Maratona di problemi
Proviamo a fare questa cosa: comincio col proporre io un problema (abbastanza facile), poi chi lo risolve propone a sua volta un problema etc etc. Se il risolutore di un problema non ha niente da proporre, puo' dare il permesso ad altri di proporne uno.
Sarebbe bello se si riuscisse a spaziare in piu' campi, e non tenersi solo in uno. Poi, non sarebbe l'ideale proporre problemi esageratamente difficili, cosi' non si ferma tutto.
Problema 1
Siano $a,b,c$ tre interi distinti, e sia $P$ un polinomio a coefficienti interi. Dimostrare che e' impossibile avere che $P(a)=b,P(b)=c,P(c)=a$.
Sarebbe bello se si riuscisse a spaziare in piu' campi, e non tenersi solo in uno. Poi, non sarebbe l'ideale proporre problemi esageratamente difficili, cosi' non si ferma tutto.
Problema 1
Siano $a,b,c$ tre interi distinti, e sia $P$ un polinomio a coefficienti interi. Dimostrare che e' impossibile avere che $P(a)=b,P(b)=c,P(c)=a$.
Risposte
Di teoria dei numeri non so nulla, comunque in questo caso penso di aver fatto bene.
Altro problema.
Si sottoponga il tetraedro regolare $T=ABCV$ alla traslazione di vettore $vec(AB)$ che lo porta nella posizione $BB'C'V'$. Congiunti $C$ con $C'$ e $V$ con $V'$, si consideri il poliedro $P=AC C'B'V'V$ e se ne trovino gli spigoli conoscendone il volume $18a^3sqrt2$.
Altro problema.
Si sottoponga il tetraedro regolare $T=ABCV$ alla traslazione di vettore $vec(AB)$ che lo porta nella posizione $BB'C'V'$. Congiunti $C$ con $C'$ e $V$ con $V'$, si consideri il poliedro $P=AC C'B'V'V$ e se ne trovino gli spigoli conoscendone il volume $18a^3sqrt2$.
"Piera":
Forse sbaglio, ma questo problema mi sembra difficile.
Dipende dai punti di vista: secondo me no, infatti
l'ho postato.
Comunque, per curiosità, lasoluzione che conosco è basata sul
fatto che $G_n$ è la parte immaginaria di
$H_n=x^n e^(i nA)+y^n e^(i nB)+z^n e^(i nC)$.
Spero di aver interpretato bene:
facendo una figura, detta $l$ la lunghezza dei lati dei
tetraedri, si nota che il poliedro è costituito da questi e da
una piramide a base quadrata di vertici $VV'C'CB$ avente
tutti gli spigoli di lunghezza $l$. L'altezza di questa piramide è
$h=sqrt((l/2 sqrt3)^2-(l/2)^2)$, da qui il volume del
poliedro, che risulta $V=2(sqrt2/12 l^3)+l^2h/3= sqrt2/3 l^3$
( $V_(mbox(tetraedro regolare))=sqrt2/12 l^3$ ).
Uguagliando $V$ con la quantità $18a^3sqrt2$, si ha che $l=3 root(3)2a$.
Lo spigolo $AB'$ del poliedro è lungo $2l=6 root(3)2 a$, tutti
gli altri sono lunghi $l$.
facendo una figura, detta $l$ la lunghezza dei lati dei
tetraedri, si nota che il poliedro è costituito da questi e da
una piramide a base quadrata di vertici $VV'C'CB$ avente
tutti gli spigoli di lunghezza $l$. L'altezza di questa piramide è
$h=sqrt((l/2 sqrt3)^2-(l/2)^2)$, da qui il volume del
poliedro, che risulta $V=2(sqrt2/12 l^3)+l^2h/3= sqrt2/3 l^3$
( $V_(mbox(tetraedro regolare))=sqrt2/12 l^3$ ).
Uguagliando $V$ con la quantità $18a^3sqrt2$, si ha che $l=3 root(3)2a$.
Lo spigolo $AB'$ del poliedro è lungo $2l=6 root(3)2 a$, tutti
gli altri sono lunghi $l$.
Ok
Problema
Sommare la serie infinita $1-1/4+1/7-1/10+ldots$
Sommare la serie infinita $1-1/4+1/7-1/10+ldots$
$sum_(n=0)^(+infty)(-1)^n*x^(3n)=1/(1+x^3)$
Integrando termine a termine si ha
$sum_(n=0)^(+infty)(-1)^n*x^(3n+1)/(3n+1)=int_0^x(dt)/(1+t^3)=arctan((2x-1)/sqrt3)/sqrt3+1/3log(x+1)-1/6log(x^2-x+1)+pi/(6sqrt3)$.
In virtù del teorema di Abel per $x=1$ si ha
$sum_(n=0)^(+infty)(-1)^n/(3n+1)=pi/(3sqrt3)+1/3log2$.
Integrando termine a termine si ha
$sum_(n=0)^(+infty)(-1)^n*x^(3n+1)/(3n+1)=int_0^x(dt)/(1+t^3)=arctan((2x-1)/sqrt3)/sqrt3+1/3log(x+1)-1/6log(x^2-x+1)+pi/(6sqrt3)$.
In virtù del teorema di Abel per $x=1$ si ha
$sum_(n=0)^(+infty)(-1)^n/(3n+1)=pi/(3sqrt3)+1/3log2$.
Soluzione corretta.
Siano M ed N i punti medi dei lati obliqui AD e BC di un trapezio ABCD nel quale le basi misurano $a$ e $b$ ($a>b$).
Dimostrare che $Area(ABNM)>2Area(MNCD)$ per $a>5b$.
Dimostrare che $Area(ABNM)>2Area(MNCD)$ per $a>5b$.
"Piera":
(i) Siano M ed N i punti medi dei lati obliqui AD e BC di un trapezio ABCD nel quale le basi misurano $a$ e $b$ ($a>b$).
Dimostrare che $Area(ABNM)>2Area(MNCD)$ per $a>5b$.
Mi rifaccio alla figura
Chiamiamo $c$ il segmento che congiunge i due punti medi.
Si tratta di calcolare le aree che riguardano la tesi, perciò
$Area(ABNM)>2Area(MNCD)$ diventa
$(a+c)*h/2*1/2>2(c+b)*h/2*1/2$
che restituisce dopo banali semplificazioni
$a>c+2b$ (1)
Giustifico la congruenza dei segmenti chiamati p con il fatto che il punto in questione sul lato obliquo è il punto medio del lato stesso. Stessa cosa per i segmenti chiamati q.
Osservando la figura, susstistono le seguenti uguaglianze
$a=b+2p+2q$
$c=b+p+q$
moltiplicando la seconda equazione per due, e sottraenedo membro a membro, ottendo
$a-2c=-b$
ovvero
$c=(a+b)/2$
sostituendo nella (1) e facendo due conti ottengo
$a>5b$ c.v.d
ps: Piera, forse è meglio proporre un problema per volta, per evitare che rimangano problemi in sospeso. Con un problema secco è tutto più fluido.
Hai ragione! Ho cancellato il secondo quesito.
Boccia a te +Steven+!
Boccia a te +Steven+!
Non mi sembra carino cancellare un problema, qualcuno magari ci stava lavorando.
Ad ogni modo il quesito era facile, e questa è la soluzione.
Problema. Fra i numeri con sei cifre significative e aventi esattamente tre cifre pari e tre cifre dispari, determinare quanti sono quelli che hanno le cifre strettamente crescenti.
Supponendo che con "strettamente crescenti" si intenda "crescenti da sinistra verso destra", è chiaro che i numeri voluti devono avere tutte le sei cifre diverse da $0$. Inoltre, evidentemente, ogni scelta di tre cifre pari fra loro distinte e diverse da $0$ e di tre cifre dispari fra loro distinte produce uno e un solo numero con le cifre strettamente crescenti, essendo uno solo l'ordinamento crescente delle cifre scelte. Dunque la quantita' dei numeri desiderati è: $((4),(3))((5),(3))=40$.
Ad ogni modo il quesito era facile, e questa è la soluzione.
Problema. Fra i numeri con sei cifre significative e aventi esattamente tre cifre pari e tre cifre dispari, determinare quanti sono quelli che hanno le cifre strettamente crescenti.
Supponendo che con "strettamente crescenti" si intenda "crescenti da sinistra verso destra", è chiaro che i numeri voluti devono avere tutte le sei cifre diverse da $0$. Inoltre, evidentemente, ogni scelta di tre cifre pari fra loro distinte e diverse da $0$ e di tre cifre dispari fra loro distinte produce uno e un solo numero con le cifre strettamente crescenti, essendo uno solo l'ordinamento crescente delle cifre scelte. Dunque la quantita' dei numeri desiderati è: $((4),(3))((5),(3))=40$.
Mi dispiace, ma non ho problemi interessanti da proporre.
Mi sembra giusto che sia fields a farlo al posto mio, dato che ha risolto anche il secondo problema.
Ciao
Mi sembra giusto che sia fields a farlo al posto mio, dato che ha risolto anche il secondo problema.
Ciao
Ok, visto che +Steven+ mi passa la palla, ecco il problema.
Si narra che un tempo, in certe zone rurali della Russia, le ragazze decidessero nel seguente modo la fortuna.
Una ragazza
teneva in mano sei lunghi fili d'erba, in modo che sia le loro estremità superiori sia quelle inferiori fossero visibili. Una seconda ragazza annodava le estremità dei fili d'erba a coppie, estremità inferiori con estremità inferiori e estremità superiori con estremità superiori. Se veniva a formarsi un unico anello, la prima ragazza si sarebbe sposata entro l'anno successivo.
Qual era la probabilità che si formasse un anello se la seconda ragazza annodava i fili nel modo sopra descritto e scegliendo a caso le coppie da annodare?
Si narra che un tempo, in certe zone rurali della Russia, le ragazze decidessero nel seguente modo la fortuna.
Una ragazza
teneva in mano sei lunghi fili d'erba, in modo che sia le loro estremità superiori sia quelle inferiori fossero visibili. Una seconda ragazza annodava le estremità dei fili d'erba a coppie, estremità inferiori con estremità inferiori e estremità superiori con estremità superiori. Se veniva a formarsi un unico anello, la prima ragazza si sarebbe sposata entro l'anno successivo. Qual era la probabilità che si formasse un anello se la seconda ragazza annodava i fili nel modo sopra descritto e scegliendo a caso le coppie da annodare?
Considero che un anello si possia formare anche "incrociando" i fili, ovvero assumo che i fili si possano
sovrapporre. Spero sia chiaro cosa intendo dire...
Il numero di modi per legare i fili superiori equivale al numero di modi per legare i fili inferiori,
ed e': $((6),(2))((4),(2))$
Dunque Il numero totale di modi per legare i fili $N_"tot"$ sara' dato da:
$N_"tot" = N_"inf" N_"sup" = N_"inf"^2 = (((6),(2))((4),(2)))^2 = ((6!)/((2!)^3))^2$
Consideriamo ora un qualsiasi modo di legare i fili inferiori.
Allora sara' sempre possibile costruire un solo anello, eventualmente con fili sovrapposti,
purche' ad ogni coppia che si sceglie di legare non si vada a chiudere un anello di lunghezza $2$ oppure $4$.
Consideriamo ora il primo filo superiore, $f_1$.
Questo non potra' allora essere legato, ovviamente con se stesso, ma neanche con
il filo con cui e' legato nei piani inferiori, pena un anello di lunghezza 2. Dunque per la prima coppia vi saranno
$6-2=4$ modi. Adesso un po' di notazione:
Denotiamo con $f_1 \uparrow$ il filo con cui e' legato $f_1$ superiormente,
con $f_1 \downarrow$ il filo con cui e' legato $f_1$ inferiormente,
con $f_1 \uparrow \downarrow$ il filo con cui e' legato $f_1 \uparrow$ inferiormente.
Per come sono stati presi, sono tutti diversi.
Abbiamo denotato $4$ fili, ne mancano $2$, allora consideriamone uno di questi due e denotiamolo con $f_2$.
$f_2$ non potra' essere legato con se stesso, con il filo con cui e' legato inferiormente (avremmo allora un anello di lunghezza 2), con $f_1\downarrow \uparrow$ (perche' avremmo un annello di lunghezza 4).
Dunque restano $4-2=2$ modi per legare $f_2$. Per l'ultima coppia vi e' solo un modo.
Dato che non abbiamo formato anelli da $2$ o da $4$, abbiamo un anello da $6$.
Allora, la probabilita' $p$ sara' data da:
$p = ((N_"sup")4\cdot 2) / (N_"inf" N_"sup") = 8 / (((6!)/((2!)^3))) = 0.0889$
sovrapporre. Spero sia chiaro cosa intendo dire...
Il numero di modi per legare i fili superiori equivale al numero di modi per legare i fili inferiori,
ed e': $((6),(2))((4),(2))$
Dunque Il numero totale di modi per legare i fili $N_"tot"$ sara' dato da:
$N_"tot" = N_"inf" N_"sup" = N_"inf"^2 = (((6),(2))((4),(2)))^2 = ((6!)/((2!)^3))^2$
Consideriamo ora un qualsiasi modo di legare i fili inferiori.
Allora sara' sempre possibile costruire un solo anello, eventualmente con fili sovrapposti,
purche' ad ogni coppia che si sceglie di legare non si vada a chiudere un anello di lunghezza $2$ oppure $4$.
Consideriamo ora il primo filo superiore, $f_1$.
Questo non potra' allora essere legato, ovviamente con se stesso, ma neanche con
il filo con cui e' legato nei piani inferiori, pena un anello di lunghezza 2. Dunque per la prima coppia vi saranno
$6-2=4$ modi. Adesso un po' di notazione:
Denotiamo con $f_1 \uparrow$ il filo con cui e' legato $f_1$ superiormente,
con $f_1 \downarrow$ il filo con cui e' legato $f_1$ inferiormente,
con $f_1 \uparrow \downarrow$ il filo con cui e' legato $f_1 \uparrow$ inferiormente.
Per come sono stati presi, sono tutti diversi.
Abbiamo denotato $4$ fili, ne mancano $2$, allora consideriamone uno di questi due e denotiamolo con $f_2$.
$f_2$ non potra' essere legato con se stesso, con il filo con cui e' legato inferiormente (avremmo allora un anello di lunghezza 2), con $f_1\downarrow \uparrow$ (perche' avremmo un annello di lunghezza 4).
Dunque restano $4-2=2$ modi per legare $f_2$. Per l'ultima coppia vi e' solo un modo.
Dato che non abbiamo formato anelli da $2$ o da $4$, abbiamo un anello da $6$.
Allora, la probabilita' $p$ sara' data da:
$p = ((N_"sup")4\cdot 2) / (N_"inf" N_"sup") = 8 / (((6!)/((2!)^3))) = 0.0889$
Io ho ottenuto una probabilità di 8/15.
Consideriamo le estremità inferiori già unite a due a due (questo non modifica la situazione essendo i fili indistinguibili tra loro).
Scegliendo una estremità superiore ho 4 possibilità su 5 di legare il filo ad una estremità non legata inferiormente al filo precedente. Scegliendo il terzo filo (qualunque esso sia dei quattro rimasti) avrò 2 possibilità su tre di non formare un anello per cui la probabilità di formare un unico anello che contenga tutti i sei fili è: $p=4/5*2/3=8/15$.
Consideriamo le estremità inferiori già unite a due a due (questo non modifica la situazione essendo i fili indistinguibili tra loro).
Scegliendo una estremità superiore ho 4 possibilità su 5 di legare il filo ad una estremità non legata inferiormente al filo precedente. Scegliendo il terzo filo (qualunque esso sia dei quattro rimasti) avrò 2 possibilità su tre di non formare un anello per cui la probabilità di formare un unico anello che contenga tutti i sei fili è: $p=4/5*2/3=8/15$.
La risposta esatta è quella di MaMo.
@vl4d: Probabilmente non hai interpretato correttamente il testo. Ad esempio, il numero di modi di legare le estremità dei fili superiori a coppie è uguale al numero di coppie possibili, e quindi è $((6),(2))$.
EDIT: In realta' il calcolo giusto e' $5\cdot 3\cdot 1=15$ che per puro caso e' uguale al numero di coppie possibili.
@vl4d: Probabilmente non hai interpretato correttamente il testo. Ad esempio, il numero di modi di legare le estremità dei fili superiori a coppie è uguale al numero di coppie possibili, e quindi è $((6),(2))$.
EDIT: In realta' il calcolo giusto e' $5\cdot 3\cdot 1=15$ che per puro caso e' uguale al numero di coppie possibili.
chiarmente hai ragione, tra l'altro con $((6),(2))$ il ragionamento funziona e il valore e' lo stesso di MaMo...
perche' ho contato anche $((4),(2))$ ?
Mah...
EDIT: ho capito, io consideravo le coppie in modo ordinato, e chiaramente mi sono perso un fattore $1/(3!)$
perche' ho contato anche $((4),(2))$ ?
Mah...
EDIT: ho capito, io consideravo le coppie in modo ordinato, e chiaramente mi sono perso un fattore $1/(3!)$
Calcolare la somma della serie:
$1/2+1/3+1/4+1/6+1/8+1/9+1/12+...
i cui termini sono i reciproci dei numeri che hanno come fattori primi solo il 2 e il 3.
$1/2+1/3+1/4+1/6+1/8+1/9+1/12+...
i cui termini sono i reciproci dei numeri che hanno come fattori primi solo il 2 e il 3.
"MaMo":
Calcolare la somma della serie:
$1/2+1/3+1/4+1/6+1/8+1/9+1/12+...
i cui termini sono i reciproci dei numeri che hanno come fattori primi solo il 2 e il 3.
Un generico elemento si potrà scrivere come $n = 1 / (2^i 3^j)$, con i e j univocamente individuati da n.
Quindi si tratta di calcolare $sum_(i=1)^oo sum_(j=1)^oo 1 / (2^i 3^j) = sum_(i=1)^oo 1 / 2^i sum_(j=1)^oo 1 / 3^j = 1 \cdot 1/2 = 1/2$.
EDIT: Vedere la correzione di luca.barletta alcuni posts sotto.
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