Integrali

[Bad90]

Esercizio 1

Sto cercando di risolvere il seguente integrale:
$ int (dx)/(sqrtx + root(3)x $
Il testo mi consigli di fare la seguente sostituzione $x=t^6$ e inizialmente riesco a comprendere i passaggi.....
$ 6int (t^5dt)/(sqrt(t^6) + root(3)(t^6)) = 6int (t^3dt)/(t + 1)$
Ma dopo non so più continuare
Help, come posso fare per continuare a risolverlo??

[minomic]

Ciao, abbiamo $$\int{\frac{x\ e^{\arcsin x}}{\sqrt{1-x^2}}\ dx}$$ Facciamo il cambio di variabile $$\arcsin x = t \quad\rightarrow\quad x = \sin t \quad\rightarrow\quad dx = \cos t\ dt$$ L'integrale quindi diventa $$\int{\frac{\sin t\ e^t}{\cancel{\cos t}}\cancel{\cos t}\ dt} = \int{\sin t\ e^t\ dt}$$ che si può risolvere integrando per parti.

[Bad90]

Scusami, ma quali sono i passaggi che fai per ottenere la variabile $x$ ????
Insomma, come fai a dire che da $arcsin x = t$ e ad arrivare a dire che $x= sint$ ????????

[minomic]

Sei hai $$\arcsin x = t$$ puoi applicare il seno ad entrambi i membri: $$\sin \arcsin x = \sin t \quad\rightarrow\quad x = \sin t$$

[Bad90]

"minomic":Sei hai $$\arcsin x = t$$ puoi applicare il seno ad entrambi i membri: $$\sin \arcsin x = \sin t \quad\rightarrow\quad x = \sin t$$

OHOHOHO YESSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS

[Bad90]

"minomic": $$\int{\frac{\sin t\ e^t}{\cancel{\cos t}}\cancel{\cos t}\ dt} = \int{\sin t\ e^t\ dt}$$ che si può risolvere integrando per parti.

Si ma se io lo risolvo per parti, sono punto e a capo!
Penso che bisogna essere attenti a scegliere il fattore differenziale per poi procedere alla fine con un somma, ........

Tu quale sceglieresti come fattore differenziale???

[minomic]

Beh ne hai due di fattori... puoi provare con entrambi e vedere dove ti portano!

[Bad90]

"minomic":Beh ne hai due di fattori... puoi provare con entrambi e vedere dove ti portano!

Ok, era un tipo di integrale che avevo già risolto, si procede per ben due volte ad integrare per parti, ottendo poi due stessi integrali ma di segno opposto a primo e secondo membro, verrano sommati al primo membro e poi si moltiplica e divide per il numero $n$ degli integrali sommati

[minomic]

Esatto! Il "segnale" per questo tipo di integrali è spesso la presenza di funzioni come esponenziali e seni/coseni che hanno derivate "cicliche" (termine inventato ma che rende l'idea), nel senso che si ripetono uguali. Infatti $$D\left[\sin x\right] = \cos x$$ $$D\left[\cos x\right] = -\sin x$$ $$D\left[-\sin x\right] = -\cos x$$ $$D\left[-\cos x\right] = \sin x$$ $$\ldots$$

[Bad90]

Ho risolto il seguente integrale:

$int_(0)^(-2) (x^3+x+1)/(x-1) dx$

Non capisco perchè il testo nella soluzione, scrive i termini di integrazione invertiti??????

Cioè, nella soluzione, scrive che:

$int_(0)^(-2) (x^3+x+1)/(x-1) dx = - [......]_(-2)^(0)$

Perchè

Insomma io lo risolvo in questo modo:

$int_(0)^(-2) x^2+x+2+3/(x-1) dx = [x^3/2]_(0)^(-2) + [x^2/2]_(0)^(-2) + 2[x]_(0)^(-2)+3[log|x-1|]_(0)^(-2)$

[minomic]

Probabilmente perché mette gli estremi di integrazione in ordine: $$\int_a^b\cdots\ , \qquad b > a$$

[Bad90]

Sto cercando di risolvere il seguente, ma arrivo ad un risultato simile a quello del testo, solo che non so se sto facendo bene....

$int_(1)^(e)(logx)/(sqrt(x)) dx$

Io faccio in questo modo $t= sqrtx => dx 1/(sqrtx)= 2dt$ allora gli estremi di integrazione saranno i seguenti:

$t= sqrtx=> t= sqrte$ ed $t= sqrt1 = 1$ giusto?

Allora avrò:

$int_(1)^(sqrte)(logsqrtt)/2dt = 2[t logsqrtt - 1/2intdt ]_(1)^(sqrte)$

$int_(1)^(sqrte)(logsqrtt)/2dt = 2[t logsqrtt - 1/2 t ]_(1)^(sqrte)$

Dove ho sbagliato fino ad adesso???

Come fa il testo ad arrivare al seguente risultato???

$I = 4[t logsqrt t - t ]_(1)^(sqrte) = 4 - 2sqrte$

[minomic]

Prima devi calcolare l'integrale indefinito, quindi lascia stare gli estremi di integrazione. Inoltre se poni $$\sqrt{x}=t$$ avrai $$dx = 2t\ dt$$

[Bad90]

"minomic":Prima devi calcolare l'integrale indefinito, quindi lascia stare gli estremi di integrazione. Inoltre se poni $$\sqrt{x}=t$$ avrai $$dx = 2t\ dt$$

Ti giuro che mi sono promesso che non penso più agli estremi di integrazione nel risolverlo, li considererò solo alla fine! Cosa ne pensi??? E' sempre fattibile questo??

Comunque sono riuscito a risolverlo come hai detto tu!

[minomic]

Sì è sempre possibile perché il teorema fondamentale dice che $$\int_a^b f(x) dx = \phi(b)-\phi(a)$$ dove \(\phi\) è una primitiva di $f$. Quindi la prima cosa da fare è individuare una primitiva, quindi risolvere l'integrale indefinito.

[giammaria2]

Io preferisco sempre fare la sostituzione negli estremi, e quella era giusta. Hai però sbagliato il primo passaggio: con la sostituzione $t=sqrtx->x=t^2->dx=2tdt$ l'integrale diventa
$I=int_1^sqrte(lnt^2)/t*2tdt=int_1^sqrte2lnt*2dt=...$
Quando sostituirai gli estremi di integrazione, ricorda che $" "lnsqrte=lne^(1/2)=1/2$.

[CaMpIoN]

Ragazzi ma se non sbaglio, se $\sqrt{x}=t$ allora da $dx \frac{1}{\sqrt{x}}=2dt$ si ha $dx \frac{1}{t}=2dt$ e poi $dx=2tdt$? E' sempre giusta l'applicazione del differenziale no?

[Bad90]

Non mi è mai capitato di risolvere un integrale del genere:

$int_(-pi/2)^(pi/2)x^2cos(x+|x|)dx$

Ma come si risolve con un valore assoluto

[giammaria2]

@ CaMpIoN
L'applicazione del differenziale era giusta; l'errore che segnalavo era aver scritto $lnsqrtt$ al posto di $lnt^2$; inoltre il coefficiente $2$ era in posizione sbagliata.

[minomic]

"Bad90":Non mi è mai capitato di risolvere un integrale del genere:

$int_(-pi/2)^(pi/2)x^2cos(x+|x|)dx$

Ma come si risolve con un valore assoluto

Puoi spezzare l'integrare il due parti: $$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \cdots + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cdots$$

[Bad90]

Scusate, ma quali sono gli step risolutivi che portano a questo risultato??

$e^(ln2) = 2$

Come si fa ad arrivare a $2$