vero????
Il metodo di Hopital non è quasi mai l'unico possibile per risolvere un limite, anche se in moltissimi casi facilita parecchio le cose visto che accorcia di molto i calcoli.
"minomic":
Il metodo di Hopital non è quasi mai l'unico possibile per risolvere un limite, anche se in moltissimi casi facilita parecchio le cose visto che accorcia di molto i calcoli.
Infatti, mi sono reso conto che se vedo una forma di indeterminazione del tipo $0/0$ oppure $oo/oo$, utilizzo solo del'Hospital, oppure cerco di portarmi a quella forma indeterminata che agevola i calcoli, vero?
"minomic":
L'ultima semplificazione che hai fatto non è corretta, infatti \[
x^2 + 2x + 4 \ne \left(x+2\right)^2
\] Comunque il risultato del limite viene $0$ con tutti i metodi.
Ma come?
$(x+2)^2 = x^2 + 2x +4$ come fai a dire che non è la stessa cosa?
"Bad90":
Ma come?
$(x+2)^2 = x^2 + 2x +4$ come fai a dire che non è la stessa cosa?
Ci vorrebbe $+4x$
Invece $x^2 + 2x + 4$ si chiama "falso quadrato" e non è MAI scomponibile poichè il suo $Delta$ è $<0$.
Scusatemi, ma il seguente limite, quanto vale?
$lim_(x->2^+) x-2 = ....$
E quanto varrebbe invece il seguente limite?
$lim_(x->2^-) 2-x = ....$
$lim_(x->2^+) x-2 = ....$
E quanto varrebbe invece il seguente limite?
$lim_(x->2^-) 2-x = ....$
Valgono entrambi $0+$. Il trucco è vedere $2+$ come "appena più di $2$" e viceversa con il meno.
Perchè il limite seguente è uguale a 1?
$lim_(n->+oo) root(n)(n) -1 = 1$
$lim_(n->+oo) root(n)(n) -1 = 1$
"Bad90":
Perchè il limite seguente è uguale a 1?
$lim_(n->+oo) root(n)(n) -1 = 1$
Per caso intendevi $root(n)(n-1)$ ?
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