Maratona di problemi
Proviamo a fare questa cosa: comincio col proporre io un problema (abbastanza facile), poi chi lo risolve propone a sua volta un problema etc etc. Se il risolutore di un problema non ha niente da proporre, puo' dare il permesso ad altri di proporne uno.
Sarebbe bello se si riuscisse a spaziare in piu' campi, e non tenersi solo in uno. Poi, non sarebbe l'ideale proporre problemi esageratamente difficili, cosi' non si ferma tutto.
Problema 1
Siano $a,b,c$ tre interi distinti, e sia $P$ un polinomio a coefficienti interi. Dimostrare che e' impossibile avere che $P(a)=b,P(b)=c,P(c)=a$.
Sarebbe bello se si riuscisse a spaziare in piu' campi, e non tenersi solo in uno. Poi, non sarebbe l'ideale proporre problemi esageratamente difficili, cosi' non si ferma tutto.
Problema 1
Siano $a,b,c$ tre interi distinti, e sia $P$ un polinomio a coefficienti interi. Dimostrare che e' impossibile avere che $P(a)=b,P(b)=c,P(c)=a$.
Risposte
"elgiovo":
lattice points (ovvero i punti con la prima
coordinata pari)
OT: Io so la definizione secondo cui sono i punti in $RR^n$ con coordinate intere.
Si, nella soluzione li uso proprio con quella accezione.
Nelle parentesi non intendevo spiegare cosa sono i
lattice points, ma dire perchè su quella retta ce ne sono
esattamente quel numero.
Nel frattempo ho scovato l'errore: ai punti interni al
triangolo vanno sommati quelli sul lato verticale, in quanto
$a$ [size=200]$<=$[/size] $222$ . Togliendo i punti $(222,111)$ e $(222,148)$,
che non rispettano le condizioni, su questo lato vi sono 36
lattice points, per cui $I=3997+36=4033$.
Io avevo risolto un altro problema.
A te, luca.barletta.
Nelle parentesi non intendevo spiegare cosa sono i
lattice points, ma dire perchè su quella retta ce ne sono
esattamente quel numero.
Nel frattempo ho scovato l'errore: ai punti interni al
triangolo vanno sommati quelli sul lato verticale, in quanto
$a$ [size=200]$<=$[/size] $222$ . Togliendo i punti $(222,111)$ e $(222,148)$,
che non rispettano le condizioni, su questo lato vi sono 36
lattice points, per cui $I=3997+36=4033$.
Io avevo risolto un altro problema.
A te, luca.barletta.
ora come ora non ho niente da proporre, lascio la palla al primo che se la prende
In un piano sono disegnati 1994 vettori. Due giocatori scelgono alternativamente un vettore finché non ce ne sono più. Il perdente è colui la cui somma di tutti i suoi vettori è minore rispetto alla rispettiva somma dell'altro giocatore. Dire se il primo giocatore può scegliere una strategia che non gli permetta di perdere.
forse basta che prenda ogni volta il più grande secondo una delle due coordinate
Inutile dire che bisogna formalizzare (ci vuole poco, poiché è semplice), anche se l'idea è quella.
Cambio problema, magari interessa di più.
Eccolo: In quanti modi è possibile disporre parentesi in un prodotto non associativo di $n$ numeri?
PS: Se qualcuno sta pensando al precedente problema, posti comunque una soluzione.
Eccolo: In quanti modi è possibile disporre parentesi in un prodotto non associativo di $n$ numeri?
PS: Se qualcuno sta pensando al precedente problema, posti comunque una soluzione.
La soluzione di questo problema si trova in un qualsiasi testo di matematica discreta. Ad esempio qui (cap. 4):
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=17600
[size=150]Nuovo problema[/size]
Due ingegneri discutono dei pregi relativi a due razzi. Un razzo ha due motori, l'altro quattro, tutti identici. Per assicurare il volo non è necessario che tutti funzionino: un razzo raggiunge il bersaglio anche se metà, al più, dei motori non funziona. Il primo ingegnere arguisce che il razzo a quattro motori è il migliore. Il secondo allora dice: " Io non posso rivelare la probabilità di rottura di un motore, perchè è un segreto militare, tuttavia posso assicurare che tutti e due i razzi hanno la stessa probabilità di successo". Il primo ingegnere replica: "Grazie, ciò che dici mi permette di calcolare sia la probabilità di rottura di un motore sia quella di caduta di un razzo".
Quali probabilità ha ottenuto l'ingegnere?
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=17600
[size=150]Nuovo problema[/size]
Due ingegneri discutono dei pregi relativi a due razzi. Un razzo ha due motori, l'altro quattro, tutti identici. Per assicurare il volo non è necessario che tutti funzionino: un razzo raggiunge il bersaglio anche se metà, al più, dei motori non funziona. Il primo ingegnere arguisce che il razzo a quattro motori è il migliore. Il secondo allora dice: " Io non posso rivelare la probabilità di rottura di un motore, perchè è un segreto militare, tuttavia posso assicurare che tutti e due i razzi hanno la stessa probabilità di successo". Il primo ingegnere replica: "Grazie, ciò che dici mi permette di calcolare sia la probabilità di rottura di un motore sia quella di caduta di un razzo".
Quali probabilità ha ottenuto l'ingegnere?
anche se il risultato è sbagliato, io ci provo, poi correggerete voi: 3/4 e 1/4?
Per la rottura del motore a me viene 1/3 mentre per la caduta del razzo trovo 1/9.
La risposta corretta è quella di MaMo.
per curiosità, quando avete un poco di tempo a disposizione, mi spiegate perchè?
grazie
ciao
grazie
ciao
Spetta a MaMo spiegare il perchè e a proporre un nuovo problema.
Ecco la soluzione.
Sia $p$ la probabilità che un motore non funzioni.
Il razzo con due motori raggiunge il bersaglio quando non si guastano entrambi i motori oppure quando se ne guasta uno solo. La probabilità di successo è quindi
$(1-p)^2+2p(1-p)$.
Per il razzo con quattro motori la probabilità di successo è
$(1-p)^4+4(1-p)^3p+6(1-p)^2p^2$, dove
$(1-p)^4=$ prob. nessun motore si guasta,
$4(1-p)^3p=$ prob. si guasta un solo motore,
$6(1-p)^2p^2=$ prob. si guastano due motori.
Uguagliando le due probabilità trovate si ottiene $p=1/3$.
Sia $p$ la probabilità che un motore non funzioni.
Il razzo con due motori raggiunge il bersaglio quando non si guastano entrambi i motori oppure quando se ne guasta uno solo. La probabilità di successo è quindi
$(1-p)^2+2p(1-p)$.
Per il razzo con quattro motori la probabilità di successo è
$(1-p)^4+4(1-p)^3p+6(1-p)^2p^2$, dove
$(1-p)^4=$ prob. nessun motore si guasta,
$4(1-p)^3p=$ prob. si guasta un solo motore,
$6(1-p)^2p^2=$ prob. si guastano due motori.
Uguagliando le due probabilità trovate si ottiene $p=1/3$.
Risolvere uno dei due problemi che seguono. (Il secondo, avendolo risolto io, garantisco che non è difficile)
1) Determinare se esiste un insieme X costituito da $2006^2007$ interi positivi distinti tale che, per ogni sottoinsieme Y incluso in X non vuoto, la somma degli elementi di Y non è un quadrato perfetto.
2) Una circonferenza interseca i lati di un rettangolo in 8 punti, determinando così 4 "triangoli rettangoli con ipotenusa curvilinea". Dimostrare che la somma dei contorni di due triangoli opposti rispetto al centro O della circonferenza è uguale alla somma dei contorni degli altri due.
1) Determinare se esiste un insieme X costituito da $2006^2007$ interi positivi distinti tale che, per ogni sottoinsieme Y incluso in X non vuoto, la somma degli elementi di Y non è un quadrato perfetto.
2) Una circonferenza interseca i lati di un rettangolo in 8 punti, determinando così 4 "triangoli rettangoli con ipotenusa curvilinea". Dimostrare che la somma dei contorni di due triangoli opposti rispetto al centro O della circonferenza è uguale alla somma dei contorni degli altri due.
io ci proverei pure ma non riesco a visualizzare sti triangoli con le ipotenuse curvilinee...il mio disegno viene così (lo descrivo perchè non lo so postare):
il centro $O$ sta sull'intersezione delle diagonali
detti $A$, $B$, $C$, $D$ i vertici del rettangolo di modo che, leggendoli in senso antiorario $A$ stia in basso a sinistra, la circonferenza $Gamma$ interseca $AB$ in due punti, $BC$ in altri due, $CD$ in altri due ancora e $DA$ in altri due punti, così su ogni lato ci sono degli archi...ma io non vendo ne i triangoli rettangoli ne addirittura quelli con l'ipotenusa che una curva
mi puoi spiegare dov'è che sbaglio?
ciao
il centro $O$ sta sull'intersezione delle diagonali
detti $A$, $B$, $C$, $D$ i vertici del rettangolo di modo che, leggendoli in senso antiorario $A$ stia in basso a sinistra, la circonferenza $Gamma$ interseca $AB$ in due punti, $BC$ in altri due, $CD$ in altri due ancora e $DA$ in altri due punti, così su ogni lato ci sono degli archi...ma io non vendo ne i triangoli rettangoli ne addirittura quelli con l'ipotenusa che una curva
mi puoi spiegare dov'è che sbaglio?
ciao
Non è detto che il centro O stia sull'intersezione delle diagonali del rettangolo.
Indichiamo con A' il punto di intersezione (quello dei due più vicino ad A) di AB con la circonferenza.
Indichiamo con A'' il punto di intersezione (quello dei due più vicino ad A) di AD con la circonferenza.
AA'A'' è un triangolo rettangolo con ipotenusa curvilinea.
In maniera analoga si definiscono gli altri tre triangoli. Si deve dimostrare che la somma dei perimetri dei due triangoli di angoli retti in A e in C è uguale a quella di angoli retti in B e in D.
Indichiamo con A' il punto di intersezione (quello dei due più vicino ad A) di AB con la circonferenza.
Indichiamo con A'' il punto di intersezione (quello dei due più vicino ad A) di AD con la circonferenza.
AA'A'' è un triangolo rettangolo con ipotenusa curvilinea.
In maniera analoga si definiscono gli altri tre triangoli. Si deve dimostrare che la somma dei perimetri dei due triangoli di angoli retti in A e in C è uguale a quella di angoli retti in B e in D.
In risposta al secondo quesito di Piera:
Sia $R$ il raggio della circonferenza. Gli angoli dello stesso colore sono banalmente uguali;
come da figura siano $psi$, $theta$, $delta$, $sigma$. Poichè la lunghezza di un arco
di circonferenza di raggio $R$ che sottende un arco $alpha$ vale $Rcdotalpha$, possiamo
costruire le somme $Sigma_1$ e $Sigma_2$ dei perimetri di due triangoli mistilinei opposti. Vale:
$Sigma_1=(pi/2-theta-psi)R+(h-sqrt(R^2-k^2))+(k-sqrt(R^2-h^2))+(pi/2-delta-sigma)R+(m-sqrt(R^2-l^2))+(l-sqrt(R^2-m^2))=Sigma_2$.
cvd.
Sia $R$ il raggio della circonferenza. Gli angoli dello stesso colore sono banalmente uguali;
come da figura siano $psi$, $theta$, $delta$, $sigma$. Poichè la lunghezza di un arco
di circonferenza di raggio $R$ che sottende un arco $alpha$ vale $Rcdotalpha$, possiamo
costruire le somme $Sigma_1$ e $Sigma_2$ dei perimetri di due triangoli mistilinei opposti. Vale:
$Sigma_1=(pi/2-theta-psi)R+(h-sqrt(R^2-k^2))+(k-sqrt(R^2-h^2))+(pi/2-delta-sigma)R+(m-sqrt(R^2-l^2))+(l-sqrt(R^2-m^2))=Sigma_2$.
cvd.
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