Limiti
Non sto capendo un passaggio :
Scusate, ma come fa a dire prima che $ f(x) = (x^2 - x -2)/(x-2) $ e poi dice che per $ x!= 2 $ diventa:
$ x+1 = (x^2 - x -2)/(x-2) $
Ma da dove ha preso quel $ x+1 $ ????
Scusate, ma come fa a dire prima che $ f(x) = (x^2 - x -2)/(x-2) $ e poi dice che per $ x!= 2 $ diventa:
$ x+1 = (x^2 - x -2)/(x-2) $
Ma da dove ha preso quel $ x+1 $ ????
Risposte
Correggetemi se sbaglio, sto cercando di risolvere la derivata del seguente:
$cossqrt(x)$
Derivando, dovrei arrivare alla seguente:
$1/(2cossqrt(x))*sensqrt(x) * 1/(2sqrtx)$
E giusto
$cossqrt(x)$
Derivando, dovrei arrivare alla seguente:
$1/(2cossqrt(x))*sensqrt(x) * 1/(2sqrtx)$
E giusto
derivata della funzione esterna $sqrtx=1/(2sqrtx)$ per la derivata del coseno $=-sinsqrtx$ risultato $= -(sin(sqrt(x)))/(2 sqrt(x))$
Allora adesso posso calcolare il seguente limite utilizzando De L'Hopital.
$ lim_(x -> 0)(cossqrtx - cosx)/(2x) $
Il testo mi dice che deve essere uguale a $-1/4$, ma qui si tratta di interpretare correttamente le cose ed essendo gli ultimi esercizi che sto facendo di questo argomento, spero di interpretare bene
Derivando per la prima volte avrò:
$ lim_(x -> 0)(-(sensqrtx)/(2sqrtx) + senx)/(2) $
E adesso cosa mi invento per concludere che deve essere $-1/4$
Non sto riuscendo a decifrare in che forma è adesso il limite, ma mi viene spontaneo dire che si potrebbe pensare subito che:
$ lim_(x -> 0)(-1/2(sensqrtx)/(sqrtx) + senx)/(2) = -1/4$
Credetemi, sono riuscito a pensare a questo, solo perchè avevo già il risultato, altrimenti non so se ci sarei arrivato??!!?!?!?!
$ lim_(x -> 0)(cossqrtx - cosx)/(2x) $
Il testo mi dice che deve essere uguale a $-1/4$, ma qui si tratta di interpretare correttamente le cose ed essendo gli ultimi esercizi che sto facendo di questo argomento, spero di interpretare bene
Derivando per la prima volte avrò:
$ lim_(x -> 0)(-(sensqrtx)/(2sqrtx) + senx)/(2) $
E adesso cosa mi invento per concludere che deve essere $-1/4$
Non sto riuscendo a decifrare in che forma è adesso il limite, ma mi viene spontaneo dire che si potrebbe pensare subito che:
$ lim_(x -> 0)(-1/2(sensqrtx)/(sqrtx) + senx)/(2) = -1/4$
Credetemi, sono riuscito a pensare a questo, solo perchè avevo già il risultato, altrimenti non so se ci sarei arrivato??!!?!?!?!
"Bad90":
Non sto riuscendo a decifrare in che forma è adesso il limite, ma mi viene spontaneo dire che si potrebbe pensare subito che:
$ lim_(x -> 0)(-1/2(sensqrtx)/(sqrtx) + senx)/(2) = -1/4$
Credetemi, sono riuscito a pensare a questo, solo perchè avevo già il risultato, altrimenti non so se ci sarei arrivato??!!?!?!?!
No che non lo puoi pensare...
porta le costanti fuori dal limite che diventa $-1/2*1/2$ $lim_(x -> 0)(sensqrtx)/(sqrtx) + senx$
ora lo puoi dividere in due limiti e riapplicare la regola di de l'Hopital solo sulla frazione
"Ev3nt":
porta le costanti fuori dal limite che diventa $-1/2*1/2$ $lim_(x -> 0)(sensqrtx)/(sqrtx) + senx$
ora lo puoi dividere in due limiti e riapplicare la regola di de l'Hopital solo sulla frazione
Sinceramente avevo pensato lo stesso di ciò che hai fatto tu, solo che avevo dato per scontato il passaggio che invece tu chiaramente hai riportato!
Detto questo si arriva a $-1/4$
Questo quì invece è un bel casino..... 
$ lim_(x -> +oo)(x cos(1/(sqrtx)) - x^2 sen (1/x)) $
$ lim_(x -> +oo)(x cos(1/(sqrtx)) - x^2 sen (1/x)) $
@ Bad90. Per il penultimo esercizio non dar retta ad Ev3nt: il tuo metodo è giusto ed è il migliore. Infatti se per $x->c$ (anche se diverso da zero o se infinito) una funzione $f(x)$ tende a zero, allora
$lim_(x->c)(sinf(x))/(f(x))=1$
Lo si dimostra facilmente con le sostituzione $u=f(x)$.
Per l'ultimo, fai la sostituzione $x=1/u$, con cui arrivi alla forma $0/0$. Non ho completato i calcoli, ma dovrebbe venire con un paio di applicazioni della regola.
$lim_(x->c)(sinf(x))/(f(x))=1$
Lo si dimostra facilmente con le sostituzione $u=f(x)$.
Per l'ultimo, fai la sostituzione $x=1/u$, con cui arrivi alla forma $0/0$. Non ho completato i calcoli, ma dovrebbe venire con un paio di applicazioni della regola.
"giammaria":
... ma dovrebbe venire con un paio di applicazioni della regola.
Ma per quante volte bisogna applicare la regola, te ne devi rendere conto per sapere quando fermarti ad applicarla, vero
Giusto??
Non c'è una regola fissa. Faccio un esempio banalissimo: avendo
$lim_(x->0)(sin^5x)/x^5$
e se non ci si rende conto che ci si può riportare subito ad un limite fondamentale, occorre applicare la regola cinque volte. La cosa migliore è cercare di risolvere il limite senza De l'Hospital e ricorrere alla sua regola solo quando strettamente necessario; di solito questa necessità si verifica per non più di due applicazioni.
$lim_(x->0)(sin^5x)/x^5$
e se non ci si rende conto che ci si può riportare subito ad un limite fondamentale, occorre applicare la regola cinque volte. La cosa migliore è cercare di risolvere il limite senza De l'Hospital e ricorrere alla sua regola solo quando strettamente necessario; di solito questa necessità si verifica per non più di due applicazioni.
"giammaria":
@ Bad90. Per il penultimo esercizio non dar retta ad Ev3nt: il tuo metodo è giusto ed è il migliore. Infatti se per $x->c$ (anche se diverso da zero o se infinito) una funzione $f(x)$ tende a zero, allora
$lim_(x->c)(sinf(x))/(f(x))=1$
Lo si dimostra facilmente con le sostituzione $u=f(x)$.
.
Io intendevo dire che non poteva concludere che $ lim_(x -> 0)(-1/2(sensqrtx)/(sqrtx) + senx)/(2) = -1/4$ semplicemente perchè conosceva il risultato, senza dare spiegazioni.
Si stava esercitando su de l'Hopital, ho evitato di tirare in ballo i limiti notevoli e gli ho riproposto de l'Hopital, tutto qui.
Se intendevi quello, allora hai ragione. Quello che intendevo io è che si continua con
$=(-1/2*1+0)/2=-1/2*1/2=-1/4$
Che poi a volte le idee buone vengano da una sbirciatina al risultato, a te non è mai successo? A me sì.
$=(-1/2*1+0)/2=-1/2*1/2=-1/4$
Che poi a volte le idee buone vengano da una sbirciatina al risultato, a te non è mai successo? A me sì.
Avete qualche consiglio per risolvere il seguente limite di successione??
$ lim_(n -> +oo)(root(n)(1/n) -1)/(logroot(n) (n)) $
Il testo mi dice che deve essere $-1$, ma io non ci sto proprio riuscendo ad arrivare!??!?!?!?](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
$ lim_(n -> +oo)(root(n)(1/n) -1)/(logroot(n) (n)) $
Il testo mi dice che deve essere $-1$, ma io non ci sto proprio riuscendo ad arrivare!??!?!?!?
Comincia a scrivere il limite come
$lim_(n->+oo)(1/root(n)n-1)/(logroot(n)n)$
Ora guardiamo a cosa tende il denominatore:
$lim_(n->+oo)log root(n)n=lim_(n->+oo)(logn)/n=0$
e facciamo la sostituzione $x=log root(n)n->e^x=root(n)n$; otteniamo
$=lim_(x->0)(1/(e^x)-1)/x$
che penso tu sappia risolvere.
$lim_(n->+oo)(1/root(n)n-1)/(logroot(n)n)$
Ora guardiamo a cosa tende il denominatore:
$lim_(n->+oo)log root(n)n=lim_(n->+oo)(logn)/n=0$
e facciamo la sostituzione $x=log root(n)n->e^x=root(n)n$; otteniamo
$=lim_(x->0)(1/(e^x)-1)/x$
che penso tu sappia risolvere.
"giammaria":
Ora guardiamo a cosa tende il denominatore:
$lim_(n->+oo)log root(n)n=lim_(n->+oo)(logn)/n=0$
Non sro ricordando come hai fatto a risolvere questo limite!?!?
Hai risolto prima il logaritmo e poi la radice?
Lo puoi calcolare con De l'Hospital; di solito ci si ricorda a memoria che nella tendenza ad infinito il logaritmo viene superato da tutte le potenze di $x$. In formula, con $alpha>0$,
$lim_(x->+oo)x^alpha/(logx)=+oo$
$lim_(x->+oo)x^alpha/(logx)=+oo$
Senza fare un grafico, per la funzione che segue, come faccio a dare delle conclusioni in merito al risultato del suo limite?
$ lim_(x -> -1^-)(x-1)/(x+1) = +oo $
Io so che $(x -> -1^-)$ vuol dire che la x tende ad un valore leggermente più piccolo di meno 1, giusto?????? Si può immaginare come se fosse $-1.01$
Quindi al denominatore, sii tende ad avere un valore positivo, vero????
Ma allora come fa ad essere $+oo$ se poi al numeratore avrò un valore sicuramente negativo???
Insomma, se immagino che $ x = -1.01$ allora si che riesco a giustificare il risultato del limite, perchè è come se avessi:
$ lim_(x -> -1^-)(-1)/(-1) = +oo $
E' corretto
$ lim_(x -> -1^-)(x-1)/(x+1) = +oo $
Io so che $(x -> -1^-)$ vuol dire che la x tende ad un valore leggermente più piccolo di meno 1, giusto?????? Si può immaginare come se fosse $-1.01$
Quindi al denominatore, sii tende ad avere un valore positivo, vero????
Ma allora come fa ad essere $+oo$ se poi al numeratore avrò un valore sicuramente negativo???
Insomma, se immagino che $ x = -1.01$ allora si che riesco a giustificare il risultato del limite, perchè è come se avessi:
$ lim_(x -> -1^-)(-1)/(-1) = +oo $
E' corretto
Hai detto correttamente che possiamo considerarlo $-1.01$, ma allora $-1.01+1$ come può fare un valore positivo? Farà un valore negativo, ossia $0^-$.
In conclusione otterrai $(-2)/(0^-)$ che avendo sia numeratore che denominatore negativi tenderà a $+oo$.
In conclusione otterrai $(-2)/(0^-)$ che avendo sia numeratore che denominatore negativi tenderà a $+oo$.
Non sto ricordando come calcolare i seguenti limiti:
$ lim_(x -> +oo) (2x-1)/(1-x) $
$ lim_(x -> -oo) (2x-1)/(1-x) $
Sono entrambi uguali a $-2$, ma cone ha fatto ad arrivare a questo risultato?
Per il primo limite, penso sia giusto perche' si potrebbe pensare in questo modo:
$ lim_(x -> +oo) (2)/(-1) =-2$
Ma come faccio a giustificare il secondo limite?
$ lim_(x -> +oo) (2x-1)/(1-x) $
$ lim_(x -> -oo) (2x-1)/(1-x) $
Sono entrambi uguali a $-2$, ma cone ha fatto ad arrivare a questo risultato?
Per il primo limite, penso sia giusto perche' si potrebbe pensare in questo modo:
$ lim_(x -> +oo) (2)/(-1) =-2$
Ma come faccio a giustificare il secondo limite?
Per entrambi i limiti vale
$(2x-1)/(1-x)=(x(2-1/x))/(x(1/x-1))=(2-1/x)/(1/x-1)$
Oppure puoi usare la regola abbreviata, conseguenza del precedente calcolo: Quando $x->oo$, con qualunque segno, il limite del rapporto fra due polinomi è uguale al limite del rapporto fra i loro termini di grado più alto. Quindi, con qualsiasi segno dato ad $oo$,
$lim_(x->oo)(2x-1)/(1-x)=lim_(x->oo)(2x)/(-x)=-2$
$(2x-1)/(1-x)=(x(2-1/x))/(x(1/x-1))=(2-1/x)/(1/x-1)$
Oppure puoi usare la regola abbreviata, conseguenza del precedente calcolo: Quando $x->oo$, con qualunque segno, il limite del rapporto fra due polinomi è uguale al limite del rapporto fra i loro termini di grado più alto. Quindi, con qualsiasi segno dato ad $oo$,
$lim_(x->oo)(2x-1)/(1-x)=lim_(x->oo)(2x)/(-x)=-2$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo