ESERCIZIO 6 SISSA 2018

[onlynose]

Ciao a tutti, vi propongo una mia risoluzione di un esercizio dell'esame di ammissione alla SISSA.

Sia $A$ una matrice $n\times n$ con entrate complesse e con $n\ge2$.
(a) Si dimostri che se $A$ è nilpotente (cioè $A^r=0$ per qualche $r\in\mathbb{N}$), allora ogni autovalore di
$A$ è nullo. Si determini quindi il polinomio caratteristico di $A$.
(b) Più in generale si determini per quali valori $c\in\mathbb{C}$ una matrice $A$ tale per cui $A^r=c\I_n$ è
diagonalizzabile su $\mathbb{C}$.

Il punto (a) è abbastanza facile a mio avviso:
La matrice $A$, essendo definita su un campo algebricamente chiuso, ammette sicuramente autovalori tali che la somma della loro molteplicità algebrica sia esattamente $n$, e dunque ammetterà almeno un autovettore. Sia $\lambda\in\mathbb{C}$ un qualsiasi autovalore di $A$ e sia $\vec v$ un autovettore relativo.
Si avrà che $A^r\vec v=A^{r-1}A\vec v=\lambdaA^{r-1} \vec v=\lambda^r\vec v$. Ma poiché il primo membro è nullo si avrà che anche l'ultimo lo sarà e poiché $\vec v$ non è il vettore nullo allora $\lambda=0$. Ciò mostra che ogni autovalore di $A$ è nullo.
Ovviamente sarà ovvio che il polinomio caratteristico di $A$ sarà $(-1)^nT^n$. (O ha molteplicità algebrica n, ed il segno del di T^n dipende esclusivamente da n stesso).

Il punto (b) l'ho trovato più interessante inizialmente, soprattutto perché non ero a conoscenza del polinomio minimo di una matrice. Ho provato a risolverlo così:

Consideriamo il polinomio $p(x)=x^r-c$. Tale polinomio annulla la matrice $A$, ovvero $p(A)=A^r-c\I_n=0$, per ipotesi.
Supponiamo $c\ne0$ allora si ha che $p(x)=x^r-c=(x-c_1)(x-c_2)\cdots(x-c_r)$, dove $c_i$ è l'iesima radice del numero complesso $c$. Si ha che $c_i\ne c_j$ se $i\ne j$, allora il polinomio $p(x)$ ha solamente radici di molteplicità $1$. Ciò basta a concludere la dimostrazione poiché si avrà che il polinomio minimo di $A$ divide $p(x)$ e quindi anch'esso avrà solamente radici di molteplicità $1$, la quale è condizione necessaria e sufficiente per la diagonalizzabilità di una matrice.

Nel caso in cui $c=0$ la situazione è diversa poiché gli autovalori di $A$ saranno tutti nulli per il punto (a) e dunque $A$ è diagonalizzabile se e solo se A è la matrice nulla, poiché la matrice nulla è simile solamente a se stessa.

Credete possa andare bene? Ringrazio chi voglia darmi dei suggerimenti e/o segnalare eventuali correzioni.

[dissonance]

Secondo me è corretto. Mi ha fatto un po' sorridere la locuzione "Ovviamente sarà ovvio".