Integrali

[Bad90]

Esercizio 1

Sto cercando di risolvere il seguente integrale:
$ int (dx)/(sqrtx + root(3)x $
Il testo mi consigli di fare la seguente sostituzione $x=t^6$ e inizialmente riesco a comprendere i passaggi.....
$ 6int (t^5dt)/(sqrt(t^6) + root(3)(t^6)) = 6int (t^3dt)/(t + 1)$
Ma dopo non so più continuare
Help, come posso fare per continuare a risolverlo??

[Bad90]

"burm87":Completamento del quadrato. Aggiunge quello che gli serve per poter ottenere il quadrato di un binomio.

Scusami, ma io ho applicato la regola per il completamento del quadrato e partendo da:

$t^4-t^2 = 0$

sono arrivato a dire che:

$(t^2-1/2)^2 = 1/4$

Lui come ha fatto il completamento del quadrato?????
Insomma, come posso risolvere il seguente integrale applicando la regola del completamento del quadrato?

$4int(t^4-t^2)/(1+t)^3$

[chiaraotta1]

$(t^4-t^2)/(1+t)^3=(t^2(t^2-1))/(1+t)^3=(t^2(t-1)(t+1))/(1+t)^3=$
$(t^2(t-1))/(1+t)^2=(t^3-t^2)/(t^2+2t+1)= t - 3 + 5/(t + 1)- 2/(t + 1)^2$

[Bad90]

"chiaraotta":$(t^4-t^2)/(1+t)^3=(t^2(t^2-1))/(1+t)^3=(t^2(t-1)(t+1))/(1+t)^3=$
$(t^2(t-1))/(1+t)^2=(t^3-t^2)/(t^2+2t+1)= t - 3 + 5/(t + 1)- 2/(t + 1)^2$

Sono riuscito a seguirti fin quì:

$..=(t^3-t^2)/(t^2+2t+1)$

Ma poi non capisco come hai fatto ad arrivare quì:

$..= t - 3 + 5/(t + 1)- 2/(t + 1)^2$

Cosa hai fatto?

[chiaraotta1]

Prima ha fatto la divisione tra polinomi:
$(t^3-t^2)/(t^2+2t+1)=t-3+(5t+3)/(t+1)^2$.
Poi ho scomposto la frazione in fratti semplici:
$ (5t+3)/(t+1)^2=A/(t+1)+B/(t+1)^2->$
$A=5^^ B=-2->(5t+3)/(t+1)^2=5/(t+1)-2/(t+1)^2$

[Bad90]

"chiaraotta":Prima ha fatto la divisione tra polinomi:
$(t^3-t^2)/(t^2+2t+1)=t-3+(5t+3)/(t+1)^2$.
Poi ho scomposto la frazione in fratti semplici:
$ (5t+3)/(t+1)^2=A/(t+1)+B/(t+1)^2->$
$A=5^^ B=-2->(5t+3)/(t+1)^2=5/(t+1)-2/(t+1)^2$

Adesso ho compreso perfettamente i passaggi che ha fatto, fin qui:

$(t^3-t^2)/(t^2+2t+1)=t-3+(5t+3)/(t+1)^2$.

Poi non capisco quando vai a scomporre la frazione in fratti semplici, dove vanno a finire $= t-3+...$

[chiaraotta1]

Si scompone in fratti semplici solo $ (5t+3)/(t+1)^2$:
$(5t+3)/(t+1)^2=5/(t+1)-2/(t+1)^2$.
Quindi
$t-3+(5t+3)/(t+1)^2=t-3+5/(t+1)-2/(t+1)^2$.

[Bad90]

"chiaraotta":Si scompone in fratti semplici solo $ (5t+3)/(t+1)^2$:
$(5t+3)/(t+1)^2=5/(t+1)-2/(t+1)^2$.
Quindi
$t-3+(5t+3)/(t+1)^2=t-3+5/(t+1)-2/(t+1)^2$.

Ho capito che non vengono scomposti in fratti semplici i valori che giustamente non sono frazioni, bene, ma quando va ad integrare, si devono considerare???

[minomic]

"Bad90":Ho capito che non vengono scomposti in fratti semplici i valori che giustamente non sono frazioni, bene, ma quando va ad integrare, si devono considerare???

Certo, si considera tutto.

[Bad90]

Non sto riuscendo a risolvere il seguente integrale:

$int ((sen^3x + senx)/(1-cos^4x))dx$

potreste per favore aiutarmi??

[Bad90]

Vi comunico che ho risolto l'esercizio, si riwolve con il metodo degli integrale con radici complesse!

[Bad90]

Ho pensato di risolvere il seguente integrale in questo modo, ma chiedo a te se è fattibile:

$int(sen^3(x))/(cosx +2)dx$

$int(sen^2(x))/(cosx +2)senxdx$ ponendo $t= cosx$

$int(t^2 -1)/(t +2)dt$ Se adesso faccio la divisione tra numeratore e denominatore, arrivo a questo:

$-int(1)/(t+2)dt$ che sarà $-log|t+2|+c=-log|cosx+2|+c$

E' corretto?????

[minomic]

No non è corretto. In particolare è sbagliata la divisione tra polinomi. $$t^2-1 = (t+2)(t-2)+3$$ quindi il quoziente è $t-2$ e il resto è $3$.

[Bad90]

Hai qualche consiglio su come risolverlo?????

Come hai fatto ad arrivare di pensare che $t^2-1 = (t+2)(t-2)+3$

[minomic]

A quello si arriva applicando il procedimento di divisione tra polinomi, riportato qui.

Per quanto riguarda la risoluzione la tua idea era giusta: $$t=cos x \quad\rightarrow\quad x= \arccos t \quad\rightarrow\quad dx = -\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt$$ Quindi effettivamente l'integrale diventa $$\int -\frac{1-t^2}{t+2}\cancel{\sqrt{1-t^2}}\frac{1}{\cancel{\sqrt{1-t^2}}}dt = \int \frac{t^2-1}{t+2} dt = \int t - 2 + \frac{3}{t+2}dt$$ che a questo punto si integra immediatamente.

PS. Ho editato il mio messaggio di prima: la sostituzione era giusta.

[Bad90]

Ho risolto il seguente integrale:

$int(x^2arcsinx) dx$

Sono arrivato alla seguente soluzione:

$I = x^3/3 arcsinx -1/6sqrt(1-x^2) - 1/18sqrt((1-x^2)^3) + c$

Ma il testo non mi dice che deve essere cosi'!
Dove sto sbagliando???

Il testo lo scrive in questo modo:



Dove sto sbagliando???

[Bad90]

Ho risolto il seguente integrale:

$int(ln^2x)/((x)^(5/2)) dx$

IO sono arrivato alla seguente soluzione:

$I = -2/(3sqrt(x^3)) log^2x - 8/(3sqrt(x))logx -16/(3sqrt(x))+c$

Ma perchè il testo la scrive in questo modo??

Non sto riuscendo ad individuare dove ho sbagliato, ma l'unica cosa che mi viene in mente come dubbio è::......

Ma quando vado a derivare $(ln^2x)$, allora devo fare in questo modo? $d(ln^2x) = 2lnx * 1/x$, e penso che sia proprio li l'errore, il non aver derivato a modi cipolla!

[giammaria2]

Sì, la derivata va fatta proprio così ed ottieni il risultato del libro.
Il tuo risultato è sbagliato, ma se fosse giusto sarebbe bene scriverlo in forma migliore. Dando denominatore comune e ricordando che $sqrt(x^3):sqrtx=sqrt(x^2)=x$ ottieni
$I=(-2ln^2x-8xlnx-16x)/(3sqrt(x^3))+c=-2/(3sqrt(x^3))(ln^2x+4xlnx+8x)+c$

[Bad90]

Si, ho notato l' errore , non avevo derivato quel logaritmo a modi cipolla e mi portava all'errore......

[Bad90]

Ho risolto il seguente integrale:

$int( arctgx dx)$

L'ho risolto applicando la regola per parti ed ho ottenuto un risultato che è diverso da quello del testo:

$int( arctgx dx) = xarctgx - int(x*1/(sqrt(x^2+1))) dx$

Con la sostituzione $t= x^2+1$ ho $dx x= dt/2$ allora l'integrale diventa:

$I= xarctgx - 1/2intdt/(sqrt(t)) $

E semplicemente arrivo a:

$I= xarctgx - sqrt(x^2+1) + c$

Per quale diamine di motivo il testo scrive invece il risultato in questo modo:

$I= xarctgx - 1/2log (x^2+1) + c$

Mi sono reso conto del banale errore, ho sbagliato a scrivere la derivata dell'arcotangente!

[Bad90]

Non mi e' mai capitato un integrale del genere e non sto nemmeno riuscendo a risolverlo!

$int(xe^(arcisinx))/(sqrt(1-x^2))dx$

Potreste aiutarmi a vedere come si risolve??????