Maratona di problemi
Proviamo a fare questa cosa: comincio col proporre io un problema (abbastanza facile), poi chi lo risolve propone a sua volta un problema etc etc. Se il risolutore di un problema non ha niente da proporre, puo' dare il permesso ad altri di proporne uno.
Sarebbe bello se si riuscisse a spaziare in piu' campi, e non tenersi solo in uno. Poi, non sarebbe l'ideale proporre problemi esageratamente difficili, cosi' non si ferma tutto.
Problema 1
Siano $a,b,c$ tre interi distinti, e sia $P$ un polinomio a coefficienti interi. Dimostrare che e' impossibile avere che $P(a)=b,P(b)=c,P(c)=a$.
Sarebbe bello se si riuscisse a spaziare in piu' campi, e non tenersi solo in uno. Poi, non sarebbe l'ideale proporre problemi esageratamente difficili, cosi' non si ferma tutto.
Problema 1
Siano $a,b,c$ tre interi distinti, e sia $P$ un polinomio a coefficienti interi. Dimostrare che e' impossibile avere che $P(a)=b,P(b)=c,P(c)=a$.
Risposte
Figurati. Ecco il prossimo.
Problema
Siano $cc Gamma_1$ e $cc Gamma_2$ due cerchi i cui centri
si trovino a distanza $10$ l'uno dall'altro,
e i cui raggi siano $1$ e $3$.
Si trovi il luogo di tutti i punti $X$ per i
quali esistono punti $H$ su $cc Gamma_1$ e $K$ su $cc Gamma_2$
tali per cui $X$ sia il punto medio del
segmento $HK$.
Problema
Siano $cc Gamma_1$ e $cc Gamma_2$ due cerchi i cui centri
si trovino a distanza $10$ l'uno dall'altro,
e i cui raggi siano $1$ e $3$.
Si trovi il luogo di tutti i punti $X$ per i
quali esistono punti $H$ su $cc Gamma_1$ e $K$ su $cc Gamma_2$
tali per cui $X$ sia il punto medio del
segmento $HK$.
Il luogo cercato dovrebbe essere l'area della corona circolare compresa tra le circonferenze di raggi 1 e 2 e i cui centri si trovano nel punto medio del segmento che unisce i centri delle due circonferenze date.
Il luogo è quello descritto da MaMo (basta un
software di geometria per vederlo).
Puoi provarlo?
software di geometria per vederlo).
Puoi provarlo?
Quella che vado a scrivere non è proprio una dimostrazione,
diciamo che è un ragionamento intuitivo.
Se consideriamo le circonferenze concentriche di raggi 1 e 3, dovrebbe essere facile verificare (lo lascio ad altri!) che il luogo richiesto è dato dall'area della corona circolare di raggi 1 e 2, il cui centro coincide con quello delle due circonferenze iniziali.
La traslazione che manda la circonferenza di raggio 1 nella posizione descritta dal problema (distanza tra i centri 10), manderà (forse perchè la traslazione non altera la forma e le dimensioni delle figure? non so' se possa andare...) anche il luogo nella posizione descritta da MaMo.
diciamo che è un ragionamento intuitivo.
Se consideriamo le circonferenze concentriche di raggi 1 e 3, dovrebbe essere facile verificare (lo lascio ad altri!) che il luogo richiesto è dato dall'area della corona circolare di raggi 1 e 2, il cui centro coincide con quello delle due circonferenze iniziali.
La traslazione che manda la circonferenza di raggio 1 nella posizione descritta dal problema (distanza tra i centri 10), manderà (forse perchè la traslazione non altera la forma e le dimensioni delle figure? non so' se possa andare...) anche il luogo nella posizione descritta da MaMo.
L'idea di Piera è giusta. Resta, come dire, da
"matematizzarla", perchè nel suo stato attuale
è un pò barcollante.
"matematizzarla", perchè nel suo stato attuale
è un pò barcollante.
Più che barcollante semmai direi di scarso aiuto ( ma forse sono io a non averne afferrato il senso! 
)
Comunque sia consideriamo le circonferenze dove sono e sia
H=(-5+sinw ; cosw ) e K=( 5+3sin(w+a) ; 3cos(w+a) )
il punto medio ha coordinate M=1/2*( sinw+3sin(w+a) ; cosw+3cos(w+a) )
Ora la funzione M(w,a) che ad H(w) associa il punto medio di H(w)K(w,a), M(w,a) appunto
descrive per ogni a fissato al variare di w fra 0 e 2p-greco la circonferenza
di centro (0,0) e raggio uguale alla radice di (10+6cosa)/2
come si vede facendo i calcoli ( (M-O)^2 =1/4((sinw+3sin(w+a))^2+(cosw +3cos(w+a))^2)
applicando un po' di regole trigonometriche fondamentali.
Ma al variare di a il raggio delle nostre circonferenze varierà allora con continuità tra
root(10+6)/4=2 e root(10-6)/4=1
descrivendo la corona circolare .
) Comunque sia consideriamo le circonferenze dove sono e sia
H=(-5+sinw ; cosw ) e K=( 5+3sin(w+a) ; 3cos(w+a) )
il punto medio ha coordinate M=1/2*( sinw+3sin(w+a) ; cosw+3cos(w+a) )
Ora la funzione M(w,a) che ad H(w) associa il punto medio di H(w)K(w,a), M(w,a) appunto
descrive per ogni a fissato al variare di w fra 0 e 2p-greco la circonferenza
di centro (0,0) e raggio uguale alla radice di (10+6cosa)/2
come si vede facendo i calcoli ( (M-O)^2 =1/4((sinw+3sin(w+a))^2+(cosw +3cos(w+a))^2)
applicando un po' di regole trigonometriche fondamentali.
Ma al variare di a il raggio delle nostre circonferenze varierà allora con continuità tra
root(10+6)/4=2 e root(10-6)/4=1
descrivendo la corona circolare .
Ok. Un approccio vettoriale era la strada migliore.
Vorrei comunque scrivere la mia soluzione per esteso,
visto che come "vettori" usa i numeri complessi
(semplificando un pò i conti) e fa capire meglio l'idea
di Piera.
Siano le due circonferenze, di raggi $u$ e $v$,
rappresentate nel piano complesso, come in figura.
Allora $H=a+ue^(it)$ e $K=b+ve^(is)$, con $0.
Si ha che $X=(H+K)/2=(a+b)/2+(ue^(it)+ve^(is))/2$. (1)
Si deve interpretare $ue^(it)+ve^(is)$. Fissato $s$,
$P=ve^(is)$ è un punto sul cerchio di raggio $v$ centrato
nell'origine. Se si aggiunge $ue^(it)$ a $P$ e si fa variare
$t$ tra $0$ e $2pi$, si ottiene un cerchio di raggio $u$
centrato in $P$. Facendo variare anche $s$, si viene a
creare, appunto, una corona circolare, di equazione $v-u<|z|
centrata nell'origine. Dalla (1), si capisce che il luogo
cercato è l'anello centrato nel punto medio $M$ del segmento
congiungente i centri di $ccGamma_1$ e $ccGamma_2$,
costituito dall'insieme dei punti la cui distanza da $M$ varia
tra $(v-u)/2$ e $(v+u)/2$.
Vorrei comunque scrivere la mia soluzione per esteso,
visto che come "vettori" usa i numeri complessi
(semplificando un pò i conti) e fa capire meglio l'idea
di Piera.
Siano le due circonferenze, di raggi $u$ e $v$,
rappresentate nel piano complesso, come in figura.
Allora $H=a+ue^(it)$ e $K=b+ve^(is)$, con $0
Si ha che $X=(H+K)/2=(a+b)/2+(ue^(it)+ve^(is))/2$. (1)
Si deve interpretare $ue^(it)+ve^(is)$. Fissato $s$,
$P=ve^(is)$ è un punto sul cerchio di raggio $v$ centrato
nell'origine. Se si aggiunge $ue^(it)$ a $P$ e si fa variare
$t$ tra $0$ e $2pi$, si ottiene un cerchio di raggio $u$
centrato in $P$. Facendo variare anche $s$, si viene a
creare, appunto, una corona circolare, di equazione $v-u<|z|
centrata nell'origine. Dalla (1), si capisce che il luogo
cercato è l'anello centrato nel punto medio $M$ del segmento
congiungente i centri di $ccGamma_1$ e $ccGamma_2$,
costituito dall'insieme dei punti la cui distanza da $M$ varia
tra $(v-u)/2$ e $(v+u)/2$.
Ottusangolo, posti tu il prossimo problema?
Scusate ragazzi !
Non avevo mica capito come funziona il gioco! (acuto, vero?)
Purtroppo in questo momento non sono fornito di libri decenti e ad inventarmi un problema che sia alla vostra altezza non ci penso nemmeno.
Se è lecito postare un problema senza saperne la soluzione (che potrebbe addirittura non esistere!) vi proporrei proprio quello che uno studente liceale mi ha posto poco fa, facendomi fare una misera figura
Essendo il discorso scivolato un po' oltre i programmi ministeriali ho incautamente affermato che generalizzando si può affermare che
FRA TUTTE LE CURVE CHIUSE DI LUNGHEZZA ASSEGNATA IL CERCHIO è QUELLA CHE DELIMITA UNA SUP. DI AREA MASSIMA.
Ovviamente mi ha chiesto di DIMOSTRARLO CON METODI ELEMENTARI, sempre ammesso sia elementarmente dimostrabile.
Non avevo mica capito come funziona il gioco!
(acuto, vero?)Purtroppo in questo momento non sono fornito di libri decenti e ad inventarmi un problema che sia alla vostra altezza non ci penso nemmeno.
Se è lecito postare un problema senza saperne la soluzione (che potrebbe addirittura non esistere!) vi proporrei proprio quello che uno studente liceale mi ha posto poco fa, facendomi fare una misera figura
Essendo il discorso scivolato un po' oltre i programmi ministeriali ho incautamente affermato che generalizzando si può affermare che
FRA TUTTE LE CURVE CHIUSE DI LUNGHEZZA ASSEGNATA IL CERCHIO è QUELLA CHE DELIMITA UNA SUP. DI AREA MASSIMA.
Ovviamente mi ha chiesto di DIMOSTRARLO CON METODI ELEMENTARI, sempre ammesso sia elementarmente dimostrabile.
Il quesito proposto da ottusangolo è noto
come "Problema di Didone", e fu risolto da
tale Zenodoro (II secolo a.C.).
Qui trovate una dimostrazione.
http://utenti.quipo.it/base5/analisi/didone.htm
come "Problema di Didone", e fu risolto da
tale Zenodoro (II secolo a.C.).
Qui trovate una dimostrazione.
http://utenti.quipo.it/base5/analisi/didone.htm
GRAZIE AD ENTRAMBI ! 
L'ignoranza del sottoscritto non ha limiti](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Ed ora a chi tocca? A Piera, a Elgiovo o a Zenodoro?
L'ignoranza del sottoscritto non ha limiti
Ed ora a chi tocca? A Piera, a Elgiovo o a Zenodoro?
Vista l'irreperibilità di Zenodoro, lo propongo io.
Un venditore ha in esposizione cinque barattoli di spezie, contenenti chiodi di garofano o coriandolo, ognuno riportante un diverso peso in grammi:
7 grammi,
10 grammi,
13 grammi,
14 grammi,
17 grammi.
Il prezzo al grammo dei chiodi di garofano è il doppio di quello del coriandolo. Un cliente acquista tutte le confezioni, tranne una di chiodi di garofano, spendendo 2 euro per ogni tipo di spezie, quindi spende in tutto 4 euro.
Quali barattoli contenevano coriandolo?
Un venditore ha in esposizione cinque barattoli di spezie, contenenti chiodi di garofano o coriandolo, ognuno riportante un diverso peso in grammi:
7 grammi,
10 grammi,
13 grammi,
14 grammi,
17 grammi.
Il prezzo al grammo dei chiodi di garofano è il doppio di quello del coriandolo. Un cliente acquista tutte le confezioni, tranne una di chiodi di garofano, spendendo 2 euro per ogni tipo di spezie, quindi spende in tutto 4 euro.
Quali barattoli contenevano coriandolo?
Contenevano coriandolo i barattoli da 7, 13 e 14 grammi.
Bene, scrivi il ragionamento e il problema successivo.
"Piera":
Bene, scrivi il ragionamento e il problema successivo.
Se abbiamo acquistato x grammi di chiodi di garofano abbiamo acquistato anche 2x grammi di coriandolo.
Abbiamo perciò acquistato in tutto 3x grammi cioè un numero di grammi multiplo di 3.
I cinque barattoli contengono in tutto 61 grammi. Quattro barattoli possonoi contenere:
61 - 7 = 54 grammi
61 - 10 = 51 grammi
61 - 13 = 48 grammi
61 - 14 = 47 grammi
61 - 17 = 44 grammi
Solo nei primi tre casi si hanno multipli di 3 per cui i grammi di chiodi di garofano possono essere:
3x = 54 -> x = 18
3x = 51 -> x = 17
3x = 48 -> x = 16
L'unica possibilità è perciò x = 17 e da questo segue che i barattoli contenenti coriandolo sono quelli da 7, 13 e 14 grammi.
Problema: Un poligono regolare ha 20 lati di lunghezza 1. Trovare la somma delle lunghezze di tutte le diagonali del poligono.
Ho ottenuto questo risultato:
$10/(mbox(sen) pi/20) +sum_(k=2)^9 (20mbox(sen) k/20 pi)/(mbox(sen) pi/20)$.
Entro domani lo scrivo in forma estesa,
con ragionamento.
$10/(mbox(sen) pi/20) +sum_(k=2)^9 (20mbox(sen) k/20 pi)/(mbox(sen) pi/20)$.
Entro domani lo scrivo in forma estesa,
con ragionamento.
"elgiovo":
Ho ottenuto questo risultato:
$10/(mbox(sen) pi/20) +sum_(k=2)^10 (20mbox(sen) k/20 pi)/(mbox(sen) pi/20)$.
Entro domani lo scrivo in forma estesa,
con ragionamento.
Io ho ottenuto un risultato generale in forma chiusa per un poligono di n lati.
Ho provato anch'io ed ho ottenuto la formula seguente:
Somma_diagonali=$(nL)/2*[cot((pi)/(2n))*cot((pi)/(n))-1]$
dove n e' il numero dei lati del poligono regolare in questione , L e' la lunghezza comune
di detti lati e cot sta per cotangente.
Spero che la formula sia giusta:ha un suo fascino !!!
karl
Somma_diagonali=$(nL)/2*[cot((pi)/(2n))*cot((pi)/(n))-1]$
dove n e' il numero dei lati del poligono regolare in questione , L e' la lunghezza comune
di detti lati e cot sta per cotangente.
Spero che la formula sia giusta:ha un suo fascino !!!
karl
"karl":
Ho provato anch'io ed ho ottenuto la formula seguente:
Somma_diagonali=$(nL)/2*[cot((pi)/(2n))*cot((pi)/(n))-1]$
dove n e' il numero dei lati del poligono regolare in questione , L e' la lunghezza comune
di detti lati e cot sta per cotangente.
Spero che la formula sia giusta:ha un suo fascino !!!
karl
La "mia" formula è leggermente diversa anche se non sono sicuro al 100% che sia esatta.
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