Maratona di problemi
Proviamo a fare questa cosa: comincio col proporre io un problema (abbastanza facile), poi chi lo risolve propone a sua volta un problema etc etc. Se il risolutore di un problema non ha niente da proporre, puo' dare il permesso ad altri di proporne uno.
Sarebbe bello se si riuscisse a spaziare in piu' campi, e non tenersi solo in uno. Poi, non sarebbe l'ideale proporre problemi esageratamente difficili, cosi' non si ferma tutto.
Problema 1
Siano $a,b,c$ tre interi distinti, e sia $P$ un polinomio a coefficienti interi. Dimostrare che e' impossibile avere che $P(a)=b,P(b)=c,P(c)=a$.
Sarebbe bello se si riuscisse a spaziare in piu' campi, e non tenersi solo in uno. Poi, non sarebbe l'ideale proporre problemi esageratamente difficili, cosi' non si ferma tutto.
Problema 1
Siano $a,b,c$ tre interi distinti, e sia $P$ un polinomio a coefficienti interi. Dimostrare che e' impossibile avere che $P(a)=b,P(b)=c,P(c)=a$.
Risposte
Mi premunisco e dico che anch'io non sono sicuro della formula
che ho postato.Posso dire di averla "testata " per
n=3 (?), 4,5,6 con risultati concordi col calcolo diretto.
Ma naturalmente cio' non costituisce prova a a favore :
anche in quei calcoli potrei aver fatto degli errori.
karl
che ho postato.Posso dire di averla "testata " per
n=3 (?), 4,5,6 con risultati concordi col calcolo diretto.
Ma naturalmente cio' non costituisce prova a a favore :
anche in quei calcoli potrei aver fatto degli errori.
karl
"karl":
Mi premunisco e dico che anch'io non sono sicuro della formula
che ho postato.Posso dire di averla "testata " per
n=3 (?), 4,5,6 con risultati concordi col calcolo diretto.
Ma naturalmente cio' non costituisce prova a a favore :
anche in quei calcoli potrei aver fatto degli errori.
karl
Sono stato tratto in inganno dalla forma della formula. Infatti la mia è:
$S=n(1/(4sin^2(pi/(2n)))-1)L$
e dovrebbe essere uguale alla tua.
P.s. Comunque non hai ancora risposto al vero quesito.
Ho controllato e le due formule coincidono:complimenti a te e a me !!!
Quanto al vero quesito,intendi dire che devo porre n=20?
Se e' cosi' ci provo.
karl
Quanto al vero quesito,intendi dire che devo porre n=20?
Se e' cosi' ci provo.
karl
"karl":
Ho controllato e le due formule coincidono:complimenti a te e a me !!!
Bene.
"karl":
Quanto al vero quesito,intendi dire che devo porre n=20?
Se e' cosi' ci provo.
karl
Sì, devi postare il risultato numerico. Se non farai errori di calcolo potrai postare il problema successivo.
"MaMo":
Sì, devi postare il risultato numerico. Se non farai errori di calcolo potrai postare il problema successivo.
Non mi conviene !!!
karl
Facendo il conto, mi viene
$(sqrt(200sqrt5 + 500) + 10sqrt5 + 10sqrt2 + 10)sqrt(2/(1 - sqrt(sqrt5/8 + 5/8))) + sqrt(200sqrt5 + 1000)sqrt(1/(1 - sqrt(sqrt5/8 + 5/8))) + 20(1 - sqrt5)/(sqrt(2sqrt5 + 10) - 4) + 20$,
davvero abominevole. Il risultato
approssimato è $812,24$, ma visto
che avete trovato la stessa formula
ho (quasi) sicuramente sbagliato.
$(sqrt(200sqrt5 + 500) + 10sqrt5 + 10sqrt2 + 10)sqrt(2/(1 - sqrt(sqrt5/8 + 5/8))) + sqrt(200sqrt5 + 1000)sqrt(1/(1 - sqrt(sqrt5/8 + 5/8))) + 20(1 - sqrt5)/(sqrt(2sqrt5 + 10) - 4) + 20$,
davvero abominevole. Il risultato
approssimato è $812,24$, ma visto
che avete trovato la stessa formula
ho (quasi) sicuramente sbagliato.
"elgiovo":
Facendo il conto, mi viene
$(sqrt(200sqrt5 + 500) + 10sqrt5 + 10sqrt2 + 10)sqrt(2/(1 - sqrt(sqrt5/8 + 5/8))) + sqrt(200sqrt5 + 1000)sqrt(1/(1 - sqrt(sqrt5/8 + 5/8))) + 20(1 - sqrt5)/(sqrt(2sqrt5 + 10) - 4) + 20$,
davvero abominevole. Il risultato
approssimato è $812,24$, ma visto
che avete trovato la stessa formula
ho (quasi) sicuramente sbagliato.
Sì, è mostruoso! Lo strano è che il risultato numerico è maggiore di 20 rispetto al nostro. Non è che per caso ti sei dimenticato di togliere i 20 lati?
Si, è vero! Non ho tolto i 20 lati.
Bene, allora siamo tutti d'accordo.
Bene, allora siamo tutti d'accordo.
A questo punto posto anche la
mia formula chiusa, che però
vale solo per poligoni con un numero
pari di lati:
$(n/2)/(sin(pi/n)) + sum_(k=2)^(n/2-1)nsin(k/n pi)/sin(pi/n)=n(2cos(pi/n) - 1)/(2(1 - cos(pi/n)))$.
mia formula chiusa, che però
vale solo per poligoni con un numero
pari di lati:
$(n/2)/(sin(pi/n)) + sum_(k=2)^(n/2-1)nsin(k/n pi)/sin(pi/n)=n(2cos(pi/n) - 1)/(2(1 - cos(pi/n)))$.
"elgiovo":
A questo punto posto anche la
mia formula chiusa, che però
vale solo per poligoni con un numero
pari di lati:
$(n/2)/(sin(pi/n)) + sum_(k=2)^(n/2-1)nsin(k/n pi)/sin(pi/n)=n(2cos(pi/n) - 1)/(2(1 - cos(pi/n)))$.
Anche la tua formula è giusta e vale per un n qualunque. E' un altro modo di scrivere la stessa formula.
Ottimo! In tal caso posto il
risultato esatto in forma
(un pò) meno mostruosa:
$(20 - sqrt(sqrt(80000sqrt5 + 400000) + 800))/(sqrt(sqrt(sqrt5/2 + 5/2) + 2) - 2)$.
risultato esatto in forma
(un pò) meno mostruosa:
$(20 - sqrt(sqrt(80000sqrt5 + 400000) + 800))/(sqrt(sqrt(sqrt5/2 + 5/2) + 2) - 2)$.
Visto che e' da parecchio che non posto qualche quesito,m'incarico
io della bisogna.
Dimostrare che e' :
$(13)/(27)<=((a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+4abc)/((a+b+c)^3)<=1/2$
dove a,b,c sono i lati di un triangolo.
karl
io della bisogna.
Dimostrare che e' :
$(13)/(27)<=((a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+4abc)/((a+b+c)^3)<=1/2$
dove a,b,c sono i lati di un triangolo.
karl
Consideriamo in primo luogo la disequazione
$((a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+4abc)/(a+b+c)^3<=1/2 $.
Moltiplicando ambo i membri per $2$ e $(a+b+c)^3$ e
raccogliendo, si ottiene la disequazione di terzo grado,
ad esempio in $c$:
$c^3-c^2(a+b)-c(a-b)^2+a^3+b^3-a^2b-ab^2<=0$ (1).
Uno degli zeri dell'equazione associata ad (1) è $a+b$,
gli altri $a-b$ e $b-a$. Ora, poichè $a,b,c$ sono lati di un
triangolo, vale $c<=a+b$, ma anche $c>=b-a$, avendo
assunto WLOG che $b>=a$. Quindi la disequazione va
risolta tra $b-a$ e $a+b$. Poichè il coefficiente di $c^3$
è positivo, la cubica sarà negativa prima di $a-b$, positiva
tra $a-b$ e $b-a$, negativa tra $b-a$ e $a+b$, positiva altrove.
Ciò che interessa è la sua negatività nell'intervallo $[b-a,a+b]$,
in quanto risolve la prima parte del problema.
La seconda parte dovrebbe arrivare a breve.
$((a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+4abc)/(a+b+c)^3<=1/2 $.
Moltiplicando ambo i membri per $2$ e $(a+b+c)^3$ e
raccogliendo, si ottiene la disequazione di terzo grado,
ad esempio in $c$:
$c^3-c^2(a+b)-c(a-b)^2+a^3+b^3-a^2b-ab^2<=0$ (1).
Uno degli zeri dell'equazione associata ad (1) è $a+b$,
gli altri $a-b$ e $b-a$. Ora, poichè $a,b,c$ sono lati di un
triangolo, vale $c<=a+b$, ma anche $c>=b-a$, avendo
assunto WLOG che $b>=a$. Quindi la disequazione va
risolta tra $b-a$ e $a+b$. Poichè il coefficiente di $c^3$
è positivo, la cubica sarà negativa prima di $a-b$, positiva
tra $a-b$ e $b-a$, negativa tra $b-a$ e $a+b$, positiva altrove.
Ciò che interessa è la sua negatività nell'intervallo $[b-a,a+b]$,
in quanto risolve la prima parte del problema.
La seconda parte dovrebbe arrivare a breve.
Anche se poco esperto di diseguaglianze provo con la seconda parte.
Possiamo scrivere:
$(a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)^2+4(abc)/(a+b+c)^3>=13/27$
Per AM-GM si ha:
$(root[3](abc))^3<=((a+b+c)/3)^3$
cioè:
$4(abc)/(a+b+c)^3<=4/27$
Inserendo questa relazione nella diseguaglianza possiamo scrivere:
$(a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)^2+4/27>=13/27$
che diventa:
$(a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)^2>=1/3$
Questa diseguaglianza deriva direttamente dalla relazione tra media aritmetica e media quadratica.
Infatti si ha:
$(a+b+c)/3<=sqrt((a^2+b^2+c^2)/3)$
Quadrando entrambi i membri si ottiene:
$(a+b+c)^2<=3(a^2+b^2+c^2)$
Questo dimostra la diseguaglianza.
Possiamo scrivere:
$(a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)^2+4(abc)/(a+b+c)^3>=13/27$
Per AM-GM si ha:
$(root[3](abc))^3<=((a+b+c)/3)^3$
cioè:
$4(abc)/(a+b+c)^3<=4/27$
Inserendo questa relazione nella diseguaglianza possiamo scrivere:
$(a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)^2+4/27>=13/27$
che diventa:
$(a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)^2>=1/3$
Questa diseguaglianza deriva direttamente dalla relazione tra media aritmetica e media quadratica.
Infatti si ha:
$(a+b+c)/3<=sqrt((a^2+b^2+c^2)/3)$
Quadrando entrambi i membri si ottiene:
$(a+b+c)^2<=3(a^2+b^2+c^2)$
Questo dimostra la diseguaglianza.
Anche io stavo provando con $GM<=AM<=QM$,
mi sembra che non ci siano errori nel tuo procedimento.
Quindi la seconda diseguaglianza
vale per ogni terna di reali positivi,
al contrario della prima.
mi sembra che non ci siano errori nel tuo procedimento.
Quindi la seconda diseguaglianza
vale per ogni terna di reali positivi,
al contrario della prima.
Visto che nessuno si fa avanti a proporre un nuovo problema, ne propongo uno io.
Eulero e Gauss rivendicano la paternità di un teorema. Cauchy, per risolvere la contesa, propone la seguente sfida: i due devono lanciare a turno un sasso sull'opera il Course d'analyse di Cauchy, opera che Cauchy era solito portare sempre con sè.
Se uno dei due manca il bersaglio, tocca all'altro lanciare il proprio sasso e cosi' di seguito.
Per cominciare la sfida si lancia una moneta equilibrata, se esce testa inizia Gauss, altrimenti Eulero.
Se Gauss colpisce il libro con probabilità $a$, ed Eulero con probabilità $b$, qual'è la probabilità che vinca Gauss?
Eulero e Gauss rivendicano la paternità di un teorema. Cauchy, per risolvere la contesa, propone la seguente sfida: i due devono lanciare a turno un sasso sull'opera il Course d'analyse di Cauchy, opera che Cauchy era solito portare sempre con sè.
Se uno dei due manca il bersaglio, tocca all'altro lanciare il proprio sasso e cosi' di seguito.
Per cominciare la sfida si lancia una moneta equilibrata, se esce testa inizia Gauss, altrimenti Eulero.
Se Gauss colpisce il libro con probabilità $a$, ed Eulero con probabilità $b$, qual'è la probabilità che vinca Gauss?
"Piera":
Visto che nessuno si fa avanti a proporre un nuovo problema, ne propongo uno io.
Se uno dei due manca il bersaglio, tocca all'altro lanciare il proprio sasso e cosi' di seguito.
Per cominciare la sfida si lancia una moneta equilibrata, se esce testa inizia Gauss, altrimenti Eulero.
Se Gauss colpisce il libro con probabilità $a$, ed Eulero con probabilità $b$, qual'è la probabilità che vinca Gauss?
Allora...
Gauss ha $1/2$ (una possibilità su $2$) che il lancio della moneta faccia cominciare lui
Poi ha $1/a$ (una possibilità su $a$) di colpire il libro.
Quindi
$1/2 * 1/a = 1/(2a)$
Ha quindi una possibilità su $2a$
giusto?
Con $a$ ho indicato la probabilità, $a$ può essere 1/2 , 1/3,...
La probabilita' che Gauss vinca e' data
dall'unione degli eventi disgiunti del tipo:
Gauss vince al lancio $i$-esimo, per $i$ da $1$ a $\infty$
la cui probabilita' denotiamo con $P_i(G)$
Al primo lancio Gauss puo' vincere in due modi:
1) tocca a lui e colpisce
2) tocca a Euler, non colpisce, poi Gauss colpisce
Si ha allora $P_1(G) = a/2 + ((1-b)a)/2 = (a(2-b))/2$
In generale al lancio $n$-esimo Gauss vince sempre negli stessi 2 modi,
ma sia Euler che Gauss devono non aver colpito il libro per i precedenti $n-1$ lanci.
si ha allora:
$P_n(G) = ((1-a)^{n-1}(1-b)^{n-1})((a(2-b))/2)$
sommando su tutti i lanci otteniamo la probabilita' cercata $P$
$P = ((a(2-b))/2) \sum_{i=0}^{\infty} (1-a)^{i}(1-b)^{i}$
che converge a
$P = (a(2-b)) / (2(a + b - ab))$
dall'unione degli eventi disgiunti del tipo:
Gauss vince al lancio $i$-esimo, per $i$ da $1$ a $\infty$
la cui probabilita' denotiamo con $P_i(G)$
Al primo lancio Gauss puo' vincere in due modi:
1) tocca a lui e colpisce
2) tocca a Euler, non colpisce, poi Gauss colpisce
Si ha allora $P_1(G) = a/2 + ((1-b)a)/2 = (a(2-b))/2$
In generale al lancio $n$-esimo Gauss vince sempre negli stessi 2 modi,
ma sia Euler che Gauss devono non aver colpito il libro per i precedenti $n-1$ lanci.
si ha allora:
$P_n(G) = ((1-a)^{n-1}(1-b)^{n-1})((a(2-b))/2)$
sommando su tutti i lanci otteniamo la probabilita' cercata $P$
$P = ((a(2-b))/2) \sum_{i=0}^{\infty} (1-a)^{i}(1-b)^{i}$
che converge a
$P = (a(2-b)) / (2(a + b - ab))$
Va bene, la sommatoria deve partire da 1 ma per il resto è tutto ok.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo