Limiti
Non sto capendo un passaggio :
Scusate, ma come fa a dire prima che $ f(x) = (x^2 - x -2)/(x-2) $ e poi dice che per $ x!= 2 $ diventa:
$ x+1 = (x^2 - x -2)/(x-2) $
Ma da dove ha preso quel $ x+1 $ ????
Scusate, ma come fa a dire prima che $ f(x) = (x^2 - x -2)/(x-2) $ e poi dice che per $ x!= 2 $ diventa:
$ x+1 = (x^2 - x -2)/(x-2) $
Ma da dove ha preso quel $ x+1 $ ????
Risposte
$(x^2-x-2)/(x-2)=((x+1)(x-2))/(x-2)=x+1, x \ne 2$
O in alternativa, si potrebbe fare la divisione tra polinomi ottenendo direttamente $x+1$ (in questo si può perfino con Ruffini).
O in alternativa, si potrebbe fare la divisione tra polinomi ottenendo direttamente $x+1$ (in questo si può perfino con Ruffini).
Ciao, aggiungo una cosa dato che stai iniziando i limiti: questo procedimento si usa sempre quando trovi una forma indeterminata $[0/0]$ e sia al numeratore che al denominatore hai dei polinomi. Questo perchè se trovi uno zero del polinomio significa che lo puoi scomporre...
Esercizio 1
Auesto che segue e' un esercizio guidato:
Quello che non sto capendo, e' la parte finale, cioe' quella che segue:
Ma perche' e sulla base di cosa bisogna porre $ N = 3/2 + 2/eta $
Edit. In base a quanto mi viene detto da Melia, provvedo a scrivere anche il testo
Verificare che risulta : $ lim_(x -> oo) (2x -1)/(2x+3) = 1 $
Dopo tutti i passaggi, non capisco, alla fine perche' e sulla base di cosa bisogna porre $ N = 3/2 + 2/eta $
Auesto che segue e' un esercizio guidato:
Quello che non sto capendo, e' la parte finale, cioe' quella che segue:
Ma perche' e sulla base di cosa bisogna porre $ N = 3/2 + 2/eta $
Edit. In base a quanto mi viene detto da Melia, provvedo a scrivere anche il testo
Verificare che risulta : $ lim_(x -> oo) (2x -1)/(2x+3) = 1 $
Dopo tutti i passaggi, non capisco, alla fine perche' e sulla base di cosa bisogna porre $ N = 3/2 + 2/eta $
[xdom="@melia"]Per piacere, devi scrivere il testo dell'esercizio, non solo inserire l'immagine. Dalle regole di matematicamente:
3.6 ... Il testo di eventuali problemi o esercizi va scritto esplicitamente, senza limitarsi a link o foto o immagini...
I siti dove inserisci l'immagine dopo un po' di tempo la cancellano, il rischio è quello di trovare il forum pieno di discussioni sul niente, perché l'immagine non c'è più. Capisco che tu inserisca l'immagine per chiarire maggiormente il problema, ma devi mettere anche il testo, magari solo i punti salienti della discussione.[/xdom]
3.6 ... Il testo di eventuali problemi o esercizi va scritto esplicitamente, senza limitarsi a link o foto o immagini...
I siti dove inserisci l'immagine dopo un po' di tempo la cancellano, il rischio è quello di trovare il forum pieno di discussioni sul niente, perché l'immagine non c'è più. Capisco che tu inserisca l'immagine per chiarire maggiormente il problema, ma devi mettere anche il testo, magari solo i punti salienti della discussione.[/xdom]
Esercizio 2
Esaminare il grafico della seguente funzione e descrivere il suo comportamento agli estremi del dominio:
Il testo mi da che:
$ lim_(x -> -oo) f(x) = ............ $
$ lim_(x -> -2^-) f(x) = ............ $
$ lim_(x -> -2^+) f(x) = ............ $
$ lim_(x -> +oo) f(x) = ............ $
Ma cosa devo fare?????
P.S. Melia ho postato l'immagine per il grafico e ho scritto il testo dell'esercizio!
L'unica cosa che riesco a dire e' che:
$ lim_(x -> -oo) f(x) = -3 $
$ lim_(x -> -2^-) f(x) = -2$
Esaminare il grafico della seguente funzione e descrivere il suo comportamento agli estremi del dominio:
Il testo mi da che:
$ lim_(x -> -oo) f(x) = ............ $
$ lim_(x -> -2^-) f(x) = ............ $
$ lim_(x -> -2^+) f(x) = ............ $
$ lim_(x -> +oo) f(x) = ............ $
Ma cosa devo fare?????
P.S. Melia ho postato l'immagine per il grafico e ho scritto il testo dell'esercizio!
L'unica cosa che riesco a dire e' che:
$ lim_(x -> -oo) f(x) = -3 $
$ lim_(x -> -2^-) f(x) = -2$
La forma che hai usato va bene, invece come hai risolto l'esercizio è sbagliato.
Mettiti sull'asse delle x, vai verso $-oo$, la funzione si avvicina sempre di più all'asse, quindi la y dei punti della funzione tende a 0, perciò
$ lim_(x -> -oo) f(x) = 0 $
Per calcolare $ lim_(x -> -2^-) f(x) $, come nel caso precedente ti metti sull'asse x, stavolta ti avvicini a $-2$ da sinistra, cioè restando più piccolo di $-2$, che cosa fa la y dei punti della funzione?
"Bad90":
L'unica cosa che riesco a dire e' che:
$ lim_(x -> -oo) f(x) = -3 $
$ lim_(x -> -2^-) f(x) = -2$
Mettiti sull'asse delle x, vai verso $-oo$, la funzione si avvicina sempre di più all'asse, quindi la y dei punti della funzione tende a 0, perciò
$ lim_(x -> -oo) f(x) = 0 $
Per calcolare $ lim_(x -> -2^-) f(x) $, come nel caso precedente ti metti sull'asse x, stavolta ti avvicini a $-2$ da sinistra, cioè restando più piccolo di $-2$, che cosa fa la y dei punti della funzione?
"@melia":
Per calcolare $ lim_(x -> -2^-) f(x) $, come nel caso precedente ti metti sull'asse x, stavolta ti avvicini a $-2$ da sinistra, cioè restando più piccolo di $-2$, che cosa fa la y dei punti della funzione?
In questo caso la y cresce all'infinito! Giusto?
A $+oo$ per la precisione. Bene.
"@melia":
A $+oo$ per la precisione. Bene.
Ti ringrazio, ho capito il senso dell'esercizio!
Ultimamente sto facendo parecchie notti sui libri e devo dire che la stanchezza fa brutti scherzi e non ti fa capire cose semplici!
Ti ringrazio!
Mentre per $ lim_(x -> -2^+) f(x) = ............ $ posso dire che $ lim_(x -> -2^+) f(x) = -3 $
Sol che adesso mi sto impallando con questa $ lim_(x -> +oo) f(x) = ............ $ , perchè dalla parte di grafico che ho, riesco a dire solo che $ lim_(x -> +oo) f(x) = -3 $ anche in questo caso
Cosa ne dite
Esercizio 3
Individuare il dominio delle seguenti funzioni e descriverne il comportamento agli estremi del dominio:
Ma come devo risolverlo
Help
Individuare il dominio delle seguenti funzioni e descriverne il comportamento agli estremi del dominio:
Ma come devo risolverlo
Help
Ci sono valori di x che sono esclusi dal grafico? Quindi il dominio è tutto $RR$. Allora devi calcolare solo i limiti agli infiniti, con lo stesso metodo degli esercizi precedenti.
Esercizio 4
Sembra che finalmente ho compreso i limiti, ecco quì come risolvo e verifico il seguente limite:
$ lim_(x -> 2)(3x^2 -1)=11 $
Questo limite è del tipo $ lim_(x -> c)f(x)=l $, il che significa che la soluzione sarà data dalla seguente disequazione:
$ |3x^2 - 1 - 11|< ε $ che diventa $ |3x^2 - 12|< ε $ e sarà soddisfatta per tutti i valori che formano un intorno completo di 2.
Allora $ 12 -ε < 3x^2 < 12 + ε $ e quindi $ sqrt(4 -ε/3) < x < sqrt(4 + ε/3) $
Per vedere se veramente questo è un intorno di $ 2 $ , attribuisco il valore di $ ε = 1 $ ed effettivamente avrò:
$ 1.91< x < 2.08 $
Nel caso, abbiamo anche che $ f(2) = 11 $ e quindi sembra ovvio che il limite è verificato e coincide anche con il valore della funzione che è $ 2 $
Cosa ne dite
Sembra che finalmente ho compreso i limiti, ecco quì come risolvo e verifico il seguente limite:
$ lim_(x -> 2)(3x^2 -1)=11 $
Questo limite è del tipo $ lim_(x -> c)f(x)=l $, il che significa che la soluzione sarà data dalla seguente disequazione:
$ |3x^2 - 1 - 11|< ε $ che diventa $ |3x^2 - 12|< ε $ e sarà soddisfatta per tutti i valori che formano un intorno completo di 2.
Allora $ 12 -ε < 3x^2 < 12 + ε $ e quindi $ sqrt(4 -ε/3) < x < sqrt(4 + ε/3) $
Per vedere se veramente questo è un intorno di $ 2 $ , attribuisco il valore di $ ε = 1 $ ed effettivamente avrò:
$ 1.91< x < 2.08 $
Nel caso, abbiamo anche che $ f(2) = 11 $ e quindi sembra ovvio che il limite è verificato e coincide anche con il valore della funzione che è $ 2 $
Cosa ne dite
Esercizio 5
Analogamente alla traccia dell'esercizio 4, sto cercando di fare bene con il seguente limite:
$ lim_(x -> 1) a^x = a $ con $ a>1 $
Adesso mi chiedo se la soluzione mia è corretta!
Mi viene in mente subito di utilizzare i logaritmi e semplificare in questo modo:
$ lim_(x -> 1) log_a a^x = log_a a $ mi porta ad avere $ lim_(x -> 1) x = 1$
Non so se è corretto ciò che ho fatto, ma ipotizzando di aver fatto bene, penso che la soluzione del limite sia solo questa:
$ lim_(x -> 1) x = 1$
Se la soluzione è corretta, cosa devo dire in merito
Analogamente alla traccia dell'esercizio 4, sto cercando di fare bene con il seguente limite:
$ lim_(x -> 1) a^x = a $ con $ a>1 $
Adesso mi chiedo se la soluzione mia è corretta!
Mi viene in mente subito di utilizzare i logaritmi e semplificare in questo modo:
$ lim_(x -> 1) log_a a^x = log_a a $ mi porta ad avere $ lim_(x -> 1) x = 1$
Non so se è corretto ciò che ho fatto, ma ipotizzando di aver fatto bene, penso che la soluzione del limite sia solo questa:
$ lim_(x -> 1) x = 1$
Se la soluzione è corretta, cosa devo dire in merito
Per gli esercizi 4 e 5, ho visto che le mie conclusioni sono rapide e penso di aver fatto bene, solo che mi chiedo il perchè il teesto mi chiede di dimostrare mediante tutti i passaggi, gli step risolutivi che iniziano dalla disequazione e ......
Intendo questo:
$ lim_(x -> c) f(x) = l $
$ |f(x) - l|<ε $
e poi ........
Intendo questo:
$ lim_(x -> c) f(x) = l $
$ |f(x) - l|<ε $
e poi ........
Esercizio 5) Le domande sono due.
Domanda 1: calcolare il limite. Senza tante complicazioni, fai
$lim_(x->1)a^x=a^1=a$
Domanda 2: verificare il risultato trovato usando la definizione di limite. Devi quindi risolvere la disequazione
$|a^x-a|a-epsilon
$log_a(a-epsilon)
Domanda 1: calcolare il limite. Senza tante complicazioni, fai
$lim_(x->1)a^x=a^1=a$
Domanda 2: verificare il risultato trovato usando la definizione di limite. Devi quindi risolvere la disequazione
$|a^x-a|
$log_a(a-epsilon)
Devo calcolare il limite per mezzo di L'Hopital dei seguenti:
(a) $ lim_(x -> +oo) (logx) /x^b $ con $(b>0)$
A me viene in mente di fare in questo modo e spero sia corretto.
$ lim_(x -> +oo) (1/x) /(bx^(b-1)) $
L'interpretazione che mi viene di fare è che posso dare il valore a $b=1$, quindi:
$ lim_(x -> +oo) (1/x) /(1)= 1/x$
E sapendo che il denominatore tende a crescere, allora tenderà a zero! $0$
(a) $ lim_(x -> +oo) (logx) /x^b $ con $(b>0)$
A me viene in mente di fare in questo modo e spero sia corretto.
$ lim_(x -> +oo) (1/x) /(bx^(b-1)) $
L'interpretazione che mi viene di fare è che posso dare il valore a $b=1$, quindi:
$ lim_(x -> +oo) (1/x) /(1)= 1/x$
E sapendo che il denominatore tende a crescere, allora tenderà a zero! $0$
Applicazione corretta direi. Non credo tuttavia ti risolva il problema 
Dare a $b$ il valore $1$ non credo tu possa farlo in quanto ti metti in un caso particolare.
Dare a $b$ il valore $1$ non credo tu possa farlo in quanto ti metti in un caso particolare.
E come faccio a dire che deve essere $0$
Il caso successivo è:
(b) $ lim_(x -> 0) ((1+x)^alpha -1) /x $ con $(alpha in R)$
Io lo risolverei nel seguente modo:
$ lim_(x -> 0) (alpha(1+x)^(alpha-1) ) /1 = alpha(1+0)^(alpha-1) = alpha^(alpha-1) $
Il testo dice che il risultato deve essere $alpha$, ma come bisogna interpretarlo?????
(b) $ lim_(x -> 0) ((1+x)^alpha -1) /x $ con $(alpha in R)$
Io lo risolverei nel seguente modo:
$ lim_(x -> 0) (alpha(1+x)^(alpha-1) ) /1 = alpha(1+0)^(alpha-1) = alpha^(alpha-1) $
Il testo dice che il risultato deve essere $alpha$, ma come bisogna interpretarlo?????
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