Brachistochrone, più o meno

[Alessandro Preti]

Buondì! Immaginiamo di avere due punti nel piano A e B con $AxBy$ ovvero la strada da A a B era in discesa, per questo motivo consideriamo che l'oggetto abbia velocità iniziale $v>sqrt(2gh)$.
Questo problema è nato da una mia domanda, che spero possa portare a qualcosa di interessante e diverso rispetto al problema originale (in realtà spero che possa portare a qualcosa e basta ).
Questa dovrebbe essere la mia soluzione ma non sono tanto sicuro e non è portata alla fine per mancanza di competenze,quindi vorrei un parere da voi, grazie mille .

Considero la strada che l'oggetto percorre in un tempo infinitesimale $sqrt(1+(y')^2)dx$ e la velocità che esso avrà (considero $vi=sqrt(2gh)$,per comodità) $v=sqrt(2gh-gy)$ per la conservazione dell'energia abbiamo che $dt=(ds)/(dv)$ e si ottiene $t=int(sqrt(1+(y')^2)/(sqrt(2gh-gy)))dx$.
Infine utilizziamo l'equazione di eulero-lagrange $((\partial f)/(\partialy))-d((\partial f)/(\partialy'))/dx=0$ per ottenere l'equazione differenziale da cui ricavare f(x), purtroppo non so ancora svolgere ne le derivate parziali ne delle equazioni differenziali cosi complesse, quindi la mia soluzione si ferma a metà con la parte dei calcoli ancora da fare...

[Alessandro Preti]

Scusate se ho fatto errori, ma ho scritto un'po di fretta.
Inoltre quando dico che $v>sqrt(2gh)$, mi riferisco ad $h=By-Ay$

[dan952]

Quando ho tempo posto la soluzione del libro di meccanica razionale che possiedo.

[Alessandro Preti]

Oh, buono a sapersi,allora qualcun'altro si era posto la stessa domanda! Grazie mille.

[Erasmus_First]

Non so se ho capito giusto.
Provo a ridire: se ho capito sbagliato qualcuno mi correggerà!

Ci sono diue punti distinti e non sulla stessa verticale.
La dfferenza di quota è h, si suppone che l'accelerazione di gravita g sia unbiforme e si vuole sapere quale deve essere il percorso di un punto materiale che va dal punto più basso a quello più alto per inerzia nel tempo più breve possibile partendo dal punto più basso a velocità iniziale $u = sqrt(2gh)$ senza mai incontrare attrito.

Se è così, il punto materiaòle percorre a ritroso la stessa cicloide che percorrerebbe scedendo dal punto alto con partenza da fermo.
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[Alessandro Preti]

Si effettivamente ci avevo pensato, quello che volevo sapere era se matematicamente risultasse cosi.