Limiti
Non sto capendo un passaggio :
Scusate, ma come fa a dire prima che $ f(x) = (x^2 - x -2)/(x-2) $ e poi dice che per $ x!= 2 $ diventa:
$ x+1 = (x^2 - x -2)/(x-2) $
Ma da dove ha preso quel $ x+1 $ ????
Scusate, ma come fa a dire prima che $ f(x) = (x^2 - x -2)/(x-2) $ e poi dice che per $ x!= 2 $ diventa:
$ x+1 = (x^2 - x -2)/(x-2) $
Ma da dove ha preso quel $ x+1 $ ????
Risposte
Non sto riuscendo a capirlo!
Ricapitoliamo, io ho:
$lim_(x->1^+) ln(1-1/x) = ? $
A me sembra ovvio per il seguente fatto:
$lim_(x->1^+) ln(1-1/x) = lim_(x->1^+) ln(1-1/(1.1)) = lim_(x->1^+) ln(0^+) = -oo $
Ricapitoliamo, io ho:
$lim_(x->1^+) ln(1-1/x) = ? $
A me sembra ovvio per il seguente fatto:
$lim_(x->1^+) ln(1-1/x) = lim_(x->1^+) ln(1-1/(1.1)) = lim_(x->1^+) ln(0^+) = -oo $
Se $x -> 1^+$ a cosa tende $1/x$? Tenderà a $1^-$ perché stai dividendo $1$ per una quantità un po' più grande di $1$. Giusto?
Bene, quindi $1-1/x -> 0^+$ perché stai togliendo a $1$ una quantità un po' più grande di $1$.
Infine $ln(1-1/x) -> -oo$ perché abbiamo detto che l'argomento del logaritmo tende a $0^+$.
Bene, quindi $1-1/x -> 0^+$ perché stai togliendo a $1$ una quantità un po' più grande di $1$.
Infine $ln(1-1/x) -> -oo$ perché abbiamo detto che l'argomento del logaritmo tende a $0^+$.
Ok, allora:
$lim_(x->1^-) ln(1-1/x) = ? $
A me sembra ovvio per il seguente fatto:
$lim_(x->1^-) ln(1-1/x) = lim_(x->1^-) ln(1-1/(0.9)) = lim_(x->1^-) ln(-0) = ? $ questo a me sembra impossibile!
$lim_(x->1^-) ln(1-1/x) = ? $
A me sembra ovvio per il seguente fatto:
$lim_(x->1^-) ln(1-1/x) = lim_(x->1^-) ln(1-1/(0.9)) = lim_(x->1^-) ln(-0) = ? $ questo a me sembra impossibile!
Ma prima hai scritto $x -> 1^+$.
Comunque sì, per $x -> 1^-$ il limite non esiste.
Comunque sì, per $x -> 1^-$ il limite non esiste.
"minomic":
Ma prima hai scritto $x -> 1^+$.
Comunque sì, per $x -> 1^-$ il limite non esiste.
E si, ho prima risolto per $1^+$ e poi ho risolto per $1^-$.
"Bad90":
... e poi ho risolto per $1^-$.
Mi verrebbe da chiederti: "perché?"
Se calcoli il dominio della funzione hai $$1-\frac{1}{x} > 0 \quad\rightarrow\quad \frac{1}{x}<1 \quad\rightarrow\quad x <0 \vee x > 1$$ Riscrivendo per intervalli: $$x \in \left(-\infty, 0\right) \cup \left(1, +\infty\right)$$
Sto studiando la seguente funzione:
$f(x) = ln|(1-1/x)|$
Sto studiando il caso $f(x) = ln(1-1/x) if x>0$ e $f(x) = ln(1/x-1) if x<0$
Non capisco cosa intendi!
Aiutami a capire!
$f(x) = ln|(1-1/x)|$
Sto studiando il caso $f(x) = ln(1-1/x) if x>0$ e $f(x) = ln(1/x-1) if x<0$
Non capisco cosa intendi!
Aiutami a capire!
Attenzione: avrai $$f(x) = \ln\left(1-\frac{1}{x}\right) \quad \text{if}\ \ x<0 \vee x>1 $$
"minomic":
Attenzione: avrai $$f(x) = \ln\left(1-\frac{1}{x}\right) \quad \text{if}\ \ x<0 \vee x>1 $$
Da dove lo capisci?
Spiegami il ragionamento che fai!
Dalla definizione di valore assoluto: $$|\star| = \begin{cases}\star & \text{if}\quad \star > 0 \\ -\star & \text{if}\quad \star < 0\end{cases}$$ Nel tuo caso hai $\star = 1-1/x$. Se risolvi la disequazione $$1-\frac{1}{x} > 0$$ trovi esattamente quello che ti dicevo. 
"minomic":
Dalla definizione di valore assoluto: $$|\star| = \begin{cases}\star & \text{if}\quad \star > 0 \\ -\star & \text{if}\quad \star < 0\end{cases}$$ Nel tuo caso hai $\star = 1-1/x$. Se risolvi la disequazione $$1-\frac{1}{x} > 0$$ trovi esattamente quello che ti dicevo.
E si, adesso ho capito!
Così si capisce che non bisogna considerare l'intervallo $0,1$, giusto?
Esatto: in $(0,1)$ la funzione assumerà l'altra forma.
Ho capito questo metodo, bene, potresti farmi qualche altro esempio di funzioni in cui si conviene operare in questo modo????
Insomma, vorrei capire bene questo metodo!
Insomma, vorrei capire bene questo metodo!
Ogni funzione che contenga un valore assoluto è da trattare in questo modo.
Piuttosto attenzione a qualche "trabocchetto" che a volte può capitare. Ad esempio $$f(x) = |x^2+x+1|$$ In questo caso il valore assoluto si può proprio togliere perché $$x^2+x+1 > 0 \qquad \forall x\in \mathbb{R}$$ Quindi puoi scrivere direttamente $$f(x) = x^2+x+1$$
Piuttosto attenzione a qualche "trabocchetto" che a volte può capitare. Ad esempio $$f(x) = |x^2+x+1|$$ In questo caso il valore assoluto si può proprio togliere perché $$x^2+x+1 > 0 \qquad \forall x\in \mathbb{R}$$ Quindi puoi scrivere direttamente $$f(x) = x^2+x+1$$
Ok, qualche altro caso in particolare?
Sai, quelli con i trabocchetti!
Sai, quelli con i trabocchetti!
$f(x) = ln|1-1/x|$
Dominio $x!=0$ e $x!=1$
Pari o dispari: $f(-x)=ln|1-1/(-x)| = ln|1+1/(x)|!= f(x)$
Non è ne pari e ne dispari!
Studierò allora i due casi:
1) $f(x) = ln(1-1/x)$ se $x>0$
2) $f(x) = ln(1/x-1)$ se $x<0$
Va bene fin quì?
Ma se io sono nel primo caso, e sto studiando la positivita' della funzione, come devo fare a determinarla?
Ho provato a pensare che per il primo caso devo fare in questo modo:
$ln((x-1)/x)>0= ((x-1)/x)>e$
Ma poi come devo continuare????
Visto che abbiamo parlato del valore assoluto e dei casi in cui la funzione era con argomento positivo per $x>1^^x<0$, allora dite che devo tener presente questi $C.S.$ ??????????
Potreste aiutarmi a capire come devo fare a determinare la positivita' della funzione in entrambi i casi?????
Poi mi e' venuto un piccolo dubbio!!!
Ma se io ho l'argomento del logaritmo che e' in valore assoluto, e so che per esistere un logartmi deve avere argomento maggiore di zero, non si potrebbe considerare il solo caso per $x>1$ ed evitare di fare considerazioni per il caso $x<0$??????
Dominio $x!=0$ e $x!=1$
Pari o dispari: $f(-x)=ln|1-1/(-x)| = ln|1+1/(x)|!= f(x)$
Non è ne pari e ne dispari!
Studierò allora i due casi:
1) $f(x) = ln(1-1/x)$ se $x>0$
2) $f(x) = ln(1/x-1)$ se $x<0$
Va bene fin quì?
Ma se io sono nel primo caso, e sto studiando la positivita' della funzione, come devo fare a determinarla?
Ho provato a pensare che per il primo caso devo fare in questo modo:
$ln((x-1)/x)>0= ((x-1)/x)>e$
Ma poi come devo continuare????
Visto che abbiamo parlato del valore assoluto e dei casi in cui la funzione era con argomento positivo per $x>1^^x<0$, allora dite che devo tener presente questi $C.S.$ ??????????
Potreste aiutarmi a capire come devo fare a determinare la positivita' della funzione in entrambi i casi?????
Poi mi e' venuto un piccolo dubbio!!!
Ma se io ho l'argomento del logaritmo che e' in valore assoluto, e so che per esistere un logartmi deve avere argomento maggiore di zero, non si potrebbe considerare il solo caso per $x>1$ ed evitare di fare considerazioni per il caso $x<0$??????
Va bene fino al pari dispari.
La positività: $ln((x-1)/x)>0$ porta a $ln((x-1)/x)>ln1$ quindi avrai $(x-1)/x>1$, la $e$ non centra nulla. Analogo l'altro caso.
Non capisco la domanda finale, perchè dovresti evitare il caso $x<0$? Se $x$ assume valori negativi la tua funzione esiste e va studiata.
La positività: $ln((x-1)/x)>0$ porta a $ln((x-1)/x)>ln1$ quindi avrai $(x-1)/x>1$, la $e$ non centra nulla. Analogo l'altro caso.
Non capisco la domanda finale, perchè dovresti evitare il caso $x<0$? Se $x$ assume valori negativi la tua funzione esiste e va studiata.
Allora , vediamo se ho capito come risolvere questo caso:
Imposto il sistema:
$ { ( ln((x-1)/(x))>0 ),( ((x-1)/(x))>0 ):} $ E risolvo il primo caso!
$ { ( ln((1-x)/(x))>0 ),( ((x-1)/(x))<0 ):} $ E risolvo il secondo caso!
Sono giusti i sitemi che ho impostato per vedere la positivita' per ogni caso del valore assoluto?
Ho che il primo caso ha le seguenti soluzioni:
Solo $x>1$
Mentre il secondo caso non ha soluzioni per l'argomento che e' minore di zero, giusto?
Imposto il sistema:
$ { ( ln((x-1)/(x))>0 ),( ((x-1)/(x))>0 ):} $ E risolvo il primo caso!
$ { ( ln((1-x)/(x))>0 ),( ((x-1)/(x))<0 ):} $ E risolvo il secondo caso!
Sono giusti i sitemi che ho impostato per vedere la positivita' per ogni caso del valore assoluto?
Ho che il primo caso ha le seguenti soluzioni:
Solo $x>1$
Mentre il secondo caso non ha soluzioni per l'argomento che e' minore di zero, giusto?
Perchè stai mettendo a sistema? Nel caso $x>0$ avrai $log((x-1)/x)>0$, nel caso $x<0$ avrai $log((1-x)/x)>0$.
perche' io sto trattando la $x$ come l'intero argomento, quindi scrivo $ (x-1)/(x)$ come se fosse $x$, cioe' $ (x-1)/(x)=x$
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