$|f'(x)|<sqrt(2M f(x))$

[maurer]

Questo problema mi assilla da parecchi giorni e non ho più idee su come affrontarlo!
Sia $f(x)$ una funzione positiva, derivabile due volte in $RR$ e tale che $f''(z)<=M$, $M>0$ $AA z \in RR$. Dimostrare che $AA x \in RR$ vale la disuguaglianza $|f'(x)|
Il libro scrive anche questo suggerimento: "scrivere la formula di Taylor con centro x, arrestata al 2° ordine ed usare l'ipotesi su f''".

Avete qualche idea?

[Gaal Dornick]

Cominciamo con lo scrivere la formula di Taylor: risulta $AAh in RR$
$0<=f(x+h)=f(x)+f'(x)*h+frac{f''(alpha)}{2}h^2<=f(x)+f'(x)*h+M/2h^2$
(con $alpha in (x,x+h)$ o $alpha in (x+h,x)$, sto usando il resto di Lagrange)
Guarda all'ultimo membro come ad una parabola nell'incongnita $h$. Vuoi che sia sempre $>=0$ quindi cosa devi richiedere sul determinante?
Forza, finiscilo tu.

[maurer]

OK!
Non avevo pensato ad imporre la positività come condizione... la assumevo soltanto come ipotesi...
Grazie infinite!

[Gaal Dornick]

Quando durante un esercizio (o durante l'esame mentre dimostri un teorema!) non sai come fare...guarda le ipotesi, ricordati che le devi usare tutte, e loro ti diranno che fare...con un po' di allenamento

[Fioravante Patrone1]

"Gaal Dornick":Quando durante un esercizio (o durante l'esame mentre dimostri un teorema!) non sai come fare...guarda le ipotesi, ricordati che le devi usare tutte, e loro ti diranno che fare...con un po' di allenamento

Giustissimo. E mostra inequivocabilmente l'artificiosità dei compiti d'esame.
Quando si tratta di usare davvero la matematica, e non per finta, le ipotesi da usare non sono lì davanti, in fila ben ordinata e tirate a lucido, pronte per la rassegna del comandante