[Analisi] Stimare...

[dan952]

Dimostrare che
$$\sum_{n \leq x} \log^2 n=x(\log^2 x-2\log x+2)+O(\log^2 x)$$

[consec]

Immagino c'entri qualcosa che $\int_{0}^{x} ln^2(t) dt = x(ln^2(x)-2ln(x)+2)$

[dan952]

Sì

[dan952]

Un input:

Sia $f: RR^{+} \mapsto RR^{+}$ funzione derivabile risulta
$\frac{d}{dx}({x}f(x))={x}f'(x)+f(x)$
Dove ${x}$ denota la parte frazionaria di $x \in (N,N+1)$.

[wanderer1]

ci provo,

il mio obiettivo è dimostrare che $\sum_{i=1}^{\floor(x)} ln^2 i - x(ln^2 x - 2lnx +2) \in O(ln^2 x)$
ovvero nel dimostrare che $\exists x_0, \exists M > 0 \text{ tale che } \sum_{i=1}^{\floor(x)} ln^2 i - x(ln^2 x - 2lnx +2) <= M * ln^2 x, \forall x > x_0$

Allora, considerando che $\int_1^x ln^2 t \ dt = x(ln^2 x - 2lnx + 2) - 2$:

\[ \sum_{i=1}^{ \lfloor x \rfloor } ln^2 i - x(ln^2 x - 2lnx +2) = \sum_{i=1}^{ \lfloor x \rfloor } ln^2 i - \int_1^x ln^2 t \ dt - 2 < \] \[< \sum_{i=1}^{ \lfloor x \rfloor } ln^2 i - \int_1^{\lfloor x \rfloor} ln^2 t \ dt = \int_1^{ \lfloor x \rfloor } (ln^2 \lfloor t \rfloor - ln^2 t) \ dt \ + ln^2 \lfloor x \rfloor \leq ln^2 x\]

quindi, per concludere:

\[\sum_{i=1}^{ \lfloor x \rfloor } ln^2 i - x(ln^2 x - 2lnx +2) < ln^2 x, \forall x \geq 1\]

spero di non aver scritto stupidaggini

[dan952]

Ok