Maratona di problemi
Proviamo a fare questa cosa: comincio col proporre io un problema (abbastanza facile), poi chi lo risolve propone a sua volta un problema etc etc. Se il risolutore di un problema non ha niente da proporre, puo' dare il permesso ad altri di proporne uno.
Sarebbe bello se si riuscisse a spaziare in piu' campi, e non tenersi solo in uno. Poi, non sarebbe l'ideale proporre problemi esageratamente difficili, cosi' non si ferma tutto.
Problema 1
Siano $a,b,c$ tre interi distinti, e sia $P$ un polinomio a coefficienti interi. Dimostrare che e' impossibile avere che $P(a)=b,P(b)=c,P(c)=a$.
Sarebbe bello se si riuscisse a spaziare in piu' campi, e non tenersi solo in uno. Poi, non sarebbe l'ideale proporre problemi esageratamente difficili, cosi' non si ferma tutto.
Problema 1
Siano $a,b,c$ tre interi distinti, e sia $P$ un polinomio a coefficienti interi. Dimostrare che e' impossibile avere che $P(a)=b,P(b)=c,P(c)=a$.
Risposte
Ok
I quadrati costruiti sui lati di un triangolo hanno rispettivamente aree di: 36, 37 e 61.
Determinare l'area massima che può avere una ellisse contenuta nel triangolo.
Determinare l'area massima che può avere una ellisse contenuta nel triangolo.
Indico col simbolo (XYZ) l'area del generico triangolo XYZ e sia ABC il triangolo in questione con $bar(AB)=6$
Per Erone risulta $(ABC)=18$
Si costruisca ora su AB il triangolo equilatero ABC'.Esiste allora l'affinita' che
ha i punti A e B come punti uniti e (C,C') come coppia di punti corrispondenti.
E' chiaro ( ma e' dimostrabile ) che l'ellisse massima inscritta in ABC' e' il cerchio inscritto
e ad esso corrisponde l'ellisse massima inscritta in ABC.
Detto k il rapporto costante tra le aree di figure corrispondenti nell'affinita',si ha:
$k=((ABC))/((ABC'))=(18)/((bar(AB)^2)//(4)*sqrt3)=(2sqrt3)/3$
Inoltre il raggio del cerchio inscritto in ABC' e' ;
$r'=((ABC'))/(p')=(bar(AB)^2//4*sqrt3)/(9)=sqrt3$
Pertanto l'area Ae dell'ellisse massima richiesta sara' data da :
$A_e=pi*r'^2*k=pi*3*2/3sqrt3=2pisqrt3$
P.S.
L'area di un triangolo di dati lati a,b,c si puo' calcolare con Erone "sviluppato" ed e':
$(ABC)=1/4sqrt(4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2)$
Per Erone risulta $(ABC)=18$
Si costruisca ora su AB il triangolo equilatero ABC'.Esiste allora l'affinita' che
ha i punti A e B come punti uniti e (C,C') come coppia di punti corrispondenti.
E' chiaro ( ma e' dimostrabile ) che l'ellisse massima inscritta in ABC' e' il cerchio inscritto
e ad esso corrisponde l'ellisse massima inscritta in ABC.
Detto k il rapporto costante tra le aree di figure corrispondenti nell'affinita',si ha:
$k=((ABC))/((ABC'))=(18)/((bar(AB)^2)//(4)*sqrt3)=(2sqrt3)/3$
Inoltre il raggio del cerchio inscritto in ABC' e' ;
$r'=((ABC'))/(p')=(bar(AB)^2//4*sqrt3)/(9)=sqrt3$
Pertanto l'area Ae dell'ellisse massima richiesta sara' data da :
$A_e=pi*r'^2*k=pi*3*2/3sqrt3=2pisqrt3$
P.S.
L'area di un triangolo di dati lati a,b,c si puo' calcolare con Erone "sviluppato" ed e':
$(ABC)=1/4sqrt(4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2)$
OK
Dimostrare che e' :
$sum_(i=0)^(101)(x_i^3)/(3x_i^2-3x_i+1)=51$ dove $x_i=i/(101)$
$sum_(i=0)^(101)(x_i^3)/(3x_i^2-3x_i+1)=51$ dove $x_i=i/(101)$
$\sum_{i=0}^101 x_i^3/(3x_i^2-3x_i+1)=\sum_{i=0}^101 i^3/(101(3i^2-303i+101^2))$. Ora consideriamo $i^3/(101(3i^2-303i+101^2))+(101-i)^3/(101(3(101-i)^2-303(101-i)+101^2))=(i^3+(101-i)^3)/(101(3i^2-303i+101^2))=(101^3+303i^2-3*101^2i)/(101(3i^2-303i+101^2))=1$. Quindi, associando a due a due i termini con indici $i,j$ tali che $i+j=101$, si ottiene $51$.
OK,Clint Eastwood!!!
E adesso pare che tocchi a te.Mi raccomando ,uno di quei micidiali problemi di TdN!!!
E adesso pare che tocchi a te.Mi raccomando ,uno di quei micidiali problemi di TdN!!!
, eccone uno semplice che non è proprio di TdN.Sia $S \subseteq RR$ ben ordinato (col solito ordinamento dei reali). Dimostrare che $S$ è numerabile.
Se $s_i$ è un elemento di $S$ diverso dal massimo allora esiste un suo successore immediato. Chiamiamolo $s_(i+1)$. Per la densità di $Q$ in $R$ possiamo considerare un razionale $q_i$, per il quale risulti $s_i
Funziona?
Funziona?
Certo, a te.
Poco o niente da proporre. Lascio a chi desidera. 
A questo punto divento ufficialmente il tappabuchi della maratona...
Sui lati di un angolo retto di vertice O si prendono due punti A e B (suppore che A si trovi sul lato verticale e B sul lato orizzontale e che il lato orizzontale sia situato a destra di O). Costruita la semicirconferenza di diametro AB nel semipiano individuato dalla retta AB non contenente O, si faccia scorrere, sul lato verticale dell'angolo, A verso O e ,sul lato orizzontale, B verso destra, in modo tale che la lunghezza di AB sia costante.
(1) Quale traiettoria descrive il punto medio del segmento AB?
(2) Sia P un generico punto della semicirconferenza, quale traiettoria descrive?
Sui lati di un angolo retto di vertice O si prendono due punti A e B (suppore che A si trovi sul lato verticale e B sul lato orizzontale e che il lato orizzontale sia situato a destra di O). Costruita la semicirconferenza di diametro AB nel semipiano individuato dalla retta AB non contenente O, si faccia scorrere, sul lato verticale dell'angolo, A verso O e ,sul lato orizzontale, B verso destra, in modo tale che la lunghezza di AB sia costante.
(1) Quale traiettoria descrive il punto medio del segmento AB?
(2) Sia P un generico punto della semicirconferenza, quale traiettoria descrive?
La prima parte e' immediata.Basta osservare che il triangolo
AOB e' rettangolo in O e ricordare che la mediana relativa all'ipotenusa
e' la meta' dell'ipotenusa medesima.Pertanto, se M e' il punto medio
di AB, e' $OM=(AB)/2$ =costante e dunque il luogo descritto da M e'
il quarto di circonferenza di centro O ,di raggio la meta' di AB e situato ,
rispetto ad AB,da parte opposta alla semicirconferenza data.
Per la seconda parte ci sto pensando (se non arrivo...secondo)
perche' cerco una soluzione sintetica ,visto che quella analitica sembra
( ma e' solo una mia impressione) abbastanza agevole.
AOB e' rettangolo in O e ricordare che la mediana relativa all'ipotenusa
e' la meta' dell'ipotenusa medesima.Pertanto, se M e' il punto medio
di AB, e' $OM=(AB)/2$ =costante e dunque il luogo descritto da M e'
il quarto di circonferenza di centro O ,di raggio la meta' di AB e situato ,
rispetto ad AB,da parte opposta alla semicirconferenza data.
Per la seconda parte ci sto pensando (se non arrivo...secondo)
perche' cerco una soluzione sintetica ,visto che quella analitica sembra
( ma e' solo una mia impressione) abbastanza agevole.
Per la seconda parte ho delle perplessita' in quanto i vari punti della semicirconferenza in questione
non descrivono luoghi di egual tipo.Per esempio e' ovvio che i punti A e B descrivono i lati
dell'angolo mentre,da miei calcoli risulta che il punto medio di detta semicirf, descrive
la bisettrice del medesimo angolo.Gli altri punti descrivono parti di circonferenze.
Se volessi generalizzare,tenendo conto che una retta si puo' considerare pari ad una
circoferenza di raggio infinito,direi che ogni punto della semicrf. si muove su archi
di circonferenze.
non descrivono luoghi di egual tipo.Per esempio e' ovvio che i punti A e B descrivono i lati
dell'angolo mentre,da miei calcoli risulta che il punto medio di detta semicirf, descrive
la bisettrice del medesimo angolo.Gli altri punti descrivono parti di circonferenze.
Se volessi generalizzare,tenendo conto che una retta si puo' considerare pari ad una
circoferenza di raggio infinito,direi che ogni punto della semicrf. si muove su archi
di circonferenze.
Ogni punto P si muove in linea retta. Dimostrare che quando P si sposta su P', i punti O, P, P' sono allineati.
Per quanto ipotizzato sul moto dei punti A e B abbiamo che il moto rigido piano della circonferenza citata ha il centro istantaneo di rotazione nel punto C di intersezione tra la retta passante per A e parallela a OB, e quella passante per B e parallela ad OA.
La velocità di ogni punto P della circonferenza è quindi ortogonale alla retta CP, e parallela alla retta PO (ricordo che nel moto rigido piano l'atto di moto è rotatorio attorno al centro istantaneo di rotazione, quindi in questo caso attorno a C).
Dimostro ora che la traiettoria di ogni punto P della circonferenza è rettilineo. Supponiamo per assurdo che quando un punto P si sposta, descriva una traiettoria di cui considero un tratto tra P' e P", con P" non appartenente a OP'. Consideriamo ora un generico punto P'" appartenente a tale tratto. La velocità in P'" sta su OP'", per quanto detto sopra. Poiché la retta contenente la velocità è tangente alla traiettoria, vuol dire che P'" deve essere punto di flesso della traiettoria (altrimenti OP"' intersecherebbe la traiettoria), il che è assurdo perché, data la genericità di P'", è impossibile che tutti i punti della traiettoria tra P' e P" siano punti di flesso della stessa.
La velocità di ogni punto P della circonferenza è quindi ortogonale alla retta CP, e parallela alla retta PO (ricordo che nel moto rigido piano l'atto di moto è rotatorio attorno al centro istantaneo di rotazione, quindi in questo caso attorno a C).
Dimostro ora che la traiettoria di ogni punto P della circonferenza è rettilineo. Supponiamo per assurdo che quando un punto P si sposta, descriva una traiettoria di cui considero un tratto tra P' e P", con P" non appartenente a OP'. Consideriamo ora un generico punto P'" appartenente a tale tratto. La velocità in P'" sta su OP'", per quanto detto sopra. Poiché la retta contenente la velocità è tangente alla traiettoria, vuol dire che P'" deve essere punto di flesso della traiettoria (altrimenti OP"' intersecherebbe la traiettoria), il che è assurdo perché, data la genericità di P'", è impossibile che tutti i punti della traiettoria tra P' e P" siano punti di flesso della stessa.
Esiste anche una soluzione geometrica (la mia soluzione, che adesso non ricordo più, era trigonometrica).
Indicate con A', B', P' le nuove posizioni dei punti A,B,P. Dimostriamo che O,P,P' sono allineati.
Per fare questo è sufficiente dimostrare che gli angoli $hat(AOP),hat(A'OP')$ sono uguali.
Poichè i punti A,O,B,P stanno su una stessa circonferenza, gli angoli $hat(AOP),hat(ABP)$ sono uguali perchè insistono sullo stesso arco. Analogamente $hat(A'OP')=hat(A'B'P')$. Ma $hat(ABP)=hat(A'B'P')$ per costruzione e questo conclude la dimostrazione.
Indicate con A', B', P' le nuove posizioni dei punti A,B,P. Dimostriamo che O,P,P' sono allineati.
Per fare questo è sufficiente dimostrare che gli angoli $hat(AOP),hat(A'OP')$ sono uguali.
Poichè i punti A,O,B,P stanno su una stessa circonferenza, gli angoli $hat(AOP),hat(ABP)$ sono uguali perchè insistono sullo stesso arco. Analogamente $hat(A'OP')=hat(A'B'P')$. Ma $hat(ABP)=hat(A'B'P')$ per costruzione e questo conclude la dimostrazione.
Data l'equazione :
$x^3-3x=sqrt(x+2)$
dimostrare analiticamente che essa ha solo 3 radici reali , tutte nell'intervallo ]-2,2]
Determinare l'espressione formale (non approssimata) di tali radici.
$x^3-3x=sqrt(x+2)$
dimostrare analiticamente che essa ha solo 3 radici reali , tutte nell'intervallo ]-2,2]
Determinare l'espressione formale (non approssimata) di tali radici.
Si può notare che le curve descritte da $y=x^3-3x$ e $y=sqrt(x+2)$ si intersecano nel punto $(2,2)$.
Da allora in poi, è facile dimostrare che la funzione polinomiale sta al di sopra dell'identità $y=x$ e che
la funzione radicale ne resta al di sotto (si tratta di risolvere un paio di equazioni di secondo grado con
la condizione $x>2$). Inoltre le soluzioni reali si trovano sicuramente a destra della retta $x=-2$, perchè
la funzione reale $sqrt(x+2)$ non è definita a sinistra di tale retta.
Per quanto riguarda il numero delle soluzioni, si può osservare annullando una derivata che la funzione
polinomiale ha un massimo in $[-2,0]$ (e simmetricamente un minimo in $[0,2]$), e in corrispondenza
del punto di massimo associato la funzione radicale le sta al di sotto. Poichè quest'ultima è crescente con
monotonia e la polinomiale diventa decrescente fino ad $x=0$, vi saranno in tutto due intersezioni; dunque
le soluzioni sono queste due, a cui va aggiunta $x=2$.
Cerchiamo di determinare l'espressione esatta delle soluzioni: si deve risolvere in $RR$ l'equazione
$x^3-3x=sqrt(x+2)$. Moltiplicando (come è lecito) i membri per $sqrt(x+2)/sqrt(x+2)$ e fattorizzando
al primo membro si ottiene $x(x^2-3)sqrt(x+2)=x+2$. Quadrando, $x^2(x^2-3)^2(x+2)=(x+2)^2$.
Portando $(x+2)^2$ a sinistra e fattorizzando si ottiene $(x+2)(x-2)(x^2+x-1)(x^3+x^2-2x-1)=0$.
E' ovviamente necessario scartare molte soluzioni: tra i fattori di primo grado è "buona" la soluzione
già nota $x_1=2$, mentre $x=-2$ non è valida per motivi discussi in precedenza. Degli zeri del fattore
di secondo grado accettiamo l'unico negativo, in quanto si è prima dimostrato che le altre due soluzioni
sono negative, dunque $x_2=-1/2(sqrt5+1)$. Uno degli zeri del fattore di terzo grado è sicuramente da
scartare, in quanto è positivo. Tra gli altri due, si verifica per sostituzione diretta che l'unico accettabile è
$x_3=-1/3{2sqrt7sin[1/3 tan^(-1)(sqrt3/9)]+1}$.
Da allora in poi, è facile dimostrare che la funzione polinomiale sta al di sopra dell'identità $y=x$ e che
la funzione radicale ne resta al di sotto (si tratta di risolvere un paio di equazioni di secondo grado con
la condizione $x>2$). Inoltre le soluzioni reali si trovano sicuramente a destra della retta $x=-2$, perchè
la funzione reale $sqrt(x+2)$ non è definita a sinistra di tale retta.
Per quanto riguarda il numero delle soluzioni, si può osservare annullando una derivata che la funzione
polinomiale ha un massimo in $[-2,0]$ (e simmetricamente un minimo in $[0,2]$), e in corrispondenza
del punto di massimo associato la funzione radicale le sta al di sotto. Poichè quest'ultima è crescente con
monotonia e la polinomiale diventa decrescente fino ad $x=0$, vi saranno in tutto due intersezioni; dunque
le soluzioni sono queste due, a cui va aggiunta $x=2$.
Cerchiamo di determinare l'espressione esatta delle soluzioni: si deve risolvere in $RR$ l'equazione
$x^3-3x=sqrt(x+2)$. Moltiplicando (come è lecito) i membri per $sqrt(x+2)/sqrt(x+2)$ e fattorizzando
al primo membro si ottiene $x(x^2-3)sqrt(x+2)=x+2$. Quadrando, $x^2(x^2-3)^2(x+2)=(x+2)^2$.
Portando $(x+2)^2$ a sinistra e fattorizzando si ottiene $(x+2)(x-2)(x^2+x-1)(x^3+x^2-2x-1)=0$.
E' ovviamente necessario scartare molte soluzioni: tra i fattori di primo grado è "buona" la soluzione
già nota $x_1=2$, mentre $x=-2$ non è valida per motivi discussi in precedenza. Degli zeri del fattore
di secondo grado accettiamo l'unico negativo, in quanto si è prima dimostrato che le altre due soluzioni
sono negative, dunque $x_2=-1/2(sqrt5+1)$. Uno degli zeri del fattore di terzo grado è sicuramente da
scartare, in quanto è positivo. Tra gli altri due, si verifica per sostituzione diretta che l'unico accettabile è
$x_3=-1/3{2sqrt7sin[1/3 tan^(-1)(sqrt3/9)]+1}$.
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