Maratona problemi teoria dei gruppi

[alvinlee881]

Se $G$ è un gruppo finito, dimostrare che esiste un intero positivo $n$ tale che $a^n=e$ per ogni $a inG$.
Questo è un esercizio proposto da Herstein subito dopo il primo paragrafo sui gruppi.
Ora, col teorema di Lagrange a disposizione, basta prendere $n=o(G)$. Ma come si può dimostrare sapendo, dei gruppi, solo la definizione, i lemmi sull'unicità del neutro e dell'inverso, le leggi di cancellazione, il fatto che $(a^-1)^-1=a$ e che $(ab)^-1=b^-1a^-1$?

[_Tipper]

"alvinlee88":Ma come si può dimostrare sapendo, dei gruppi, solo la definizione, i lemmi sull'unicità del neutro e dell'inverso, le leggi di cancellazione, il fatto che $(a^-1)^-1=a$ e che $(ab)^-1=b^-1a^-1$?

Non sono un esperto del settore, ma ci provo.

Per l'unicità del neutro puoi supporre per assurdo che $u$ e $u'$ siano due elementi neutri distinti, allora

$a u = a = a u'$

da cui $a u = a u'$. Moltiplicando ambo i membri a sinistra per $a^{-1}$ e sfruttando la proprietà associativa si ottiene $u = u'$, un assurdo.

Per l'unicità dell'inverso io farei ugualmente, ovvero si suppone che, dato $a \in G$, siano $a_1$ e $a_2$ inversi di $a$, con $a_1 \ne a_2$. Allora

$a a_1 = a a_2$

da cui, moltiplicando a sinistra per $a_1$, e sfruttando la proprietà associativa, $a_1 = a_2$, un assurdo. Per le leggi di cancellazione idem.

Per quanto riguarda $(a^{-1})^{-1} = a$, basta osservare che $a^{-1} a = 1$. Analogamente $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ dato che $(ab) (b^{-1} a^{-1}) = 1$ (applicando opportunamente la proprietà associativa).

Quanto detto vale per unicità dell'elemento neutro a destra. unicità dell'inverso a destra, ..., ma il tutto si generalizza facilmente anche per quello a sinistra.

[alvinlee881]

Mi scuso per la poca chiarezza del mio post, e il post di Tipper è la conferma che ho scritto da cani.
Intendevo dire: Come si può risolvere l'esercizio seguente:

1) "Se $G$ è un gruppo finito, dimostrare che esiste un intero positivo $n$ tale che $a^n=e$ per ogni $a inG$".

avendo a disposizione solo i seguenti risultati:
-definizione di gruppo
-lemmi sull'unicità del neutro e dlel'inverso
-leggi di cancellazione
-per ogni $ain G$ $(a^-1)^-1=a$
-per ogni $a,b in G$, $(ab)^-1=b^-1a^-1$.
Questi risultati sono già dimostrati (non da dimostrare) e sono le uniche cose che si possono usare per dimostrare 1).
Quindi non si devono dimostrare questi lemmi preliminari, ma 1) usando solo questi.
E' più chiaro?

[_Tipper]

Cosa intendi con $e$? Un generico elemento del gruppo?

[alvinlee881]

Pensavo fosse una convenzione che $e$ indicasse l'elemento neutro di un gruppo.

[_Tipper]

Ok. Se $G$ è un gruppo di ordine $n \in \mathbb{N}$, allora

$G = \{g_1, g_2, \ldots, g_n\}$

Sia [tex]\langle g_i \rangle[/tex] il gruppo ciclico generato da $g_i$, vale $o(g_i) | n$ per il th. di Lagrange sui gruppi. Sia $m = "mcm"(o(g_1), o(g_2), \ldots, o(g_n))$, allora $g_i^m = 1$ per $i = 1, 2, \ldots, n$.

[alvinlee881]

Senza offesa eh Tipper, ma leggi i miei post? Nel primo dico che con il toerema di Lagrange a disposizione l'esercizio diventa banale. Fra le cose che ho detto potersi usare, non compare nè la nozione di ordine, di sottogruppo generato, nè il teorema di Lagrange. Indi per cui non si possono usare per risolvere l'esercizio.
Il difficile sta nell'usare quel quasi niente a disposizione per risolvere l'esercizio. Non è colpa mia se Herstein piazza l'esercizio proprio all'inizio della teoria dei gruppi.

[_Tipper]

Hai ragione, scusami. Sto con un occhio qui e uno su USA-Cina (in differita). Forse è meglio se mi cheto... Scusa se ti ho fatto perdere tempo...

[alvinlee881]

Tranquillo i tuoi post sono sempre ben accetti, ma ora goditi la partita che forse è meglio

[Dorian1]

"alvinlee88":Mi scuso per la poca chiarezza del mio post, e il post di Tipper è la conferma che ho scritto da cani.
Intendevo dire: Come si può risolvere l'esercizio seguente:

1) "Se $G$ è un gruppo finito, dimostrare che esiste un intero positivo $n$ tale che $a^n=e$ per ogni $a inG$".

avendo a disposizione solo i seguenti risultati:
-definizione di gruppo
-lemmi sull'unicità del neutro e dlel'inverso
-leggi di cancellazione
-per ogni $ain G$ $(a^-1)^-1=a$
-per ogni $a,b in G$, $(ab)^-1=b^-1a^-1$.
Questi risultati sono già dimostrati (non da dimostrare) e sono le uniche cose che si possono usare per dimostrare 1).
Quindi non si devono dimostrare questi lemmi preliminari, ma 1) usando solo questi.
E' più chiaro?

Sia $G={e,a_1,a_2,...,a_n}$ gruppo rispetto all'operazione binaria $*$, cioè (tra le altre cose):

$a_i*a_j=a_k$, $AAi,j,k in {1,2,...,n}$

Preso un generico elemento di $G$ (diverso da $e$, sennò è banale) si considerino le potenze:

$a_i^m$,$AA m in NN$

poichè abbiamo un numero finito di elementi in $G$, si possono trovare 2 naturali $s$,$t$ tali che $a_i^s$=$a_i^t$ con $s!=t$ (*), quindi (supposto $s>t$):

$a_i^s=a_i^t =>a_i^t*a_i^(s-t)=a_i^t=>(a_i^t)^-1*a_i^t*a_i^(s-t)=(a_i^t)^-1*a_i^t$

e quindi, per l'associatività dell'operazione:

$a_i^(s-t)=e$

(*) Si tratta di un'ovvia osservazione...

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Ciao ragà.

Non so se sia già stato proposto, io farei così:

dato $a in G$, siccome $G$ è finito l'insieme delle potenze di $a$ è un insieme finito. Quindi necessariamente esistono due interi positivi $n$ ed $m$ distinti tali che $a^n = a^m$ (altrimenti le potenze sarebbero tutte a due a due distinte e quindi infinite).

Supponiamo $n>m$, per esempio. Moltiplicando per $(a^{-1})^m$ risulta allora $a^{n-m}=1$, c.v.d.

Modifico: ho visto ora che la mia soluzione era già stata proposta da Dorian.

[alvinlee881]

Bene Dorian e Martino. Che ne dite se continuiamo su questo topic a proporre dei problemi di teoria dei gruppi (sia propri, tratti da esami, libri ecc..), magari anche con dei limiti sui cannoni da potersi usare? Specie per me che preparo l'esame....Una volta mi ricordo che esistevano su questo forum delle maratone di problemi ed esercizi, dei topic dedicati apposta. Perchè non ricominciare? Chi risolve (nel nostro caso Dorian) per primo un problema ne propone uno nuovo, o passa a chi vuole lui. Che ne dite?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Per me va bene. Se la tua idea va bene ad almeno tre-quattro persone possiamo aprire un nuovo topic intitolato "maratona problemi sui gruppi finiti" o qualcosa del genere.

[alvinlee881]

Meglio "maratona problemi teoria dei gruppi", non necessariamente finiti. Aspetto che Dorian accetti e proponga un problema (se lo farà, sennò il turno passa a te Martino) e cambio il titolo.

[Dorian1]

"alvinlee88":Meglio "maratona problemi teoria dei gruppi", non necessariamente finiti. Aspetto che Dorian accetti e proponga un problema (se lo farà, sennò il turno passa a te Martino) e cambio il titolo.

Buona idea!

Tempo fa postai questo...

Ecco un piccolo esercizio:

sia $A in M_n(K)$ (matrice d'ordine $n$ a coefficienti in $K$). Si consideri l'applicazione:

$v_A$:$K[x]->M_n(K)$ (valutazione in $A$) così definita:

$v_A(sum_(i=0)^r a_ix^i)=sum_(i=0)^r a_iA^i$

(1) Mostrare che $v_A$ non è iniettiva (facile!);
(2) Mostrare che $v_A$ non è suriettiva;


Si consideri ora $Ker(v_A)$: esso è un sottogruppo additivo di $K[x]$:

(3) Si mostri che $Ker(v_A)$ è formato da tutti e soli i multipli di un suo qualsiasi polinomio di grado minimo (se lo prendiamo monico, esso si chiamerà polinomio minimo );

Buon divertimento!

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Per caso per provare il punto 2 si può usare Hamilton-Cayley (cioè il fatto che il polinomio caratteristico sta in $ker(v_A)$)? Lo chiedo, non si sa mai...

[Dorian1]

"Martino":Per caso per provare il punto 2 si può usare Hamilton-Cayley (cioè il fatto che il polinomio caratteristico sta in $ker(v_A)$)? Lo chiedo, non si sa mai...

Credo di no...

[alvinlee881]

"Dorian":[quote="Martino"]Per caso per provare il punto 2 si può usare Hamilton-Cayley (cioè il fatto che il polinomio caratteristico sta in $ker(v_A)$)? Lo chiedo, non si sa mai...

Credo di no...[/quote]
Direi che sta a chi propone il problema pronunciarsi in merito a cosa si possa usare o meno...

[Dorian1]

"alvinlee88":[quote="Dorian"][quote="Martino"]Per caso per provare il punto 2 si può usare Hamilton-Cayley (cioè il fatto che il polinomio caratteristico sta in $ker(v_A)$)? Lo chiedo, non si sa mai...

Credo di no...[/quote]
Direi che sta a chi propone il problema pronunciarsi in merito a cosa si possa usare o meno...[/quote]

Si può usare ciò che si ritiene più opportuno... Mi sembra ovvio. Non pretendo che si trovi la mia dimostrazione, va bene una qualsiasi!
Ho detto no ad Hamilton-Cayley perchè mi sembra che non porti da nessuna parte... (naturalmente potrei sbagliarmi...)

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"Dorian":Ho detto no ad Hamilton-Cayley perchè mi sembra che non porti da nessuna parte... (naturalmente potrei sbagliarmi...)

Beh, secondo me no (altrimenti non te l'avrei chiesto).

Allora dico cosa ne penso usando Hamilton-Cayley.

(1) la $v_A$ non è iniettiva perché altrimenti $k[x]$ sarebbe isomorfo ad un sotto-$k$-spazio vettoriale di $M_n(k)$, che ha dimensione $n^2$ su $k$: assurdo perché $k[x]$ ha dimensione infinita su $k$.

(3) il nucleo della $v_A$ è un ideale di $k[x]$ (perché la $v_A$ è un omomorfismo di anelli) e $k[x]$ è un dominio a ideali principali, quindi $ker(v_A)$ ammette almeno un generatore $p(x)$ (non nullo in virtù di (1)). Dividendo per il coefficiente direttore troviamo il polinomio minimo, che ancora genera il nucleo essendo ottenuto da un generatore tramite la moltiplicazione per un'unità di $k[x]$, e che naturalmente ha grado minimo tra i gradi dei polinomi del nucleo in quanto ogni polinomio del nucleo è un suo multiplo. Viceversa preso un polinomio di grado minimo esso ha lo stesso grado di $p(x)$ dovendo essere un suo multiplo tramite un elemento di $k[x]$ che non può essere che una costante per minimalità.

(2) la $v_A$ non è suriettiva perché l'immagine della $v_A$ è canonicamente isomorfa (come anello: primo teorema di omomorfismo) a $k[x]//(p(x))$, che ha dimensione su $k$ inferiore od uguale a $n$ (segue giustificazione), quindi strettamente minore di $n^2$ (che è la dimensione del codominio) avendo escluso il caso banale $n=1$.
Giusficazione del fatto che $k[x]//(p(x))$ ha dimensione $le n$ su $k$: detto $d$ il grado di $p(x)$, sappiamo che $d le n$ perché $d$ dev'essere inferiore o uguale al grado del polinomio caratteristico di $A$ (perché quest'ultimo sta in $ker(v_A)$: Hamilton-Cayley), che sappiamo essere $n$. Ora naturalmente $1, x, ..., x^{d-1}$ formano un sistema di generatori per $k[x]//(p(x))$ (le potenze successive si esprimono tramite questi elementi in virtù della relazione data dal polinomio minimo). Ne segue che $k[x]//(p(x))$ ha dimensione $le d le n$ su $k$.

Ditemi se trovate errori e se tollerate gli strumenti che ho usato

[Dorian1]

Complimenti! Non fa una grinza!
La mia dimostrazione di (2) si basa sul fatto che $Im(v_A)$ è una sotto-algebra commutativa di $M_n(K)$ (cioè che l'immagine è formata da "poche" matrici...), mentre in (3):

sia $Ker(v_A)=I$
siano $f in I$, mentre $m in I$ il polinomio di grado minimo possibile. Abbiamo che:
$f=mq+r$ e due casi possibili:
(1) $r=0$ , (2) $deg(r)
osservando che $r=f-mq in I$ ($mq in I$ perchè il prodotto è assorbente, $f+(-mq) in I$ perchè è un sottogruppo additivo...) e che (2) contraddice la minimalità di $m$, si deduce $r=0$ e quindi la tesi.


La parola a Martino!