Maratona di problemi
Proviamo a fare questa cosa: comincio col proporre io un problema (abbastanza facile), poi chi lo risolve propone a sua volta un problema etc etc. Se il risolutore di un problema non ha niente da proporre, puo' dare il permesso ad altri di proporne uno.
Sarebbe bello se si riuscisse a spaziare in piu' campi, e non tenersi solo in uno. Poi, non sarebbe l'ideale proporre problemi esageratamente difficili, cosi' non si ferma tutto.
Problema 1
Siano $a,b,c$ tre interi distinti, e sia $P$ un polinomio a coefficienti interi. Dimostrare che e' impossibile avere che $P(a)=b,P(b)=c,P(c)=a$.
Sarebbe bello se si riuscisse a spaziare in piu' campi, e non tenersi solo in uno. Poi, non sarebbe l'ideale proporre problemi esageratamente difficili, cosi' non si ferma tutto.
Problema 1
Siano $a,b,c$ tre interi distinti, e sia $P$ un polinomio a coefficienti interi. Dimostrare che e' impossibile avere che $P(a)=b,P(b)=c,P(c)=a$.
Risposte
Scusate, non per criticare, ma mi sebra che sia in atto una deriva 'tecnicistica' della maratona, che rischia di attrarre meno interessati.
I problemi difficili ma 'elementari' sono esauriti?
ciao
I problemi difficili ma 'elementari' sono esauriti?
ciao
Ti riferisci agli ultimi due problemi? In ogni caso, mi sembra che i problemi postati abbiano tutti delle soluzioni più o meno elementari, dove non si usa 'alta' matematica. Poi, se ogni tanto ci scappa qualche problema un po' più difficile, ci può stare.
Il mio non è che un tentativo, perchè molto probabilmente mi sfuggono ancora molti polinomi. Comunque:
moltiplicando $f(x)$ per $f(-x)$, con $f$ polinomio, perchè sia soddisfatta la condizione $f(x)f(-x)=f(x^2)$,
il numero di termini di $f(x^2)$ deve essere uguale a quello di $f(x)$ e a quello di $f(-x)$. Viene allora in mente
il prodotto notevole $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Infatti, se $f(x)$ è della forma $a-b$ e $f(-x)$ è nella forma $a+b$,
$f(x)$ soddisfa la condizione del problema. Ho trovato tre casi possibili:
- $a=x^(2k)$ e $b=0$: in questo caso i polinomi sono del tipo $x^(2k)$, con $k in NN$;
- $a=0$ e $b=x^(2k+1)$: polinomi del tipo $-x^(2k+1)$, con $k in NN$;
- $a=x^(2m)$ e $b=x^(2n+1)$: polinomi nella forma $x^(2m)-x^(2n+1)$, con $m,n in NN$.
moltiplicando $f(x)$ per $f(-x)$, con $f$ polinomio, perchè sia soddisfatta la condizione $f(x)f(-x)=f(x^2)$,
il numero di termini di $f(x^2)$ deve essere uguale a quello di $f(x)$ e a quello di $f(-x)$. Viene allora in mente
il prodotto notevole $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Infatti, se $f(x)$ è della forma $a-b$ e $f(-x)$ è nella forma $a+b$,
$f(x)$ soddisfa la condizione del problema. Ho trovato tre casi possibili:
- $a=x^(2k)$ e $b=0$: in questo caso i polinomi sono del tipo $x^(2k)$, con $k in NN$;
- $a=0$ e $b=x^(2k+1)$: polinomi del tipo $-x^(2k+1)$, con $k in NN$;
- $a=x^(2m)$ e $b=x^(2n+1)$: polinomi nella forma $x^(2m)-x^(2n+1)$, con $m,n in NN$.
Hint:
Ok, cambiamo problema.
Risolvere uno dei seguenti due problemi:
i) Sia $S_k={1,...,k}$. Calcolare il numero di suriezioni da $S_m$ in $S_n$, con $m\ge n$.
ii) Sia $a_1,a_2,...$ la sequenza infinita definita così $1,2,2,3,3,3,...$, cioè $k$ occorre $k$ volte. Trovare una forma chiusa per $a_n$. Sono permesse anche le parti intere, inferiori o superiori.
Risolvere uno dei seguenti due problemi:
i) Sia $S_k={1,...,k}$. Calcolare il numero di suriezioni da $S_m$ in $S_n$, con $m\ge n$.
ii) Sia $a_1,a_2,...$ la sequenza infinita definita così $1,2,2,3,3,3,...$, cioè $k$ occorre $k$ volte. Trovare una forma chiusa per $a_n$. Sono permesse anche le parti intere, inferiori o superiori.
premetto che non sono molto sicuro di cosa si intenda per forma chiusa, comunque un primo passo per il problema ii) potrebbe essere questo:
$a_n = k_0$ dove $n_0 = k_0(k_0 +1)/2$ e $n_0$ è il primo intero maggiore o uguale di $n$ ad essere della forma $k_0(k_0 +1)/2$
potrebbe andare bene?
$a_n = k_0$ dove $n_0 = k_0(k_0 +1)/2$ e $n_0$ è il primo intero maggiore o uguale di $n$ ad essere della forma $k_0(k_0 +1)/2$
potrebbe andare bene?
ho fatto un piccolo passo avanti:
la formula
$a_n=-1/2 + (sqrt(1+8n))/2$
sembrerebbe approssimare sempre per difetto il valore corretto, per cui credo che sia sufficiente farne la parte intera superiore.
purtroppo sono un po' incapace in queste cose per cui non riesco bene a dimostrarla, anche se l'ho ricavata più o meno da quello che ho detto sopra. se qualcuno mi dà una mano possiamo provare a risolverlo!
la formula
$a_n=-1/2 + (sqrt(1+8n))/2$
sembrerebbe approssimare sempre per difetto il valore corretto, per cui credo che sia sufficiente farne la parte intera superiore.
purtroppo sono un po' incapace in queste cose per cui non riesco bene a dimostrarla, anche se l'ho ricavata più o meno da quello che ho detto sopra. se qualcuno mi dà una mano possiamo provare a risolverlo!
E' un modo per scriverla, sì. Devi solo dire come l'hai ricavata (dai che è semplice 
).
).
in tuttà onestà l'ho ricavat semplicemente ponendo
$n = (k_0(k_0+1))/2$ e risolvendo per $k_0$, (ovviamente eliminando la soluzione negativa)
dopodiché ho "constatato" che per i numeri triangolari $sqrt(1+8n)$ dava dei quadrati perfetti, così ho immaginato di essere sulla strada giusta...
mancano alcuni passaggi per dimostrarne formalmente la validità, però intanto un pezzettino è fatto...
EDIT: controllando avevo sbagliato dei calcoli: praticamente la $sqrt(1+8n)$ se le dai due numeri trangolari "successivi" fornisce due quadrati perfetti dispari "successivi". esempio, se alla $sqrt(1+8n)$ do $n=6$ e il "successivo" $n=10$ ottengo dalla prima $49=7^2$ e dalla seconda $81=9^2$. ne segue che, nella formula $-1/2 + (sqrt(1+8n))/2$ le divisioni per due aggiustano la cosa, cioè ottengo numeri effettivamente consecutivi. mi sono spiegato di m***a, spero che si riesca a capire lo stesso. comunque appena ottengo il via libera da Tom Sawyer proporrò il mio problema...
$n = (k_0(k_0+1))/2$ e risolvendo per $k_0$, (ovviamente eliminando la soluzione negativa)
dopodiché ho "constatato" che per i numeri triangolari $sqrt(1+8n)$ dava dei quadrati perfetti, così ho immaginato di essere sulla strada giusta...
mancano alcuni passaggi per dimostrarne formalmente la validità, però intanto un pezzettino è fatto...
EDIT: controllando avevo sbagliato dei calcoli: praticamente la $sqrt(1+8n)$ se le dai due numeri trangolari "successivi" fornisce due quadrati perfetti dispari "successivi". esempio, se alla $sqrt(1+8n)$ do $n=6$ e il "successivo" $n=10$ ottengo dalla prima $49=7^2$ e dalla seconda $81=9^2$. ne segue che, nella formula $-1/2 + (sqrt(1+8n))/2$ le divisioni per due aggiustano la cosa, cioè ottengo numeri effettivamente consecutivi. mi sono spiegato di m***a, spero che si riesca a capire lo stesso. comunque appena ottengo il via libera da Tom Sawyer proporrò il mio problema...
L'impostazione è $k(k-1)/2 < n \le k(k+1)/2$. Dopo puoi passare a risolvere $k(k+1)/2=r$, che è quello che hai fatto; cioè hai trovato $k$ in funzione di $r$. Ma ti resta da scrivere bene tutto in funzione di $n$.
Non basta dire che
$a_n = \lceil -1/2 + (sqrt(1+8n))/2 \rceil$,
dove $\lceil x \rceil$ indica la parte intera superiore?
$a_n = \lceil -1/2 + (sqrt(1+8n))/2 \rceil$,
dove $\lceil x \rceil$ indica la parte intera superiore?
Certo, quella è la forma chiusa, ma manca l'esatto procedimento.
Hai che, continuando da dove ho cominciato, $k=(-1+\sqrt{1+8r})/2$; dunque $(-1+\sqrt{1+8n})/2 \le k < (-1+\sqrt{1+8n})/2+1 \implies a_n = [(-1+\sqrt{1+8n})/2]$, con $$ la parte intera superiore.
Ok, ora tocca a te.
Hai che, continuando da dove ho cominciato, $k=(-1+\sqrt{1+8r})/2$; dunque $(-1+\sqrt{1+8n})/2 \le k < (-1+\sqrt{1+8n})/2+1 \implies a_n = [(-1+\sqrt{1+8n})/2]$, con $
Ok, ora tocca a te.
ah ok, scusa...così acquista anche un senso più preciso!
ecco il mio problema:
trovare quali numeri non possono essere scritti come somma di numeri consecutivi.
esempio: 2007 = 668+669+670 oppure 219+220+221+222+223+224+225+226+227
4=???impossibile
ecco il mio problema:
trovare quali numeri non possono essere scritti come somma di numeri consecutivi.
esempio: 2007 = 668+669+670 oppure 219+220+221+222+223+224+225+226+227
4=???impossibile
"TomSawyer":
i) Sia $S_k={1,...,k}$. Calcolare il numero di suriezioni da $S_m$ in $S_n$, con $m\ge n$.
$ | ( ((1),(1)), 0, 0, \ldots , 1^m), ( ((2),(1)), ((2),(2)), 0, \ldots , 2^m), ( \vdots , \vdots , \ddots , , \vdots ), ( ((n),(1)), ((n),(2)), ((n),(3)), \ldots , n^m) |$
scusami Tom Sawyer, è tardissimo per cui è molto probabile che non capisca nulla.
Siccome la mia risposta è formulata in modo totalmente differente sto cercando di vedere se l'una è ricavabile dall'altra.
sui triangolari sono d'accordo, però se non ho capito male tu mi stai dicendo che 5, siccome è differenza di due triangolari consecutivi $5=15-10$ non dovrebbe essere esprimibile come somma di interi consecutivi? se è così allora non va bene, perchè $5=2+3$.
ok, cosa non ho capito nella tua risposta?
ciao a presto
Siccome la mia risposta è formulata in modo totalmente differente sto cercando di vedere se l'una è ricavabile dall'altra.
sui triangolari sono d'accordo, però se non ho capito male tu mi stai dicendo che 5, siccome è differenza di due triangolari consecutivi $5=15-10$ non dovrebbe essere esprimibile come somma di interi consecutivi? se è così allora non va bene, perchè $5=2+3$.
ok, cosa non ho capito nella tua risposta?
ciao a presto
@e^(iteta)
Certo, $5=15-10$, ma prima ancora si ha $5=6-1$, differenza di due triangolari non consecutivi.
@ficus2002
Esprimendo quel determinante con una sommatoria...
Certo, $5=15-10$, ma prima ancora si ha $5=6-1$, differenza di due triangolari non consecutivi.
@ficus2002
Esprimendo quel determinante con una sommatoria...
la mia risposta era: le potenze di due...come si ricava la mia dalla tua e viceversa?
"e^iteta":
la mia risposta era: le potenze di due...come si ricava la mia dalla tua e viceversa?
Facile: siano $n,k \in NN$, con $n>k$; la differenza di due triangolari è $(n(n+1))/2-((n-k)(n-k+1))/2=(k(2n-k+1))/2$. E si vede che gli unici interi non esprimibili in quella forma sono le potenze di $2$.
wow
essendo ancora un "newbie" della matematica rimango spesso affascinato dai numeri che fate voi "grandi"!!!
provo con un altro probema, stavolta di analsi:
trovare una funzione continua $RR->RR^+$
tale che:
$lim_(x->+oo) f(x) = 0$
e
$int_0^(+oo) f(x) >+oo$
essendo ancora un "newbie" della matematica rimango spesso affascinato dai numeri che fate voi "grandi"!!!
provo con un altro probema, stavolta di analsi:
trovare una funzione continua $RR->RR^+$
tale che:
$lim_(x->+oo) f(x) = 0$
e
$int_0^(+oo) f(x) >+oo$
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