Maratona di problemi
Proviamo a fare questa cosa: comincio col proporre io un problema (abbastanza facile), poi chi lo risolve propone a sua volta un problema etc etc. Se il risolutore di un problema non ha niente da proporre, puo' dare il permesso ad altri di proporne uno.
Sarebbe bello se si riuscisse a spaziare in piu' campi, e non tenersi solo in uno. Poi, non sarebbe l'ideale proporre problemi esageratamente difficili, cosi' non si ferma tutto.
Problema 1
Siano $a,b,c$ tre interi distinti, e sia $P$ un polinomio a coefficienti interi. Dimostrare che e' impossibile avere che $P(a)=b,P(b)=c,P(c)=a$.
Sarebbe bello se si riuscisse a spaziare in piu' campi, e non tenersi solo in uno. Poi, non sarebbe l'ideale proporre problemi esageratamente difficili, cosi' non si ferma tutto.
Problema 1
Siano $a,b,c$ tre interi distinti, e sia $P$ un polinomio a coefficienti interi. Dimostrare che e' impossibile avere che $P(a)=b,P(b)=c,P(c)=a$.
Risposte
$f(x) = \{(1, "se " -1 \le x \le 1),(\frac{1}{\sqrt{|x|}}, "else"):}$
Mi pare funga...
Mi pare funga...
"e^iteta":
trovare una funzione continua $RR->RR^+$
tale che:
$lim_(x->+oo) f(x) = 0$
e
$int_0^(+oo) f(x) >+oo$
se intendevi dire $int_0^(+oo) f(x)
Scusa ficus2002, ma e^iteta aveva chiesto $\int_{0}^{+\infty} f(x) > +\infty$, cioè divergente...
"Tipper":
Scusa ficus2002, ma e^iteta aveva chiesto $\int_{0}^{+\infty} f(x) > +\infty$, cioè divergente...
Non può essere $\int_{0}^{+\infty} f(x) > +\infty$. Al massimo $\int_{0}^{+\infty} f(x) = \infty$ ...
Ooopppsss... 
Oggi non c'ho proprio la testa...
Oggi non c'ho proprio la testa...
@ ficus: non so come ma nel tuo quote il maggiore è scambiato con un minore!
@ tutti: vi chiedo scusa, la questione così posta era banale, purtoppo da cretino non ricordo come fosse la vera questione, che invece sono sicuro essere se non altro un pochino più impegnativa...nel frattempo cedo il mio problema a Tipper, che ha risolto correttamente e per primo!
@ tutti: vi chiedo scusa, la questione così posta era banale, purtoppo da cretino non ricordo come fosse la vera questione, che invece sono sicuro essere se non altro un pochino più impegnativa...nel frattempo cedo il mio problema a Tipper, che ha risolto correttamente e per primo!
"e^iteta":
@ ficus: non so come ma nel tuo quote il maggiore è scambiato con un minore!
Pensavo che $>oo$ fosse un errore di stampa...
Più che risolto correttamente, ho interpretato correttamente (anche se non volendo, lo ammetto ) quello che intendevi (perché come mi ha fatto notare ficus, quello che c'era scritto aveva poco senso...).
Sia come sia, non avendo problemi da proporre sono andato a rovistare in qualche documento salvato da non so quanto tempo sul disco, e ho trovato questo:
Provare che per ogni intero $n > 1$, la successione finita
$\{n! + k\}_{k = 2, 3, \ldots, n}$
non contiene numeri primi. Dedurne che, per ogni intero positivo $n$, esistono due primi consecutivi $p,q$ tali che $q - p \ge n$.
PS: io non ho idea come si faccia, sta a voi stabilire se e quale soluzione sia corretta...
) quello che intendevi (perché come mi ha fatto notare ficus, quello che c'era scritto aveva poco senso...).Sia come sia, non avendo problemi da proporre sono andato a rovistare in qualche documento salvato da non so quanto tempo sul disco, e ho trovato questo:
Provare che per ogni intero $n > 1$, la successione finita
$\{n! + k\}_{k = 2, 3, \ldots, n}$
non contiene numeri primi. Dedurne che, per ogni intero positivo $n$, esistono due primi consecutivi $p,q$ tali che $q - p \ge n$.
PS: io non ho idea come si faccia, sta a voi stabilire se e quale soluzione sia corretta...
Non può essere $int_0^(+oo)f(x)>+oo$ Al massimo $int_0^(+oo)f(x)=+oo$
chiedo scusa, avendolo visto da qualche parte pensavo fosse un metodo "convenzionale" per indicare la divergenza...
si avete interpretato correttamente.
PS comunque mi è venuto in mente, la questione era analoga ma richiedeva $lim_(x->+oo)f(x)!=0$
Se deve divergere, e il limite per $x \to +\infty$ deve essere diverso da zero, è ancora più banale...
ok, per provare il problema di Tipper:
la prima parte sembrerebbe semplice, infatti se $n! = 1*2*3*...*n$ allora, siccome $1
$n!+k= k{[1*2*..*(k-1)][(k+1)*(k+2)*...*n] + 1}$
ne segue che la sequenza non contiene numeri primi.
in questo modo posso costruire sequenze di numeri primi lunghe quanto voglio. in particolare, ai fini della seconda questione, posso costruirne una lunga n e scegliere i due primi che si trovano agli estremi di questa sequenza(cioè il numero primo più grande che sia minore del minimo della sequenza e viceversa). avrò che questi per questi due primi, evidentemente successivi, varrà $q-p>=n$
che ve ne sembra?
la prima parte sembrerebbe semplice, infatti se $n! = 1*2*3*...*n$ allora, siccome $1
$n!+k= k{[1*2*..*(k-1)][(k+1)*(k+2)*...*n] + 1}$
ne segue che la sequenza non contiene numeri primi.
in questo modo posso costruire sequenze di numeri primi lunghe quanto voglio. in particolare, ai fini della seconda questione, posso costruirne una lunga n e scegliere i due primi che si trovano agli estremi di questa sequenza(cioè il numero primo più grande che sia minore del minimo della sequenza e viceversa). avrò che questi per questi due primi, evidentemente successivi, varrà $q-p>=n$
che ve ne sembra?
@Tipper si è vero, la questione era ancora divera ed ora che ho spulciato i mie vecchi appunti ho visto esattamente com'era, ma non voglio ritirarla fuori perchè mi sembra che ormai ne ho già dette abbastanza e ho confuso tutti su questo argomento.
Riguardo al problema di Tipper...
Per ogni k dell'insieme 2,3,...,n si ha che k divide n!+k. Da questo segue che per ogni n l'insieme così definito determina una successione di n-2 composti consecutivi. In generale è quindi possibile ottenere sequenze di composti di lunghezza arbitraria, a questo aggiungiamo che l'insieme dei primi è infinito (come il buon vecchio euclide docet) e la faccenda è risolta.
Scusate la quasi assenza di formalismo, colpa grave lo so, ma ancora non ho imparato ad usare Latex...
Per ogni k dell'insieme 2,3,...,n si ha che k divide n!+k. Da questo segue che per ogni n l'insieme così definito determina una successione di n-2 composti consecutivi. In generale è quindi possibile ottenere sequenze di composti di lunghezza arbitraria, a questo aggiungiamo che l'insieme dei primi è infinito (come il buon vecchio euclide docet) e la faccenda è risolta.
Scusate la quasi assenza di formalismo, colpa grave lo so, ma ancora non ho imparato ad usare Latex...
ok ok anticipato da e^iteta, che usa anche il Tex e mi manda al tappeto senza fatica 
saluti
saluti
tutto merito del Tex, perchè in fatto di contenuti le nostre risposte erano praticamente equivalenti...in ogni caso io ho già creato abbastanza confusione, per cui lascio volentieri a te l'onore di proporre il prossimo problema! 
ok visto che Levacci è scomparso e io sono a casa da solo propongo il mio quesito, che mi auguro abbia finalmente raggiunto una forma compiuta e non banale:
trovare $f$ continua $RR->RR^+$ tale che:
$lim_(x->oo)f(x)!=0$
ma che $int_(-oo)^(+oo)f(x)dx$ sia convergente
giusto un chiarimento: il limite non deve per forze esistere.
ovviamente nel caso Levacci voglia presentare un problema ritirerò questo, come mi sembra giusto fare.
EDIT: messo a posto il dominio...
trovare $f$ continua $RR->RR^+$ tale che:
$lim_(x->oo)f(x)!=0$
ma che $int_(-oo)^(+oo)f(x)dx$ sia convergente
giusto un chiarimento: il limite non deve per forze esistere.
ovviamente nel caso Levacci voglia presentare un problema ritirerò questo, come mi sembra giusto fare.
EDIT: messo a posto il dominio...
Ma se il dominio è $\mathbb{R}^+$, come fa l'integrale ad essere esteso da $-\infty$? E comunque io sapevo che condizione necessaria affinché $\int_{0}^{+\infty} f(x) dx < \infty$ è $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$...
hai ragione, è stata una svista, edito subito e me ne scuso!
comunque la condizione che dici tu vale solo se il limite della funzione esiste. se non esiste allora tutto è lecito.
comunque la condizione che dici tu vale solo se il limite della funzione esiste. se non esiste allora tutto è lecito.
Sia $f(x)$ la funzione costituita da triangoli di altezza $|k|$ e base $2 / |k|^3$ per ogni $k in ZZ - {0}$ (per $k = 0$ la poniamo uguale a zero).
L'area del k-esimo triangolo è chiaramente data da $A_k = 1/2 * 2/(|k|^3) * |k| = 1 / (k^2)$.
Quindi l'integrale si riduce semplicemente alla somma di queste aree, ovvero $f(x) = \int_(-oo)^(+oo) f(x) dx = 2 \sum_(k=1)^(+oo) A_k = \pi^2 / 3$.
L'area del k-esimo triangolo è chiaramente data da $A_k = 1/2 * 2/(|k|^3) * |k| = 1 / (k^2)$.
Quindi l'integrale si riduce semplicemente alla somma di queste aree, ovvero $f(x) = \int_(-oo)^(+oo) f(x) dx = 2 \sum_(k=1)^(+oo) A_k = \pi^2 / 3$.
"e^iteta":
trovare $f$ continua $RR->RR^+$ tale che:
$lim_(x->oo)f(x)!=0$
ma che $int_(-oo)^(+oo)f(x)dx$ sia convergente
Provo (ammesso e non concesso che nella tua notazione $\mathbb{R}^+$ includa lo zero...):
$f(x) = \{(1, "se " x " è razionale"),(0, "else"):}$
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