[EX] Un problema (intuitivo) di TGM
TGM, ovviamente, è la Teoria Geometrica della Misura.
Parlando molto rozzamente, la TGM è lo studio delle diverse nozioni di "misura di superficie", o "perimetro", che è possibile dare in $RR^N$ per varietà $(N-1)$-dimensionali (e non solo) e delle relazioni geometriche che sussistono tra tali misure, come ad esempio la disuguaglianza isoperimetrica che lega volume e perimetro di un corpo (ossia misura di Lebesgue di un insieme $E$ e misura di superficie della frontiera $\partial E$).
Lo studio dei problemi di TGM è fatto per lo più con tecniche analitiche di tipo variazionale.
Una delle proprietà migliori del perimetro $P$ (nel senso della TGM) è la semicontinuità inferiore: infatti, comunque si scelga una successione di insiemi $(E_n)$ con frontiera misurabile (ossia con $P(E_n)<+oo$) si ha:
(*) $\quad P(E)<=minlim P(E_n)$ non appena $E_n to E$;
qui $E_n\to E$ significa che per ogni compatto $Ksubseteq RR^N$ risulta $V((E_nDelta E)cap K) to 0$ (ove $V(\cdot)$ è il volume, ossia l'usuale misura di Lebesgue in $RR^N$, e $Delta$ è la differenza simmetrica di due insiemi).
Inoltre si può provare che la nozione di perimetro della TGM (introdotta da De Giorgi) coincide con l'usuale area di superficie per le varietà $(N-1)$-dimensionali di $RR^N$ (cosicché se $E\subseteq RR^2$ è un insieme limitato con frontiera di classe $C^1$ a tratti, si ha $P(E)=\int_(\partial E) |N|" d"s$ ove $N$ è la normale a $\partial E$).
***
Problema:
Si dimostri che la disuguaglianza (*) può essere stretta; in altre parole, si determinino una successione $(E_n)$ d'insiemi con perimetro finito ed $E\subseteq RR^N$ tali che:
(**) $\quad E_n\to E$ e $P(E)
Parlando molto rozzamente, la TGM è lo studio delle diverse nozioni di "misura di superficie", o "perimetro", che è possibile dare in $RR^N$ per varietà $(N-1)$-dimensionali (e non solo) e delle relazioni geometriche che sussistono tra tali misure, come ad esempio la disuguaglianza isoperimetrica che lega volume e perimetro di un corpo (ossia misura di Lebesgue di un insieme $E$ e misura di superficie della frontiera $\partial E$).
Lo studio dei problemi di TGM è fatto per lo più con tecniche analitiche di tipo variazionale.
Una delle proprietà migliori del perimetro $P$ (nel senso della TGM) è la semicontinuità inferiore: infatti, comunque si scelga una successione di insiemi $(E_n)$ con frontiera misurabile (ossia con $P(E_n)<+oo$) si ha:
(*) $\quad P(E)<=minlim P(E_n)$ non appena $E_n to E$;
qui $E_n\to E$ significa che per ogni compatto $Ksubseteq RR^N$ risulta $V((E_nDelta E)cap K) to 0$ (ove $V(\cdot)$ è il volume, ossia l'usuale misura di Lebesgue in $RR^N$, e $Delta$ è la differenza simmetrica di due insiemi).
Inoltre si può provare che la nozione di perimetro della TGM (introdotta da De Giorgi) coincide con l'usuale area di superficie per le varietà $(N-1)$-dimensionali di $RR^N$ (cosicché se $E\subseteq RR^2$ è un insieme limitato con frontiera di classe $C^1$ a tratti, si ha $P(E)=\int_(\partial E) |N|" d"s$ ove $N$ è la normale a $\partial E$).
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Problema:
Si dimostri che la disuguaglianza (*) può essere stretta; in altre parole, si determinino una successione $(E_n)$ d'insiemi con perimetro finito ed $E\subseteq RR^N$ tali che:
(**) $\quad E_n\to E$ e $P(E)
Risposte
E' un fatto ben noto di teoria geometrica della misura, sull'ambrosio-fusco-pallara trovi molto di più se lo conosci.
"Luca.Lussardi":
E' un fatto ben noto di teoria geometrica della misura, sull'ambrosio-fusco-pallara trovi molto di più se lo conosci.
Sisi, lo so Luca.
Il problema l'ho postato tanto per far divertire i "piccoli", non perchè sia un problema per me.
Sai, molte volte di queste cose non si sente proprio parlare nei corsi di laurea regolari; quindi ho pensato di incuriosire un po' gli studenti interessati all'Analisi con questo "giochino".
Beh sono argomenti piuttosto delicati, io ho sentito parlare di teoria geometrica della misura solo al dottorato, ma dipende dalla scuola. Se tu sei a napoli e hai avuto Fusco sicuramente avrai sentito queste cose anche in corsi del cdl.
[OT]
Di queste cose ho letto giusto qualcosa dall'Evans-Gariepy per la tesi, mentre ora mi serviranno certamente un po' di più (anche se non mi sto occupando strettamente di TGM).
Fusco lo sto seguendo, con molto piacere ed interesse, ora che sta facendo CdV per laurea specialistica e noi dottorandi; anzi ci ha preannunciato che fra tre anni, probabilmente, farà un corso annuale di TGM (invero sta programmando una specie di "rotazione triennale" per corsi annuali di PDE, CdV e TGM... Anno prossimo PDE, tra due anni CdV, tra tre TGM; poi ha intenzione di continuare modulo $3$).
Peccato che tra tre anni avrò già finito il dottorato.
[/OT]
"Luca.Lussardi":
Beh sono argomenti piuttosto delicati, io ho sentito parlare di teoria geometrica della misura solo al dottorato, ma dipende dalla scuola.
Di queste cose ho letto giusto qualcosa dall'Evans-Gariepy per la tesi, mentre ora mi serviranno certamente un po' di più (anche se non mi sto occupando strettamente di TGM).
"Luca.Lussardi":
Se tu sei a Napoli e hai avuto Fusco sicuramente avrai sentito queste cose anche in corsi del cdl.
Fusco lo sto seguendo, con molto piacere ed interesse, ora che sta facendo CdV per laurea specialistica e noi dottorandi; anzi ci ha preannunciato che fra tre anni, probabilmente, farà un corso annuale di TGM (invero sta programmando una specie di "rotazione triennale" per corsi annuali di PDE, CdV e TGM... Anno prossimo PDE, tra due anni CdV, tra tre TGM; poi ha intenzione di continuare modulo $3$).
Peccato che tra tre anni avrò già finito il dottorato.
[/OT]
"Gugo82":
Una delle proprietà migliori del perimetro $P$ (nel senso della TGM) è la semicontinuità inferiore: infatti, comunque si scelga una successione di insiemi $(E_n)$ con frontiera misurabile (ossia con $P(E_n)<+oo$) si ha:
(*) $\quad P(E)<=minlim P(E_n)$ non appena $E_n to E$;
qui $E_n\to E$ significa che per ogni compatto $Ksubseteq RR^N$ risulta $V((E_nDelta E)cap K) to 0$ (ove $V(\cdot)$ è il volume, ossia l'usuale misura di Lebesgue in $RR^N$, e $Delta$ è la differenza simmetrica di due insiemi). [...]
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Problema:
Si dimostri che la disuguaglianza (*) può essere stretta; in altre parole, si determinino una successione $(E_n)$ d'insiemi con perimetro finito ed $E\subseteq RR^N$ tali che:
(**) $\quad E_n\to E$ e $P(E)
Fissiamo $E,(A_n),(E_n)$ come nel Suggerimento.
Evidentemente risulta:
1) $E_n\subseteq E$ quindi $E\Delta E_n=E\setminus E_n=E\cap A_n$ per ogni $n\in NN$;
2) $E,E_n,E\cap A_n$ sono insiemi misurabili secondo Lebesgue;
3) $E_n$ ha frontiera di classe $C^1$ a tratti mentre $E$ ha frontiera di classe $C^oo$.
Mostriamo che per tale scelta di $E,(E_n)$ vale la (**).
Innanzitutto proviamo che $E_nto E$ nel senso specificato sopra.
Sia $K$ un compatto di $RR^2$; per 1) l'insieme $(E\Delta E_n) cap K$ è misurabile e si ha $0<= V((E\Delta E_n) cap K) <=V(E\Delta E_n)=V(E\cap A_n)$; per noti fatti di geometria elementare, $V(E\cap A_n)=alpha_n$ essendo $alpha_n$ la misura in radianti dell'angolo $A_n$. Visto che i lati di $A_n$ sono le semirette $y=pm 1/n x$, si ha:
$alpha_n=2arctan(1/n)$
quindi $V(E\cap A_n)\to 0$ quando $n\to +oo$ e, di conseguenza, si ha:
$lim_n V((E\Delta E_n)\cap K)=0 " per ogni compatto "K => E_n\to E$.
Mostriamo che vale la disuguaglianza stretta.
Vista la 3), $\partial E$ e $\partial E_n$ sono curve rettificabili e perciò rimane da calcolare $P(E)$ e $P(E_n)$. Per questioni elementari è $P(E)=2pi$, mentre facendo due conticini si trova:
$P(E_n)=2+(2pi -alpha_n)=2pi +2-2arctg(1/n) \quad$;
infine si ha:
$P(E)=2pi<2pi+2=lim_n P(E_n)$
come si voleva.
"Luca.Lussardi":
Beh sono argomenti piuttosto delicati, io ho sentito parlare di teoria geometrica della misura solo al dottorato, ma dipende dalla scuola. Se tu sei a napoli e hai avuto Fusco sicuramente avrai sentito queste cose anche in corsi del cdl.
Credo che a Pisa ci sia come corso alla specialistica. A Torino ci sarà al dottorato. Altrove non so...
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