Maratona di problemi
Proviamo a fare questa cosa: comincio col proporre io un problema (abbastanza facile), poi chi lo risolve propone a sua volta un problema etc etc. Se il risolutore di un problema non ha niente da proporre, puo' dare il permesso ad altri di proporne uno.
Sarebbe bello se si riuscisse a spaziare in piu' campi, e non tenersi solo in uno. Poi, non sarebbe l'ideale proporre problemi esageratamente difficili, cosi' non si ferma tutto.
Problema 1
Siano $a,b,c$ tre interi distinti, e sia $P$ un polinomio a coefficienti interi. Dimostrare che e' impossibile avere che $P(a)=b,P(b)=c,P(c)=a$.
Sarebbe bello se si riuscisse a spaziare in piu' campi, e non tenersi solo in uno. Poi, non sarebbe l'ideale proporre problemi esageratamente difficili, cosi' non si ferma tutto.
Problema 1
Siano $a,b,c$ tre interi distinti, e sia $P$ un polinomio a coefficienti interi. Dimostrare che e' impossibile avere che $P(a)=b,P(b)=c,P(c)=a$.
Risposte
Il problema che propongo e':
calcolare $\int_{0}^{pi/2} dx / (1+(tan(x))^{sqrt(2)})$
edit: ho tolto le idiozie, grazie Piera per il typo
calcolare $\int_{0}^{pi/2} dx / (1+(tan(x))^{sqrt(2)})$
edit: ho tolto le idiozie, grazie Piera per il typo
Consideriamo le curve di equazione $y=f(x)=1/(1+tan^nx)$ con n reale.
Ponendo per continuita' $f((pi)/2)=0$ e limitando ogni considerazione
all'intervallo $[0,(pi)/2]$, si vede che dette curve passano tutte per i punti $((pi)/2,0),(0,1)
ed hanno come centro di simmetria il punto $o((pi)/4,1/2)$.
Pertanto la retta $y=1/2$,passante anch'essa per o,sottende aree uguali : $B=C$
E quindi risulta :
Area_richiesta=A+B=A+C=rettangolo(base=pi/2,altezza=1/2)=$(pi)/4$
In altre parole l'area da trovare e' indipendente da n !!
karl
"karl":
In altre parole l'area da trovare e' indipendente da n !!
Oh yes
EDIT:
karl dev'essersi dimenticato del nuovo problema... propongo questo:
per ogni intero $n>=1$ trovare le soluzioni intere positive $x_1, x_2, ..., x_n$ di
$1/x_1 + 1/x_2 + ... + 1/x_n + 1/(x_1 x_2 ... x_n) = 1$
una piccola precisazione...
per ora non so se si possano trovare gli $x_i$ in forma chiusa...
ma si puo' certamente trovare una relazione che permette di calcolare tutti gli $x_i$, per ogni $n$.
per ora non so se si possano trovare gli $x_i$ in forma chiusa...
ma si puo' certamente trovare una relazione che permette di calcolare tutti gli $x_i$, per ogni $n$.
Supponiamo che
$1/x_1+1/x_2+...+1/x_n+1/(x_1x_2...x_n)=1$
Poiche'
$1/(x_1x_2...x_n)=1/(x_1x_2...x_n+1)+1/(x_1x_2...x_n(x_1x_2...x_n+1))$
Ponendo $x_(n+1)=x_1x_2...x_n+1$, abbiamo che
$1/(x_1x_2...x_n)=1/x_(n+1)+1/(x_1x_2...x_nx_(n+1))$
dunque
$1/x_1+1/x_2+...+1/x_n+1/x_(n+1)+1/(x_1x_2...x_nx_(n+1))=1$
A partire da $x_1=2$, che risolve l'equazione $1/x_1+1/x_1=1$, possiamo allora risolvere l'equazione generica per ogni $n$.
Se interpreto bene il problema finisce qui... Oppure bisogna anche dimostrare che le soluzioni trovate sono le uniche possibili?
$1/x_1+1/x_2+...+1/x_n+1/(x_1x_2...x_n)=1$
Poiche'
$1/(x_1x_2...x_n)=1/(x_1x_2...x_n+1)+1/(x_1x_2...x_n(x_1x_2...x_n+1))$
Ponendo $x_(n+1)=x_1x_2...x_n+1$, abbiamo che
$1/(x_1x_2...x_n)=1/x_(n+1)+1/(x_1x_2...x_nx_(n+1))$
dunque
$1/x_1+1/x_2+...+1/x_n+1/x_(n+1)+1/(x_1x_2...x_nx_(n+1))=1$
A partire da $x_1=2$, che risolve l'equazione $1/x_1+1/x_1=1$, possiamo allora risolvere l'equazione generica per ogni $n$.
Se interpreto bene il problema finisce qui... Oppure bisogna anche dimostrare che le soluzioni trovate sono le uniche possibili?
Quindi $x_(n+1)=prod_(k=1)^n x_n+1$.
Sarebbe interessante trovare una formula
chiusa per $x_n$; ad esempio, ponendo
$y_n=prod_(k=1)^n x_n$, si ottiene
$y_(n+1)/y_n=y_n+1$, da cui l'equazione
alle differenze $y_(n+1)=y_n^2+y_n$ (1), con
la condizione $y_1=prod_(k=1)^1x_k=x_1=2$.
La soluzione della (1) potrebbe costituire il
prossimo problema, di cui però non conosco
ancora la soluzione, se c'è.
Sarebbe interessante trovare una formula
chiusa per $x_n$; ad esempio, ponendo
$y_n=prod_(k=1)^n x_n$, si ottiene
$y_(n+1)/y_n=y_n+1$, da cui l'equazione
alle differenze $y_(n+1)=y_n^2+y_n$ (1), con
la condizione $y_1=prod_(k=1)^1x_k=x_1=2$.
La soluzione della (1) potrebbe costituire il
prossimo problema, di cui però non conosco
ancora la soluzione, se c'è.
Questa pagina però fa pensare
che la soluzione in forma chiusa
alla "quadratic map" $y_(n+1)=y_n^2+y_n$
non esista. Un'idea potrebbe
essere quella di riscrivere $y_n$
nel modo seguente:
$y_n=(-1pmsqrt(1+4y_(n+1)))/2$.
La soluzione con il segno meno è
sicuramente da scartare (gli $y_n$
diventerebbero negativi), inoltre
il radicando $1+4y_(n+1)$ dev'essere
un quadrato perfetto (gli $y_n$, come
gli $x_n$, sono interi). Tuttavia
molti interi soddisfano tale richiesta,
i primi sono $2,6,12,20,30,42,ldots$
mentre i primi $y_n$ sono $2,6,42,ldots$
Per ora mi fermo qui.
che la soluzione in forma chiusa
alla "quadratic map" $y_(n+1)=y_n^2+y_n$
non esista. Un'idea potrebbe
essere quella di riscrivere $y_n$
nel modo seguente:
$y_n=(-1pmsqrt(1+4y_(n+1)))/2$.
La soluzione con il segno meno è
sicuramente da scartare (gli $y_n$
diventerebbero negativi), inoltre
il radicando $1+4y_(n+1)$ dev'essere
un quadrato perfetto (gli $y_n$, come
gli $x_n$, sono interi). Tuttavia
molti interi soddisfano tale richiesta,
i primi sono $2,6,12,20,30,42,ldots$
mentre i primi $y_n$ sono $2,6,42,ldots$
Per ora mi fermo qui.
Non mi sorprenderebbe se non esistesse una formula chiusa. La successione degli $x_i$ è analoga a quella costruita per mostrare l'esistenza di infiniti primi da Euclide...
Propongo allora il seguente problema.
Determinare il massimo numero di parti in cui $n$ circonferenze possono dividere un piano.
Propongo allora il seguente problema.
Determinare il massimo numero di parti in cui $n$ circonferenze possono dividere un piano.
@elgiovo, io ho trovato pero'
$x_i = x_{i-1}^2 - x_{i-1}+1$
$x_1 = 2$
e la successione sarebbe $2, 3, 7, 43, ...$
Quello che mi interessava proporre era solo trovare la relazione ricorsiva,
che in effetti e' la quadratica che ho riportato sopra.
Cercando in rete "quadratic recurrence equation" ho trovato che in effetti
una soluzione in forma "chiusa" (ma non troppo
) esiste ed e' data da:
$x_n = [d^(2^n) + 1/2]$
dove
$d = 1/2 sqrt(6) \e^{\sum_{j=1}^{\infty} 2^{-j -1} ln(1+(2x_j-1)^{-2})} = 1.26...$
$x_i = x_{i-1}^2 - x_{i-1}+1$
$x_1 = 2$
e la successione sarebbe $2, 3, 7, 43, ...$
Quello che mi interessava proporre era solo trovare la relazione ricorsiva,
che in effetti e' la quadratica che ho riportato sopra.
Cercando in rete "quadratic recurrence equation" ho trovato che in effetti
una soluzione in forma "chiusa" (ma non troppo
) esiste ed e' data da:$x_n = [d^(2^n) + 1/2]$
dove
$d = 1/2 sqrt(6) \e^{\sum_{j=1}^{\infty} 2^{-j -1} ln(1+(2x_j-1)^{-2})} = 1.26...$
Avendo definito $y_n=prod_(k=1)^nx_k=x_(n+1)-1$,
si può scrivere $x_(n+1)-1=(x_n-1)^2+(x_n-1)$, da cui,
appunto, la relazione ricorsiva $x_(n+1)=x_(n-1)^2-x_n+1$.
si può scrivere $x_(n+1)-1=(x_n-1)^2+(x_n-1)$, da cui,
appunto, la relazione ricorsiva $x_(n+1)=x_(n-1)^2-x_n+1$.
@ok
@fields
Proviamo,
Sia $x_{n-1}$ il numero di parti con $n-1$ cerchi.
Se viene aggiunto l'$n$-esimo cerchio, questo, al massimo,
tocchera' 2 volte, e in punti distinti, ognuno dei precedenti $n-1$ cerchi.
Ad ogni punto di intersezione nuovo corrisponde una nuova figura (parte di piano)
ed abbiamo in totale $2(n-1)$ parti nuove. Da cui
$x_n = x_{n-1} +2(n-1)$
$x_1 = 2$
dunque $x_n = 2+n(n-1)$
@fields
Proviamo,
Sia $x_{n-1}$ il numero di parti con $n-1$ cerchi.
Se viene aggiunto l'$n$-esimo cerchio, questo, al massimo,
tocchera' 2 volte, e in punti distinti, ognuno dei precedenti $n-1$ cerchi.
Ad ogni punto di intersezione nuovo corrisponde una nuova figura (parte di piano)
ed abbiamo in totale $2(n-1)$ parti nuove. Da cui
$x_n = x_{n-1} +2(n-1)$
$x_1 = 2$
dunque $x_n = 2+n(n-1)$
La tua formula funziona per n fino a 3, ma
per n=4, se ho fatto bene il disegno, ci
dovrebbero essere 15 parti.
per n=4, se ho fatto bene il disegno, ci
dovrebbero essere 15 parti.
No, la formula è giusta.
Sì, la risposta di vl4d è corretta.
Vero! Avevo sbagliato il disegno.
bene. Io vado a nanna e non ho problemi in mente,
dunque passo la palla a voi.
dunque passo la palla a voi.
Vado io: una base spaziale è costituita da una
piramide retta a base quadrata; i lati della base
sono lunghi $l$, l'altezza $l/2$. Nei cinque vertici
della piramide sono incastonate cinque sfere di raggio
$r$, con $r<=l/2$. Determinare il volume della struttura.
piramide retta a base quadrata; i lati della base
sono lunghi $l$, l'altezza $l/2$. Nei cinque vertici
della piramide sono incastonate cinque sfere di raggio
$r$, con $r<=l/2$. Determinare il volume della struttura.
La piramide è quella che si ottiene congiungendo i vertici di una faccia di un cubo di spigolo l con il suo centro. Il volume della parte esterna della sfera posta sul vertice della piramide ha un volume corrispondente ai suoi 5/6.
Stesso ragionamento per le quattro sfere poste nei vertici della base della piramide. Il volume della parte interna di ogni piramide è 1/3 di un ottante cioè 1/24 di quello della sfera in quanto ogni vertice ha tre facce in comune.
Il volume del solido è dunque:
$V=V_p+5/6V_s+4(1-1/24)V_s=V_p+23/6V_s=l^3/6+14/3((4*pi)/3)r^3=l^3/6+56/9pir^3$
P.s. Ho considerato i centri delle sfere coincidenti con i vertici della piramide ed ho utilizzato la limitazione $r<=sqrt3/4l$ evitando di considerare eventuali sovrapposizioni delle sfere. Altrimenti il problema si complicherebbe parecchio!
Stesso ragionamento per le quattro sfere poste nei vertici della base della piramide. Il volume della parte interna di ogni piramide è 1/3 di un ottante cioè 1/24 di quello della sfera in quanto ogni vertice ha tre facce in comune.
Il volume del solido è dunque:
$V=V_p+5/6V_s+4(1-1/24)V_s=V_p+23/6V_s=l^3/6+14/3((4*pi)/3)r^3=l^3/6+56/9pir^3$
P.s. Ho considerato i centri delle sfere coincidenti con i vertici della piramide ed ho utilizzato la limitazione $r<=sqrt3/4l$ evitando di considerare eventuali sovrapposizioni delle sfere. Altrimenti il problema si complicherebbe parecchio!
Giusto! Inoltre ti ringrazio della correzione:
la limitazione non era $r<=l/2$ ma $r<=sqrt3/4l$,
proprio per evitare sovrapposizioni delle sfere.
Ed ora a te.
la limitazione non era $r<=l/2$ ma $r<=sqrt3/4l$,
proprio per evitare sovrapposizioni delle sfere.
Ed ora a te.
Un poliedro regolare ha n facce triangolari di lato 1 (n = 4, 8, 20). Determina il volume del poliedro in funzione di n.
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