Maratona di problemi
Proviamo a fare questa cosa: comincio col proporre io un problema (abbastanza facile), poi chi lo risolve propone a sua volta un problema etc etc. Se il risolutore di un problema non ha niente da proporre, puo' dare il permesso ad altri di proporne uno.
Sarebbe bello se si riuscisse a spaziare in piu' campi, e non tenersi solo in uno. Poi, non sarebbe l'ideale proporre problemi esageratamente difficili, cosi' non si ferma tutto.
Problema 1
Siano $a,b,c$ tre interi distinti, e sia $P$ un polinomio a coefficienti interi. Dimostrare che e' impossibile avere che $P(a)=b,P(b)=c,P(c)=a$.
Sarebbe bello se si riuscisse a spaziare in piu' campi, e non tenersi solo in uno. Poi, non sarebbe l'ideale proporre problemi esageratamente difficili, cosi' non si ferma tutto.
Problema 1
Siano $a,b,c$ tre interi distinti, e sia $P$ un polinomio a coefficienti interi. Dimostrare che e' impossibile avere che $P(a)=b,P(b)=c,P(c)=a$.
Risposte
Giusto. A te il prossimo problema.
Metto una breve spiegazione. Con riferimento alla figura sotto:
si vuole uno sviluppo che è un pentagono regolare di lato 1. Dunque la base del tetraedro è il triangolo più interno al pentagono. I lati del triangolo isoscele interno si trovano facilmente:
$2*sin((3pi)/10)$ e $sqrt(1+1/4-cos((3pi)/5))$.
Abbiamo un tetraedro di cui conosciamo le lunghezze degli spigoli: $(a,b,c,d,e,f)=(1,1,1/2,2*sin((3pi)/10),sqrt(1+1/4-cos((3pi)/5)),sqrt(1+1/4-cos((3pi)/5)))$; per trovare il volume si può usare la formula di Cayley-Menger:
$V^2=1/288*det((0,1,1,1,1),(1,0,a^2,b^2,c^2),(1,a^2,0,d^2,e^2),(1,b^2,d^2,0,f^2),(1,c^2,e^2,f^2,0))=((sqrt(5)+1)/48)^2$
Per il prossimo quesito ci penso un attimo.
si vuole uno sviluppo che è un pentagono regolare di lato 1. Dunque la base del tetraedro è il triangolo più interno al pentagono. I lati del triangolo isoscele interno si trovano facilmente:
$2*sin((3pi)/10)$ e $sqrt(1+1/4-cos((3pi)/5))$.
Abbiamo un tetraedro di cui conosciamo le lunghezze degli spigoli: $(a,b,c,d,e,f)=(1,1,1/2,2*sin((3pi)/10),sqrt(1+1/4-cos((3pi)/5)),sqrt(1+1/4-cos((3pi)/5)))$; per trovare il volume si può usare la formula di Cayley-Menger:
$V^2=1/288*det((0,1,1,1,1),(1,0,a^2,b^2,c^2),(1,a^2,0,d^2,e^2),(1,b^2,d^2,0,f^2),(1,c^2,e^2,f^2,0))=((sqrt(5)+1)/48)^2$
Per il prossimo quesito ci penso un attimo.
[mod="Fioravante Patrone"]NB: per evitare problemi col database, questo thread viene bloccato qui. La maratona continua nel thread seguente:
https://www.matematicamente.it/forum/mar ... 39797.html
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