Un esercizio (abbastanza diabolico) sulle serie

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Sia \( \{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{R}^+ \) tale che \( a_n \ge a_{n+1} \) per ogni \(n\) e che \( \sum_{n \ge 1} a_n = +\infty \). Mostrare che \[ \sum_{n \ge 1} a_n e^{ - \frac{a_n}{a_{n+1}}} = + \infty. \]

[Bremen000]

Sia \( \{ a_{n_k} \}_{k \in \mathbb{N}} \) la sottosuccessione (eventualmente vuota) di tutti e i soli elementi di \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) tale che \( \frac{a_{n_k}}{a_{n_{k+1}}} \le 2 \) per ogni $k \in \mathbb{N}$ e sia \( \{ a_{n_p} \}_{p \in \mathbb{N}} \) la parte restante della successione.

Allora \( \limsup \frac{a_{n_{p+1}}}{a_{n_p}} \le \frac{1}{2} \) e dunque \( \sum_{p \in \mathbb{N}} a_{n_p} < + \infty \). Da cui \( \{ a_{n_k} \}_{k \in \mathbb{N}} \) è non vuota e vale \( \sum_{k \in \mathbb{N}} a_{n_k} = + \infty \).
Quindi
\[ \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n e^{-\frac{a_{n}}{a_{n+1}}} \ge \sum_{k \in \mathbb{N}} a_{n_k} e^{-\frac{a_{n_k}}{a_{n_k+1}}} \ge e^{-2} \sum_{k \in \mathbb{N}} a_{n_k} = + \infty\]

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[otta96]

@Bremen000

"Bremen000":Sia \( \{ a_{n_k} \}_{k \in \mathbb{N}} \) la sottosuccessione (eventualmente vuota) di tutti e i soli elementi di \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) tale che \( \frac{a_{n_k}}{a_{n_{k+1}}} \le 2 \) per ogni $k \in \mathbb{N}$

Cosa intendi con questa cosa? E perché usi l'articolo determinativo?

@080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6 questi esercizi sulle serie li adoravo qualche anno fa come avevo anche detto in passato sul forum (poi ho scoperto la topologia e mi sono innamorato di quella ), proverò anche io a farlo.
@Bremen000[ot]Ieri avevi messo un'altra risposta o sbaglio? Ti sei accorto che la cosa che dicevi sulla sottosuccessione divergente massimale era sbagliata?[/ot]

[Bremen000]

@otta96

"otta96":
Cosa intendi con questa cosa? E perché usi l'articolo determinativo?

Chiaramente ci sono più sottosuccessioni che verificano quella proprietà ma sostanzialmente posso unirle tutte. Cioè posto
\[ A:= \biggl \{ n \in \mathbb{N} \mid \frac{a_n}{a_{n+1}} \le 2 \biggr \} \]
prendo una funzione strettamente crescente e suriettiva $\phi: \mathbb{N} \to A$ e chiamo
\[ a_{n_k} := a_{\phi(k)} \]
Bisognerebbe far vedere che $A$ è infinito, ma questo è facile perché \( \liminf \frac{a_n}{a_{n+1}} =1 \). Infatti, se così non fosse, avresti \( \limsup \frac{a_{n+1}}{a_{n}} < 1 \) e quindi la serie $\sum a_n $ convergerebbe per il criterio del rapporto.

@otta96
[ot]Spione Si era proprio sbagliata![/ot]

@tutti

Mi è piaciuto molto questo esercizio. L'idea che c'è dietro è il dover tenere \( \frac{a_n}{a_{n+1}} \) limitata per un numero "sufficientemente grande" di indici (gli $n_k$) in modo che, da una parte, abbiamo un bound inferiore su $e^{-\frac{a_{n_k}}{a_{n_k+1}}}$ e, dall'altra, quello che succede al di fuori degli $n_k$ (cioè negli $n_p$) non ci interessa perché $\sum a_{n_p}$ converge.