17

[Bokonon]

17 è il numero dell'infame problema proposto in una recente gara di matematica a squadre di secondo livello valevole per l'accesso alla finale nazionale. Dico "infame" perchè mi ha fatto dannare per una settimana!
5 minuti per arrivare ad un passo dalla soluzione e una settimana per capire come superare l'ultimo scoglio (capirete anche voi se imboccherete la mia infelice strada!).

$sum_(i=1)^4 1/(alpha_i^4-15alpha_i^2-10alpha_i+24)=m/n$

dove $alpha_i$ è una delle 4 radici reali e distinte del polinomio $P(x)=x^4+4x^3+x^2-6x-1$ e $m$ e $n$ sono coprimi.
Trovare $m+n$

[Bremen000]

Notiamo subito che
\[ x^4-15x^2-10x+24=(x-1)(x+2)(x+3)(x-4) \]
e
\begin{align*}
P(\alpha_i)=0 &\Rightarrow \alpha_i^4 +4\alpha_i^3 +\alpha_i^2-6\alpha_i=1 \Rightarrow \alpha_i(\alpha_i-1)(\alpha_i+2)(\alpha_i+3)=1 \\
&\Rightarrow (\alpha_i-1)(\alpha_i+2)(\alpha_i+3)(\alpha_i-4)= \frac{ \alpha_i-4}{\alpha_i} \\
\end{align*}
per ogni \( i=1, \dots, 4\) . Quindi
\[ \sum_{i=1}^4 \frac{1}{\alpha_i^4-15\alpha_i^2-10\alpha_i+24} = \sum_{i=1}^4 \frac{\alpha_i}{\alpha_i-4} =
\frac{\sum_{i=1}^4 \alpha_i \prod_{j \ne i} (x_j-4)}{(\alpha_1-4)(\alpha_2-4)(\alpha_3-4)(\alpha_4-4)} =: \frac{ \text{NUM}}{\text{DEN}}\]
Poi
\[ P(x) = (\alpha_1-x)(\alpha_2-x)(\alpha_3-x)(\alpha_4-x)\]
e quindi
\[ \tag{1} P(4) = 256+4\cdot 64+16-6 \cdot 4 -1 = 503 = (\alpha_1-4)(\alpha_2-4)(\alpha_3-4)(\alpha_4-4) = \text{DEN} \]
Infine notiamo che
\[ P(x) = x^4 -(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4)x^3 + (\alpha_1 \alpha_2 + \alpha_1 \alpha_3 + \alpha_1 \alpha_4 + \alpha_2 \alpha_3 + \alpha_2 \alpha_4 + \alpha_3 \alpha_4)x^2 -(\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 + \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 + \alpha_1 \alpha_2 \alpha_4 + \alpha_1 \alpha_3 \alpha_4)x + \alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 \]
da cui
\begin{cases}
\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 = -4 \\
\alpha_1 \alpha_2 + \alpha_1 \alpha_3 + \alpha_1 \alpha_4 + \alpha_2 \alpha_3 + \alpha_2 \alpha_4 + \alpha_3 \alpha_4 = 1 \\
\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 + \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 + \alpha_1 \alpha_2 \alpha_4 + \alpha_1 \alpha_3 \alpha_4 = 6 \\
\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 = -1 \\
\end{cases}
Infine
\[ \alpha_1 \prod_{j \ne 1} (x_j-4) = \alpha_1 (\alpha_2-4)(\alpha_3-4)(\alpha_4-4) = \alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 - 4(\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 + \alpha_1 \alpha_3 \alpha_4 + \alpha_1 \alpha_2 \alpha_4) +16 (\alpha_1 \alpha_2 + \alpha_1 \alpha_3 + \alpha_1 \alpha_4)-64 \alpha_1 \]
e così anche per gli altri 3 addendi. Quindi
\begin{align*}
\tag{2}
\text{NUM} &= \sum_{i=1}^4 \alpha_i \prod_{j \ne i} (x_j-4) = 4(\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4) -4\cdot 3 \cdot \sum_{i \ne j \ne k} \alpha_i \alpha_j \alpha_k + 16 \cdot 2 \sum_{i \ne j} \alpha_i \alpha_j -64 \sum_{i=1}^4 \alpha_i \\
&= 4\cdot (-1) -4 \cdot 3 \cdot 6 + 16 \cdot 2 \cdot 1 -64 \cdot(- 4) =+212 \\
\end{align*}
e quindi da \( (1) \) e \( (2 ) \) si ha \( m+n = 715 \).

[Bokonon]

@Bremen000

Complimenti!

"Bremen000":
\begin{cases}
\alpha_1 \alpha_2 + \alpha_1 \alpha_3 + \alpha_1 \alpha_4 + \alpha_2 \alpha_3 + \alpha_2 \alpha_4 + \alpha_3 \alpha_4 = 1 \\
\end{cases}

Ma come diavolo hai risolto il pezzo quotato?
E' quello che mi ha tenuto fermo una settimana...non ne sono mai venuto a capo.
Alla fine ho risolto in altro modo.
Innanzitutto avevo ulteriormente semplificato:
$sum_(i=1)^4 alpha_i/(alpha_i-4)=sum_(i=1)^4 ((alpha_i-4)+4)/(alpha_i-4)=sum_(i=1)^4 1+4/(alpha_i-4)=4+4sum_(i=1)^4 1/(alpha_i-4)$
Ma poi facendo i prodotti mi mancava il pezzo in questione.

Alla fine ho pensato "e se facessi in modo che le radici fossero effettivamente $alpha_i-4$?"
Ed ho traslato $P(x+4)=x^4+20x^3+145x^2+450x+503$
Usando Vietè viene fuori che $sum_(i=1)^4 1/(alpha_i-4)=-450/503$
Quindi $4-4*450/503=212/503$
Da cui $212+503=715$

P.S. Ops, non avevo notato che l'avessi trovato per confronto, tutto chiaro ora.

[axpgn]

I conti però son sbagliati (o uno o l'altro )

[Bremen000]

Sistemato, c'era un segno sbagliato. Ho anche controllato la soluzione con MatLab, è giusta.

[Bokonon]

"axpgn":I conti però son sbagliati (o uno o l'altro )

LOL
Manco me n'ero accorto. Ero tutto assorto nella mia ossessione per quel fattore.
...me lo sono pure sognato...