Limiti

[Bad90]

Non sto capendo un passaggio :

Scusate, ma come fa a dire prima che $ f(x) = (x^2 - x -2)/(x-2) $ e poi dice che per $ x!= 2 $ diventa:

$ x+1 = (x^2 - x -2)/(x-2) $

Ma da dove ha preso quel $ x+1 $ ????

[burm87]

Questo va bene, ma ricorda che $1^(qualsiasi)=1$ quindi il risultato finale dovrebbe essere $alpha$.

[giammaria2]

"Bad90": $ lim_(x -> +oo) (1/x) /(bx^(b-1))\ $ (con $b>0$)

Continua con
$=lim_(x->+oo)1/x*1/(bx^(b-1))=lim_(x->+oo)1/(bx^(b-1+1))=lim_(x->+oo)1/(bx^b)=0$

[Bad90]

Non sto capendo il seguente limite:

$ lim_(x -> +oo) (1/x + 1/(x+1) + 1/(x+2) + 1/(x+3))*x =4 $

Come fa ad essere uguale a quattro

[burm87]

Hai provato a fare denominatore comune?

[chiaraotta1]

$ lim_(x -> +oo) (1/x + 1/(x+1) + 1/(x+2) + 1/(x+3))*x =$
$ lim_(x -> +oo) (x/x + x/(x+1) + x/(x+2) + x/(x+3))=$
$ lim_(x -> +oo) (1 + 1/(1+1/x) + 1/(1+2/x) + 1/(1+3/x))=$
$1 + 1/(1+0) + 1/(1+0) + 1/(1+0)=4$

[Bad90]

Applicando de L'Hopital, non sto riuscendo ad interpretare correttamente il seguente limite.....

$ lim_(x -> 0) (log sqrt(1+x^2))/(1-cosx) $

Ciò che faccio io è:

$ lim_(x -> 0) ((1)/(sqrt(1+x^2))*1/(2sqrt(1+x^2))*2x)/(senx) $

$ lim_(x -> 0) ((1)/(sqrt(1+x^2))*1/(sqrt(1+x^2))*x)/(senx) $

$ lim_(x -> 0) ((x)/(1+x^2))/(senx) $

$ lim_(x -> 0) ((x)/(1+x^2))*1/(senx) $

Il testo dice che il risultato del limite è $1$

MA che interpretazione ha fatto?????

[burm87]

"Bad90":
$ lim_(x -> 0) ((x)/(1+x^2))/(senx) $

Da qui applica di nuovo l'Hopital, ottieni:

$ lim_(x -> 0) ((1+x^2-2x^2)/(1+x^2)^2)/(cosx) $

Che diventa immediato.

[giammaria2]

Suggerisco un accorgimento: in presenza di più fattori, prima di applicare De l'Hospital conviene separarli in due frazioni diverse: in una mettiamo i fattori che, tendendo a zero o infinito, contribuiscono alla forma indeterminata, nell'altra mettiamo gli altri fattori e di quest'altra calcoliamo subito il limite. In questo modo la derivazione diventa più semplice; spesso ci si rende conto che non è necessaria.
Vediamo nel nostro caso:
$=lim_(x->0)(x/(1+x^2)*1/(sinx))=lim_(x->0)(x/(sinx)*1/(1+x^2))=1*lim_(x->0)x/(sinx)=1*1=1$
Per l'ultimo passaggio ho usato il limite fondamentale, ma si poteva anche usare De l'Hospital.

[Bad90]

"giammaria":prima di applicare De l'Hospital conviene separarli in due frazioni diverse

Ti confermio che ieri mi sono accorto che il mio testo utilizzava separarli, ho intuito quanto hai detto, infatti torna molto più facile risolverli con questa procedura

[Bad90]

"burm87":
$ lim_(x -> 0) ((x)/(1+x^2))/(senx) $

Da qui applica di nuovo l'Hopital, ottieni:

$ lim_(x -> 0) ((1+x^2-2x^2)/(1+x^2)^2)/(cosx) $

In quanto a questo, $ lim_(x -> 0) ((1+x^2-2x^2)/(1+x^2)^2)/(cosx) $, mi chiedo come hai applicato L' Hopital?
Mi spiego.....,
Mi Sembra che tu hai risolto il numeratore con il metodo risolutivo della derivazione di una funzione quoziente!?!?!?
Con il metodo del Marchese, si risolvono numeratore e denominatore separatamente

Come mai hai fatto in quel modo

[Bad90]

Ma come faccio a trasformare il seguente limite dalla forma $0*(-oo)$:

$ lim_(x -> 0^+) x logx $

Alla forma $(+oo)/(+oo)$

Il testo dice questo perchè vuole farmi applicare de L'Hopital, fa questi passaggi ma non riesco a replicarli:

$ lim_(x -> 0^+) x logx = lim_(x -> 0^+) (logx)/(1/x) = lim_(x -> 0^+) (1/x)/(-1/x^2) = 0 $

Come ha fatto a fare quei passaggi

Correggetemi se sbaglio, ma mi sembra che abbia moltiplicato numeratore e denominatore per $1/x$ , giusto

E come ha fatto a pensare a questo artificio

[burm87]

"Bad90":[quote="burm87"]

Come mai hai fatto in quel modo

[/quote]

Infatti al numeratore troviamo una frazione, che viene derivata con il metodo per derivare i quozienti. Al denominatore c'era $sinx$ che è diventato $cosx$.

[burm87]

"Bad90":Ma come faccio a trasformare il seguente limite dalla forma $0*(-oo)$:

$ lim_(x -> 0^+) x logx $

Alla forma $(+oo)/(+oo)$

Il testo dice questo perchè vuole farmi applicare de L'Hopital, fa questi passaggi ma non riesco a replicarli:

$ lim_(x -> 0^+) x logx = lim_(x -> 0^+) (logx)/(1/x) = lim_(x -> 0^+) (1/x)/(-1/x^2) = 0 $

Come ha fatto a fare quei passaggi

Correggetemi se sbaglio, ma mi sembra che abbia moltiplicato numeratore e denominatore per $1/x$ , giusto

E come ha fatto a pensare a questo artificio

Una $x$ al numeratore può essere scritta come $1/x$ al denominatore, quindi $xlogx=logx/(1/x)$.

[Bad90]

"burm87":

Infatti al numeratore troviamo una frazione, che viene derivata con il metodo per derivare i quozienti. Al denominatore c'era $sinx$ che è diventato $cosx$.

Ma allora in questo caso non hai utilizzato De L'Hopital

[burm87]

Certo che l'ho utilizzato, ti ho scritto anche la funzione dopo averla derivata.

[Bad90]

"burm87":Certo che l'ho utilizzato, ti ho scritto anche la funzione dopo averla derivata.

[burm87]

"burm87":[quote="Bad90"]
$ lim_(x -> 0) ((x)/(1+x^2))/(senx) $

Da qui applica di nuovo l'Hopital, ottieni:

$ lim_(x -> 0) ((1+x^2-2x^2)/(1+x^2)^2)/(cosx) $

Che diventa immediato.[/quote]

[Bad90]

Ok, Ok,

[Bad90]

Volevo una conferma in merito alla derivazione del seguente limite:

$ lim_(x -> 0)(1/x - 1/(senx)) $

Io lo risolvo in questo modo....

$ lim_(x -> 0)((senx -x)/(xsenx)) $

Derivando con L'Hopital avrò:

$ lim_(x -> 0)((cosx-1)/(cosx)) = (0-1)/(0) = 0 $

Ho fatto bene

[chiaraotta1]

Mi sembra che la derivata del denominatore sia
$D[x sen x]=1*senx+x*cosx=senx +xcosx$