Il gatto e il topo

[fanzhendong72]

Tom vuole prendere Jerry che si trova in una pozzanghera di forma approssimabile ad una circonferenza. Jerry nella terra è più veloce di Tom e riesce a sfuggirgli, però nuotando nella pozzanghera è 4 volte più lento di Tom . Tom non vuole bagnarsi le zampe e vuole catturare Jerry appena arrivato a terra. In questo modo Tom si muove solo sul bordo della pozzanghera mentre Jerry può muoversi liberamente all’interno di essa. Riuscirà Jerry a scappare? Se sì, qual è l’angolo formato tra il raggio che indica la posizione di Tom e quello che indica la posizione di Jerry?
Qual è la velocità minima che deve avere tom in funzione di quella di jerry per catturarlo?
[Si supponga che Jerry parta dal centro della pozzanghera, e che tutti e due siano adimensionali]

[axpgn]

Vedi qui

[Bokonon]

Anche qua https://www.youtube.com/watch?v=vF_-ob9vseM
...per pure coincidenza pubblicato ieri

[fanzhendong72]

"Bokonon":Anche qua https://www.youtube.com/watch?v=vF_-ob9vseM
...per pure coincidenza pubblicato ieri

Non è una coincidenza, prima di pubblicare il problema ho visto il video di numberphile mi sembrava interessante e volevo condividerlo qua. A quanto pare però esisteva già un problema identico con "personaggi" diversi.

[universo1]

Premesse

[*:3karotwl] Tom sceglie sempre il percorso più breve;[/*:m:3karotwl]
[*:3karotwl] Jerry sceglie sempre il percorso più breve.[/*:m:3karotwl][/list:u:3karotwl]
Con queste premesse, se $(x_T,y_T)$ è il punto di partenza di Tom, allora a Jerry basta dirigersi verso il punto $(-x_T,-y_T)$ per garantirsi il miglior margine possibile.
Soluzione
Sì, Tom riesce a raggiungere Jerry.
Motivazione
Sia $v_T$ la velocità di Tom e sia $v_J$ la velocità di Jerry. Proprio per come è definita la circonferenza, Jerry per giungere sulla terraferma deve percorrere sempre la stessa distanza; Tom invece deve necessariamente percorrere mezza circonferenza. Dunque si imposta la seguente disuguaglianza: $ \frac{\pi r}{v_T} \leq \frac{r}{v_J}$ da cui segue che deve essere $ \pi \leq \frac{v_T}{v_J}$ . La velocità minima di Tom deve essere pari a $\pi$ volte quella di Jerry, ma $4 > \pi$ e quindi Jerry è spacciato

[dissonance]

@universo: e se Jerry, invece di nuotare in linea retta, si sposta lungo una spirale, in modo da muoversi sempre in direzione opposta a Tom? O magari se percorre parte del percorso a spirale e l'ultimo pezzo in linea retta?

[universo1]

Tom invertirebbe direzione ogni volta e si avrebbe uno stallo. Altrimenti devono cadere le premesse fatte.

[dissonance]

@universo: la tua risposta è in contraddizione con la soluzione di veciorik (vedi link fornito da Alexp). Quindi, una delle due deve essere sbagliata. Non ci ho pensato molto, devo ammettere, ma mi convince maggiormente la soluzione di veciorik.

[axpgn]

@universo
Non c'è nessuno stallo.
Jerry può sempre farcela.

Finché Jerry rimane in una circonferenza pari a un quarto di raggio del laghetto, egli si muove più velocemente di Tom e quindi può raggiungere sempre un punto che si trova all'opposto di dove si trova Tom (cioè Jerry e Tom formano un angolo di $180°$ con vertice il centro del laghetto).
Può farlo in molti modi e più o meno velocemente (il più "gettonato" è quello a spirale ma non l'unico) ma può sempre farlo, questo è l'importante.
La conseguenza è che quando Jerry raggiunge il punto che si trova all'opposto di Tom e a tre quarti dalla riva, parte dritto (cioè radialmente) con la sicurezza di arrivarci prima di Tom perché Jerry deve percorrere $3/4r$ mentre Tom deve percorrere $pir$ e siccome $(pir)/(3/4r)=(4pi)/3>4$ …

Cordialmente, Alex

[veciorik]

La risposta a "Riuscirà Jerry a scappare se Tom è 4 volte più veloce ?" è stata abbondantemente discussa qui e non è difficile.

La risposta a "Qual è la velocità minima che deve avere Tom in funzione di quella di Jerry per catturarlo ?" è stata data qui con poche spiegazioni ed è più difficile.

Vi lascio provare un po' con la seconda prima di pubblicare due documenti con la trattazione completa. Li ho scovati oggi. Uno conferma la mia tesi che la prima parte del percorso ottimale è una semicirconferenza di raggio 1/8, che allora non convinse.

[spugna2]

Potrebbe essere tardi per dirlo, ma esiste un gioco online con esattamente queste regole
http://www.minijuegos.es/j/6802/

[dissonance]

@spugna: carino!