Integrali
Esercizio 1
Sto cercando di risolvere il seguente integrale:
$ int (dx)/(sqrtx + root(3)x $
Il testo mi consigli di fare la seguente sostituzione $x=t^6$ e inizialmente riesco a comprendere i passaggi.....
$ 6int (t^5dt)/(sqrt(t^6) + root(3)(t^6)) = 6int (t^3dt)/(t + 1)$
Ma dopo non so più continuare
Help, come posso fare per continuare a risolverlo??
Sto cercando di risolvere il seguente integrale:
$ int (dx)/(sqrtx + root(3)x $
Il testo mi consigli di fare la seguente sostituzione $x=t^6$ e inizialmente riesco a comprendere i passaggi.....
$ 6int (t^5dt)/(sqrt(t^6) + root(3)(t^6)) = 6int (t^3dt)/(t + 1)$
Ma dopo non so più continuare
Help, come posso fare per continuare a risolverlo??
Risposte
Perchè al numeratore della frazione che vuoi ottenere non compare la $x$ quindi devi far si che si annulli il suo coefficiente, quindi poni $a+b=0$, vuoi invece che il termine noto sia $1$ (al numeratore hai $1$ infatti) quindi poni $-3a-2b=1$.
Quando lo ha spiegato il carissimo giammaria, mi disse dell'altro, speriamo in una sua risposta!
Magari con qualche esempio!
Magari con qualche esempio!
Si chiama "Principio di identità dei polinomi" e la spiegazione di burm87 è perfetta. Ha solamente messo una $x$ al posto di una $a$ ma il senso è chiarissimo: uguagli i polinomi procedendo coefficiente-per-coefficiente.
"minomic":
Si chiama "Principio di identità dei polinomi" e la spiegazione di burm87 è perfetta. Ha solamente messo una $x$ al posto di una $a$ ma il senso è chiarissimo: uguagli i polinomi procedendo coefficiente-per-coefficiente.
Ok, adesso capisco l'errore!
Potresti per favore farmi vedere qualche altro esempio?
Scusate, ma non sto capendo come il mio testo abbia decomposto il numeratore del seguente integrale:
$ int (3x+1)/(x^2-4x+3) dx $
Il testo lo ha fatto diventare in questo modo già al secondo passaggio:
$ 3/2int ((2x-4)+2/3+4)/(x^2-4x+3) dx $
MA cosa ha combinato?????????????
$ int (3x+1)/(x^2-4x+3) dx $
Il testo lo ha fatto diventare in questo modo già al secondo passaggio:
$ 3/2int ((2x-4)+2/3+4)/(x^2-4x+3) dx $
MA cosa ha combinato?????????????
Ha fatto comparire al numeratore la derivata del denominatore, ovvero $2x-4$. Questi sono i passaggi: \[
3x+1 = \frac{3}{2}\left(2x+\frac{2}{3}\right) = \frac{3}{2}\left(2x-4+4+\frac{2}{3}\right) = \frac{3}{2}\left(2x-4\right) + \frac{3}{2}\left(4+\frac{2}{3}\right)
\]
3x+1 = \frac{3}{2}\left(2x+\frac{2}{3}\right) = \frac{3}{2}\left(2x-4+4+\frac{2}{3}\right) = \frac{3}{2}\left(2x-4\right) + \frac{3}{2}\left(4+\frac{2}{3}\right)
\]
"minomic":
Ha fatto comparire al numeratore la derivata del denominatore, ovvero $2x-4$. Questi sono i passaggi: \[
3x+1 = \frac{3}{2}\left(2x+\frac{2}{3}\right) = \frac{3}{2}\left(2x-4+4+\frac{2}{3}\right) = \frac{3}{2}\left(2x-4\right) + \frac{3}{2}\left(4+\frac{2}{3}\right)
\]
MA scusami, non vi sono altri metodi?
Questo mi sembra di gran lunga il più semplice. Comunque ecco i passaggi:
\[
\int{\frac{3x+1}{x^{2}-4x+3}\, dx}
\]
\[
\frac{3}{2}\int\frac{2x+\frac{2}{3}}{x^{2}-4x+3}\, dx
\]
\[
\frac{3}{2}\int\frac{2x-4}{x^{2}-4x+3}\, dx+\frac{3}{2}\int\frac{\frac{14}{3}}{x^{2}-4x+3}\, dx
\]
\[
\frac{3}{2}\ln\left|x^{2}-4x+3\right|+7\int\frac{1}{\left(x-3\right)\left(x-1\right)}\, dx
\]
Considero solo il secondo integrale:
\[
\frac{1}{\left(x-3\right)\left(x-1\right)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x-1}
\]
\[
Ax-A+Bx-3B=1\Longrightarrow\begin{cases}
A+B=0\\
-A-3B=1
\end{cases}\Longrightarrow\begin{cases}
A=\frac{1}{2}\\
B=-\frac{1}{2}
\end{cases}
\]
Quindi
\[
\int\frac{1}{\left(x-3\right)\left(x-1\right)}\, dx=\int\frac{\frac{1}{2}}{x-3}\, dx+\int\frac{-\frac{1}{2}}{x-1}\, dx=\frac{1}{2}\ln\left|x-3\right|-\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|
\]
Conclusione:
\[
\frac{3}{2}\ln\left|x^{2}-4x+3\right|+\frac{7}{2}\ln\left|x-3\right|-\frac{7}{2}\ln\left|x-1\right|+C
\]
Volendo si potrebbe scomporre ulteriormente ma possiamo anche fermarci qui.
Fammi sapere se c'è qualcosa che non ti è chiaro.
\[
\int{\frac{3x+1}{x^{2}-4x+3}\, dx}
\]
\[
\frac{3}{2}\int\frac{2x+\frac{2}{3}}{x^{2}-4x+3}\, dx
\]
\[
\frac{3}{2}\int\frac{2x-4}{x^{2}-4x+3}\, dx+\frac{3}{2}\int\frac{\frac{14}{3}}{x^{2}-4x+3}\, dx
\]
\[
\frac{3}{2}\ln\left|x^{2}-4x+3\right|+7\int\frac{1}{\left(x-3\right)\left(x-1\right)}\, dx
\]
Considero solo il secondo integrale:
\[
\frac{1}{\left(x-3\right)\left(x-1\right)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x-1}
\]
\[
Ax-A+Bx-3B=1\Longrightarrow\begin{cases}
A+B=0\\
-A-3B=1
\end{cases}\Longrightarrow\begin{cases}
A=\frac{1}{2}\\
B=-\frac{1}{2}
\end{cases}
\]
Quindi
\[
\int\frac{1}{\left(x-3\right)\left(x-1\right)}\, dx=\int\frac{\frac{1}{2}}{x-3}\, dx+\int\frac{-\frac{1}{2}}{x-1}\, dx=\frac{1}{2}\ln\left|x-3\right|-\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|
\]
Conclusione:
\[
\frac{3}{2}\ln\left|x^{2}-4x+3\right|+\frac{7}{2}\ln\left|x-3\right|-\frac{7}{2}\ln\left|x-1\right|+C
\]
Volendo si potrebbe scomporre ulteriormente ma possiamo anche fermarci qui.
Fammi sapere se c'è qualcosa che non ti è chiaro.
"minomic":
Si chiama "Principio di identità dei polinomi" e la spiegazione di burm87 è perfetta. Ha solamente messo una $x$ al posto di una $a$ ma il senso è chiarissimo: uguagli i polinomi procedendo coefficiente-per-coefficiente.
Ops, sistemato!
"minomic":
Questo mi sembra di gran lunga il più semplice.
Scusa, minomic, ma non riesco a capire perché tu (ed alcuni libri) usiate quel metodo; forse sei in grado di spiegarmelo. Io avrei fatto così:
$int(3x+1)/(x^2-4x+3)dx=int(A/(x-1)+B/(x-3))dx$
proseguendo poi nel tuo stesso modo fino ed ottenendo $A=-2,B=5$.
"giammaria":
Scusa, minomic, ma non riesco a capire perché tu (ed alcuni libri) usiate quel metodo; forse sei in grado di spiegarmelo.
No in effetti non so spiegartelo...
Il tuo metodo è effettivamente più semplice e inizierò ad utilizzarlo anche io, nonostante sia abituato a far comparire derivate appena possibile.
"minomic":
Il tuo metodo è effettivamente più semplice e inizierò ad utilizzarlo anche io, nonostante sia abituato a far comparire derivate appena possibile.
Giammaria è il RE della matematica,
Come posso fare a risolvere il seguente?
$int senax cosax dx$
Correggetemi se sbaglio il ragionamento....
$int 2(senax cosax)/2 dx = 1/2 int 2 senax cosax dx= 1/2 int sen2ax dx $
Io so che la primitiva di $sen2ax = -cos2ax$, quindi dovrebbe e dico dovrebbe essere:
$1/2 int sen2ax dx = 1/2 *(-cos2ax) +c$
Ma se faccio una controprova derivando $-cos2ax$, otterrò che $d(-cos2ax) = -d(cos2ax)= -(-sen2ax)*2a$
$int senax cosax dx$
Correggetemi se sbaglio il ragionamento....
$int 2(senax cosax)/2 dx = 1/2 int 2 senax cosax dx= 1/2 int sen2ax dx $
Io so che la primitiva di $sen2ax = -cos2ax$, quindi dovrebbe e dico dovrebbe essere:
$1/2 int sen2ax dx = 1/2 *(-cos2ax) +c$
Ma se faccio una controprova derivando $-cos2ax$, otterrò che $d(-cos2ax) = -d(cos2ax)= -(-sen2ax)*2a$
"Bad90":
Come posso fare a risolvere il seguente?
$int senax cosax dx$
Puoi notare che hai due funzioni delle quali una è la derivata (più o meno) dell'altra. Oppure moltiplichi e dividi per $2$ e utilizzi la formula di duplicazione del seno.
"Bad90":
Io so che la primitiva di $sen2ax = -cos2ax$
Non esattamente: la primitiva di $\sin (2ax)$ è $-cos(2ax)/(2a)$
"minomic":
[quote="Bad90"]Io so che la primitiva di $sen2ax = -cos2ax$
Non esattamente: la primitiva di $\sin (2ax)$ è $-cos(2ax)/(2a)$[/quote]
Ok, allora ho compreso dove stavo sbagliando!
"Bad90":
Ok, allora ho compreso dove stavo sbagliando!
Perfetto! Ti faccio notare anche questo: \[
D\left[\sin\left(ax\right)\right] = a\, \cos\left(ax\right)
\] Quindi puoi scrivere \[
\frac{1}{a}\int{\sin\left(ax\right)\left[a\, \cos\left(ax\right)\right]\, dx} = \frac{1}{a}\frac{\sin^2 \left(ax\right)}{2}
\]
Come faccio a dire che:
$t^4-t^2= (t^4+2t^2+1)-3t^2-1 = (t^2+1)^2-3(t^2+1)+2$
Come fa ad arrivare a questa uguaglianza?
Che regola usa?
$t^4-t^2= (t^4+2t^2+1)-3t^2-1 = (t^2+1)^2-3(t^2+1)+2$
Come fa ad arrivare a questa uguaglianza?
Che regola usa?
Completamento del quadrato. Aggiunge quello che gli serve per poter ottenere il quadrato di un binomio.
Perfetto, per fortuna che ho imparato a memoria gli step risolutivi del completamento di un quadrato!
Ti ringrazio!
Ti ringrazio!
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