Maratona di problemi
Proviamo a fare questa cosa: comincio col proporre io un problema (abbastanza facile), poi chi lo risolve propone a sua volta un problema etc etc. Se il risolutore di un problema non ha niente da proporre, puo' dare il permesso ad altri di proporne uno.
Sarebbe bello se si riuscisse a spaziare in piu' campi, e non tenersi solo in uno. Poi, non sarebbe l'ideale proporre problemi esageratamente difficili, cosi' non si ferma tutto.
Problema 1
Siano $a,b,c$ tre interi distinti, e sia $P$ un polinomio a coefficienti interi. Dimostrare che e' impossibile avere che $P(a)=b,P(b)=c,P(c)=a$.
Sarebbe bello se si riuscisse a spaziare in piu' campi, e non tenersi solo in uno. Poi, non sarebbe l'ideale proporre problemi esageratamente difficili, cosi' non si ferma tutto.
Problema 1
Siano $a,b,c$ tre interi distinti, e sia $P$ un polinomio a coefficienti interi. Dimostrare che e' impossibile avere che $P(a)=b,P(b)=c,P(c)=a$.
Risposte
"Eredir":
Un generico elemento si potrà scrivere come $n = 1 / (2^i 3^j)$, con i e j univocamente individuati da n.
Quindi si tratta di calcolare $sum_(i=1)^oo sum_(j=1)^oo 1 / (2^i 3^j) = sum_(i=1)^oo 1 / 2^i sum_(j=1)^oo 1 / 3^j = 1 \cdot 1/2 = 1/2$.
L'idea è buona ma il risultato è evidentemente sbagliato. Infatti:
$1/2+1/3+1/4+1/6+....>1/2$
Dovrebbe essere $sum_(i=0)^(+infty)sum_(j=0)^(+infty) 1/(2^i3^j)-1=2*3/2-1=2$
"luca.barletta":
Dovrebbe essere $sum_(i=0)^(+infty)sum_(j=0)^(+infty) 1/(2^i3^j)-1=2*3/2-1=2$
Esatto.
Dato che quella di Eredir è stata sicuramente una svista, lascio a lui il compito di proporre il prossimo quesito.
"luca.barletta":
Dato che quella di Eredir è stata sicuramente una svista, lascio a lui il compito di proporre il prossimo quesito.
Queste sono le cose che capitano postano ad ora quasi tarda...
In ogni caso al momento non ho un problema interessante da proporre, perciò lascio il compito a te che oltretutto hai dato la risposta corretta.
E allora
Problema
Su un segmento $AB$ si scelga un punto a caso $C$. Sul tratto $CB$ così formato si scelga un punto a caso $D$. Qual è la probabilità che i tre segmenti in cui resta diviso $AB$ possano formare un triangolo?
Problema
Su un segmento $AB$ si scelga un punto a caso $C$. Sul tratto $CB$ così formato si scelga un punto a caso $D$. Qual è la probabilità che i tre segmenti in cui resta diviso $AB$ possano formare un triangolo?
Ho interpretato il testo nel seguente modo:
$C~u(0,1)$ e $D|C~u(X,1)$ (AB=1).
Se questa è l'interpretazione corretta dovrebbe venire $p=ln2-1/2$.
Per ora mi fermo qui.
$C~u(0,1)$ e $D|C~u(X,1)$ (AB=1).
Se questa è l'interpretazione corretta dovrebbe venire $p=ln2-1/2$.
Per ora mi fermo qui.
Ok, posta il procedimento e il prossimo quesito.
Rinomino $C$ con $X$ e $D$ con $Y$.
Dall’ipotesi $X~u(01)$ , $Y|X~u(X,1)$ segue che la densità congiunta di $X$ e $Y$ è
$f(x,y)=1/(1-x)$ per $0<=x<=1$ e $x<=y<=1$.
I tre segmenti di lunghezza $X$, $Y-X$ e $1-Y$ formano un triangolo quando ciascun lato è minore della somma degli altri due. Questo porta alla condizione
$0
$p=int_0^(1/2)int_(1/2)^(x+1/2)1/(1-x)dxdy=ln2-1/2$.
[size=150]Nuovo problema[/size].
Le caselle di una scacchiera 3x3 vengono numerate da uno a nove in modo che numeri consecutivi siano assegnati a caselle adiacenti, cioè aventi un lato in comune.
La somma dei numeri assegnati alle quattro caselle in angolo può essere dispari?
Dall’ipotesi $X~u(01)$ , $Y|X~u(X,1)$ segue che la densità congiunta di $X$ e $Y$ è
$f(x,y)=1/(1-x)$ per $0<=x<=1$ e $x<=y<=1$.
I tre segmenti di lunghezza $X$, $Y-X$ e $1-Y$ formano un triangolo quando ciascun lato è minore della somma degli altri due. Questo porta alla condizione
$0
$p=int_0^(1/2)int_(1/2)^(x+1/2)1/(1-x)dxdy=ln2-1/2$.
[size=150]Nuovo problema[/size].
Le caselle di una scacchiera 3x3 vengono numerate da uno a nove in modo che numeri consecutivi siano assegnati a caselle adiacenti, cioè aventi un lato in comune.
La somma dei numeri assegnati alle quattro caselle in angolo può essere dispari?
No.
Riusciamo a completare la numerazione quando:
1. partiamo dal centro
2. partiamo da uno dei 4 angoli esterni
Caso 1.
C'è una sola numerazione possibile che porta ai 4 angoli i numeri 3+5+7+9=24.
Caso 2.
Sicuramente 1 è il primo addendo, dato che ci dobbiamo spostare su caselle sempre adiacenti, la casella centrale e i 4 angoli esterni saranno occupati dai 5 numeri dispari. Dunque sommando 4 numeri dispari otteniamo un pari.
Riusciamo a completare la numerazione quando:
1. partiamo dal centro
2. partiamo da uno dei 4 angoli esterni
Caso 1.
C'è una sola numerazione possibile che porta ai 4 angoli i numeri 3+5+7+9=24.
Caso 2.
Sicuramente 1 è il primo addendo, dato che ci dobbiamo spostare su caselle sempre adiacenti, la casella centrale e i 4 angoli esterni saranno occupati dai 5 numeri dispari. Dunque sommando 4 numeri dispari otteniamo un pari.
Bene!
Problema
Su un foglio di carta rigata viene lanciato un fiammifero di lunghezza $l$; la distanza tra le righe del foglio è $d>l$. Qual è la probabilità che il fiammifero intersechi una riga? Si assumano distribuiti uniformemente la posizione del centro del fiammifero e la sua inclinazione.
Su un foglio di carta rigata viene lanciato un fiammifero di lunghezza $l$; la distanza tra le righe del foglio è $d>l$. Qual è la probabilità che il fiammifero intersechi una riga? Si assumano distribuiti uniformemente la posizione del centro del fiammifero e la sua inclinazione.
Dannati calcoli! $l/d\cdot 2/\pi$ ?
$l/d\cdot 2/\pi$ ?
Ti rispondo io: è giusto.
Ok. Sarò stringato con le spiegazioni.
Senza perdita di generalità possiamo assumere che $l/2=1$ e quindi poniamo $d'=d/(l/2)$ la nuova distanza delle righe.
Certamente se il centro del fiammifero cade a distanza maggiore di $l/2$ da entrambe le righe, allora non intersechera' le righe. Dunque i casi che offrono speranza di intersezione sono $l/(d')=2/(d/(l/2))=l/d$.
Se dunque poniamo $x$ l'ascissa del centro del fiammifero, e supponiamo che disti meno di $l/2=1$ da uno dei due estremi, la probabilita' che intersechi le righe si ottiene cosi':
$1/(\pi/2)int_0^1 arccos(1-x) dx=2/\pi\cdot 1=2/\pi$
Dunque la probabilita' cercata e'
$l/d\cdot 2/\pi$
Arrivo con il prossimo problema...
Senza perdita di generalità possiamo assumere che $l/2=1$ e quindi poniamo $d'=d/(l/2)$ la nuova distanza delle righe.
Certamente se il centro del fiammifero cade a distanza maggiore di $l/2$ da entrambe le righe, allora non intersechera' le righe. Dunque i casi che offrono speranza di intersezione sono $l/(d')=2/(d/(l/2))=l/d$.
Se dunque poniamo $x$ l'ascissa del centro del fiammifero, e supponiamo che disti meno di $l/2=1$ da uno dei due estremi, la probabilita' che intersechi le righe si ottiene cosi':
$1/(\pi/2)int_0^1 arccos(1-x) dx=2/\pi\cdot 1=2/\pi$
Dunque la probabilita' cercata e'
$l/d\cdot 2/\pi$
Arrivo con il prossimo problema...
Problema. Un gruppo di 11 scienziati sta lavorando ad un progetto segreto, e le documentazioni ad esso relative sono tenute in una cassetta di sicurezza. Gli scienziati vogliono essere in grado di aprire la cassetta di sicurezza solo quando sono presenti in maggioranza. Sicche' la cassetta di sicurezza viene dotata di un certo numero di lucchetti, e ad ogni scienziato vengono date la chiavi di un certo numero di lucchetti. Quanti lucchetti sono necessari e quante chiavi deve avere ciascun scienziato?
Come inizio, si puo' dire subito che il numero di lucchetti necessari e' $((11),(6))=462$, perche' e' il numero di modi in cui scegliere 6 oggetti da un insieme di 11.
Per avere il numero di lucchetti che ciascuno e' in grado di aprire, basta dividere 462 per 11, ottenendo 42. Per essere in maggioranza, gli scienziati devono presentarsi in 6, quindi basta moltiplicare 42 per 6, il che ci da' 252, il numero minimo di chiavi necessarie.
Per avere il numero di lucchetti che ciascuno e' in grado di aprire, basta dividere 462 per 11, ottenendo 42. Per essere in maggioranza, gli scienziati devono presentarsi in 6, quindi basta moltiplicare 42 per 6, il che ci da' 252, il numero minimo di chiavi necessarie.
Credo di aver dato la risposta giusta, percio' ne propongo un altro.
Problema
Determinare tutti i rettangoli $m\times n$ tassellabili con pezzi della seguente forma
Problema
Determinare tutti i rettangoli $m\times n$ tassellabili con pezzi della seguente forma
Non vorrei sbagliare, ma credo che pezzi siffatti, per tassellare
uno spazio, debbano essere combinati due a due in modo da formare
dei rettangoli $4 times 3$. Disponendoli tutti con la stessa orientazione,
è banale dire che un rettangolo può essere tassellato se è nella forma
$3h times 4k=12hk$, con $h,k in NN$. Disponendo invece un rettangolo $4 times 3$
vicino ad uno $3 times 4$ (se non è chiaro posso postare una figura), e
volendo costruire un rettangolo attorno a questi due pezzi, ci si accorge
che, per "pareggiare" le basi e le altezze, è necessario ricoprire una
lunghezza pari a $mcm(3,4)=12$. Sia allora, WLOG, la base di questo
rettangolo nella forma $3h+4k$. L'altezza sarà del tipo $12m$, e il
rettangolo da tassellare avrà dimensioni $(3h+4k) times 12m$, con $h,k,m in NN$.
Sviluppando il prodotto, si otterrà anche stavolta un rettangolo del tipo $12mn$.
Ho postato ma sono affatto sicuro, aspetto conferme ma più che altro smentite.
uno spazio, debbano essere combinati due a due in modo da formare
dei rettangoli $4 times 3$. Disponendoli tutti con la stessa orientazione,
è banale dire che un rettangolo può essere tassellato se è nella forma
$3h times 4k=12hk$, con $h,k in NN$. Disponendo invece un rettangolo $4 times 3$
vicino ad uno $3 times 4$ (se non è chiaro posso postare una figura), e
volendo costruire un rettangolo attorno a questi due pezzi, ci si accorge
che, per "pareggiare" le basi e le altezze, è necessario ricoprire una
lunghezza pari a $mcm(3,4)=12$. Sia allora, WLOG, la base di questo
rettangolo nella forma $3h+4k$. L'altezza sarà del tipo $12m$, e il
rettangolo da tassellare avrà dimensioni $(3h+4k) times 12m$, con $h,k,m in NN$.
Sviluppando il prodotto, si otterrà anche stavolta un rettangolo del tipo $12mn$.
Ho postato ma sono affatto sicuro, aspetto conferme ma più che altro smentite.
Scusa il ritardo. Ok, tutti quelli $4h\times3k$. Per il secondo tipo di rettangoli, va bene $12m\times n$, pero' va precisato che $n$ deve essere $\ge3$ e $\ne5$. A te la palla!
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