Analisi 6
Sia $f:\RR^n->\RR^n$ di classe $C^1$ e tale che $det Df(x)\ne0$ per ogni $x\in\RR^n$. Si supponga che se $K\subset\RR^n$ è compatto, allora $f^{-1}(K)$ è compatto. Mostrare che $f(\RR^n)=\RR^n$.
Risposte
1 $f(RR^n)$ è aperto
sia $y in f(RR^n)$ allora $EEx in RR^n | f(x)=y$ siccome $det Df(x)!=0$ esiste un intorno $U$ di x in cui f è omeomorfismo, quindi $V=f(U)$ è intorno aperto di y tale che $V sub f(RR^n)$
2 $f(RR^n)$ è chiuso
sia $y_m->y$ con $y_m in f(RR^n)$ definitivamente la successione è contenuta in una sfera di raggio 1 centrata in y $B_1(y)$
$A=f^(-1)(B_1(y))$ è compatto ed esistono $x_m in A$ tali che $f(x_m)=y_m$ siccome A è compatto $x_m$ ammette una sottosuccessione convergente $barx_m->x_0 in A$ e $f(barx_m)$ è sottosuccessione di $y_m$ quindi $f(barx_m)->y$
per continuità $lim_(m->+oo)f(barx_m)=f(x_0)=y$ quindi $y in f(RR^n)$
siccome $f(RR^n)$ è non vuoto deve coincidere con $RR^n$
spero di non aver scritto stupidaggini
sia $y in f(RR^n)$ allora $EEx in RR^n | f(x)=y$ siccome $det Df(x)!=0$ esiste un intorno $U$ di x in cui f è omeomorfismo, quindi $V=f(U)$ è intorno aperto di y tale che $V sub f(RR^n)$
2 $f(RR^n)$ è chiuso
sia $y_m->y$ con $y_m in f(RR^n)$ definitivamente la successione è contenuta in una sfera di raggio 1 centrata in y $B_1(y)$
$A=f^(-1)(B_1(y))$ è compatto ed esistono $x_m in A$ tali che $f(x_m)=y_m$ siccome A è compatto $x_m$ ammette una sottosuccessione convergente $barx_m->x_0 in A$ e $f(barx_m)$ è sottosuccessione di $y_m$ quindi $f(barx_m)->y$
per continuità $lim_(m->+oo)f(barx_m)=f(x_0)=y$ quindi $y in f(RR^n)$
siccome $f(RR^n)$ è non vuoto deve coincidere con $RR^n$
spero di non aver scritto stupidaggini
no no.. è giusto!
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