Maratona di problemi
Proviamo a fare questa cosa: comincio col proporre io un problema (abbastanza facile), poi chi lo risolve propone a sua volta un problema etc etc. Se il risolutore di un problema non ha niente da proporre, puo' dare il permesso ad altri di proporne uno.
Sarebbe bello se si riuscisse a spaziare in piu' campi, e non tenersi solo in uno. Poi, non sarebbe l'ideale proporre problemi esageratamente difficili, cosi' non si ferma tutto.
Problema 1
Siano $a,b,c$ tre interi distinti, e sia $P$ un polinomio a coefficienti interi. Dimostrare che e' impossibile avere che $P(a)=b,P(b)=c,P(c)=a$.
Sarebbe bello se si riuscisse a spaziare in piu' campi, e non tenersi solo in uno. Poi, non sarebbe l'ideale proporre problemi esageratamente difficili, cosi' non si ferma tutto.
Problema 1
Siano $a,b,c$ tre interi distinti, e sia $P$ un polinomio a coefficienti interi. Dimostrare che e' impossibile avere che $P(a)=b,P(b)=c,P(c)=a$.
Risposte
Il campo di appartenenza delle incognite?
Reale .
karl
karl
La seconda equazione si può scrivere come: $(x+y+z)^2-2xy-2xz-2yz=18$, da cui $xy+xz+yz=9$ (1).
Ora passiamo alla terza equazione, che si può scrivere come $(x+y+z)^3-3x^2y-3x^2z-3xy^2-6xyz-3xz^2-3y^2z-3yz^2=60$.
Raccogliendo, si ha $x^2(3y+3z)+x(3y^2+3z^2)+6xyz+3y^2z+3yz^2-156=0$. Sommando e sottraendo due volte $3x^3$,
si ottiene $-3x^3+x^2(3x+3y+3z)-3x^3+x(3x^2+3y^2+3z^2)+6xyz+3y^2z+3yz^2-156=0$.
Restano da sistemare i penultimi tre termini, onde ottenere un'equazione nella sola $x$.
Si ha che $6xyz+3y^2z+3yz^2=3xyz+3xyz+3y^2z+3yz^2=3yz(x+y+z)+3xyz$ (2).
Dalla (1) ricaviamo $yz=9-xy-xz$, perciò il trinomio diventa $6cdot3cdot(9-xy-xz)+3x(9-xy-xz)=162-18xy-18xz+27x-3x^2y-3x^2z$.
Al solito, aggiungiamo e sottraiamo $18x^2$ e $3x^3$ per avere
$162+18x^2-18x(x+y+z)+3x^3-3x^2(x+y+z)+27x$. L'equazione in $x$ è allora
$-3x^3+18x^2-27x+6=0$, che, risolta, restituisce i tre valori $2$, $sqrt3+2$, $2-sqrt3$.
Vista la simmetria del problema, le soluzioni del sistema sono le permutazioni della terna $(2,sqrt3+2,2-sqrt3)$.
Ora passiamo alla terza equazione, che si può scrivere come $(x+y+z)^3-3x^2y-3x^2z-3xy^2-6xyz-3xz^2-3y^2z-3yz^2=60$.
Raccogliendo, si ha $x^2(3y+3z)+x(3y^2+3z^2)+6xyz+3y^2z+3yz^2-156=0$. Sommando e sottraendo due volte $3x^3$,
si ottiene $-3x^3+x^2(3x+3y+3z)-3x^3+x(3x^2+3y^2+3z^2)+6xyz+3y^2z+3yz^2-156=0$.
Restano da sistemare i penultimi tre termini, onde ottenere un'equazione nella sola $x$.
Si ha che $6xyz+3y^2z+3yz^2=3xyz+3xyz+3y^2z+3yz^2=3yz(x+y+z)+3xyz$ (2).
Dalla (1) ricaviamo $yz=9-xy-xz$, perciò il trinomio diventa $6cdot3cdot(9-xy-xz)+3x(9-xy-xz)=162-18xy-18xz+27x-3x^2y-3x^2z$.
Al solito, aggiungiamo e sottraiamo $18x^2$ e $3x^3$ per avere
$162+18x^2-18x(x+y+z)+3x^3-3x^2(x+y+z)+27x$. L'equazione in $x$ è allora
$-3x^3+18x^2-27x+6=0$, che, risolta, restituisce i tre valori $2$, $sqrt3+2$, $2-sqrt3$.
Vista la simmetria del problema, le soluzioni del sistema sono le permutazioni della terna $(2,sqrt3+2,2-sqrt3)$.
Procedimento piuttosto abile.
E' possibile giungere alla risolvente anche rifacendosi alle
relazioni tra equazioni algebriche e coefficienti di essa.
Come giustamente indicata da Elgiovo e' xy+yz+zx=9
Sussiste inoltre l'identita' :
$x^3+y^3+z^3=3xyz+(x+y+z)[(x^2+y^2+z^2)-(xy+yz+zx)]$
Da cui,per quanto gia' noto, si ricava che:
xyz=2
Raccogliendo si ha che :
x+y+z=6,xy+yz+zx=9,xyz=2
e queste 3 ultime relazioni ci dicono che x,y e z si possono considerare come
le radici di un'equazione di 3° grado,che e' poi quella stessa trovata da Elgiovo:
$u^3-6u^2+9u-2=0$
karl
E' possibile giungere alla risolvente anche rifacendosi alle
relazioni tra equazioni algebriche e coefficienti di essa.
Come giustamente indicata da Elgiovo e' xy+yz+zx=9
Sussiste inoltre l'identita' :
$x^3+y^3+z^3=3xyz+(x+y+z)[(x^2+y^2+z^2)-(xy+yz+zx)]$
Da cui,per quanto gia' noto, si ricava che:
xyz=2
Raccogliendo si ha che :
x+y+z=6,xy+yz+zx=9,xyz=2
e queste 3 ultime relazioni ci dicono che x,y e z si possono considerare come
le radici di un'equazione di 3° grado,che e' poi quella stessa trovata da Elgiovo:
$u^3-6u^2+9u-2=0$
karl
La maratona prosegue:
Problema
Quando il numero $4444^(4444)$ è scritto per esteso in notazione decimale,
la somma delle sue cifre è $A$. Sia $B$ la somma delle cifre di $A$. Trovare
la somma delle cifre di $B$.
Problema
Quando il numero $4444^(4444)$ è scritto per esteso in notazione decimale,
la somma delle sue cifre è $A$. Sia $B$ la somma delle cifre di $A$. Trovare
la somma delle cifre di $B$.
Serve soltanto il seguente fatto (ovvio, ma utile).
La massima somma possibile delle cifre di un intero di $n$ cifre, è $9n$. Oppure, scritto in modo che possa essere utile: $S(n)\le 9*[log_10 n +1]$, dove $S(n)$ è la somma delle cifre di $n$ è $[\cdot]$ è la funzione pavimento.
Sia $n=4444^4444$. Ora abbiamo $S(n)\le 9*[log_10 n+1]<9*[log_10 10000^4444+1]=9(4444*4)<9*20000=18000$. Quindi $S(A)
La massima somma possibile delle cifre di un intero di $n$ cifre, è $9n$. Oppure, scritto in modo che possa essere utile: $S(n)\le 9*[log_10 n +1]$, dove $S(n)$ è la somma delle cifre di $n$ è $[\cdot]$ è la funzione pavimento.
Sia $n=4444^4444$. Ora abbiamo $S(n)\le 9*[log_10 n+1]<9*[log_10 10000^4444+1]=9(4444*4)<9*20000=18000$. Quindi $S(A)
Penso che volessi scrivere $S(B)=7$. 
Va bene, ma non è così scontato (a meno che non si usi una calcolatrice) che $n \equiv 7 (mbox(mod) 9)$.
Oltre a questo
e questo
la difficoltà sta proprio nel calcolo di $n (mbox(mod)9)$.
Inoltre ecco un modo alternativo (in verità non molto diverso da quello di TomSawyer)
per limitare con un upper bound $S(B)$:
si ha che $n<(10^5)^(4444)=10^(22220)$, quindi $n$ avrà meno di 22220 cifre.
Allora $S(n)=A<22220cdot9=199980$. Per un ragionamento del tutto analogo,
$S(A)=B<6cdot9=54$. L'intero positivo più piccolo di 54 tale che $S(B)$ sia massimo
è 49, che, "sommato", dà 13. Quindi $S(B)<=13$.
Va bene, ma non è così scontato (a meno che non si usi una calcolatrice) che $n \equiv 7 (mbox(mod) 9)$.
Oltre a questo
La massima somma possibile delle cifre di un intero di $n$ cifre, è $9n$.
e questo
come è noto, ogni numero è congruente alla somma delle sue cifre modulo $9$
la difficoltà sta proprio nel calcolo di $n (mbox(mod)9)$.
Inoltre ecco un modo alternativo (in verità non molto diverso da quello di TomSawyer)
per limitare con un upper bound $S(B)$:
si ha che $n<(10^5)^(4444)=10^(22220)$, quindi $n$ avrà meno di 22220 cifre.
Allora $S(n)=A<22220cdot9=199980$. Per un ragionamento del tutto analogo,
$S(A)=B<6cdot9=54$. L'intero positivo più piccolo di 54 tale che $S(B)$ sia massimo
è 49, che, "sommato", dà 13. Quindi $S(B)<=13$.
Sì, of course 
.
Hmm, a dire il vero, mi sembrava abbastanza facile calcolare $4444^4444(mod9)$, perché basta usare il Teorema di Euler e osservare che $\varphi(9)=6$ e si ha $4444^4444\equiv (7^740)^6*7^4\equiv1*7^4\equiv7(mod9)$.
.Hmm, a dire il vero, mi sembrava abbastanza facile calcolare $4444^4444(mod9)$, perché basta usare il Teorema di Euler e osservare che $\varphi(9)=6$ e si ha $4444^4444\equiv (7^740)^6*7^4\equiv1*7^4\equiv7(mod9)$.
Ottimo. In alternativa: $4444=9 x 493+7$, quindi $4444\equiv 7(mod9)$.
Inoltre, $7^3 \equiv 1(mod9)$. Poichè $4444=3x1481+1$, si ha
$4444^(4444)\equiv 7^(4444)(mod9)\equiv 7^(3x1481)x7(mod9)\equiv7(mod9)$.
Vai col prossimo.
Inoltre, $7^3 \equiv 1(mod9)$. Poichè $4444=3x1481+1$, si ha
$4444^(4444)\equiv 7^(4444)(mod9)\equiv 7^(3x1481)x7(mod9)\equiv7(mod9)$.
Vai col prossimo.
Yep, stessa cosa. Ah, sì, volevo unirmi a karl nel definire il tuo procedimento di prima "piuttosto abile".
Problema
Siano $a,b,c \in RR$ tali che $a+b+c=15$ e $ab+ac+bc=27$. Trovare l'intervallo dei valori che l'espressione $abc$ può assumere.
Problema
Siano $a,b,c \in RR$ tali che $a+b+c=15$ e $ab+ac+bc=27$. Trovare l'intervallo dei valori che l'espressione $abc$ può assumere.
"karl":
${(x+y+z=(6)),(x^2+y^2+z^2=(18)),(x^3+y^3+z^3=(60)):}$
Mi ricollego al quiz di Karl e faccio una
piccola considerazione che mi è possibile
aggiungere solo adesso (il tempo latita!).
Osservo che la caratteristica scelta delle
costanti soddisfa la relazione:
$2cdot(6)^3-9cdot(6)cdot(18)+9cdot(60)=0$
e permette di dire che le soluzioni sono:
${(6)}/3 = 2,$
${(6)}/3-sqrt{(3cdot(18)-(6)^2)/6}=2-sqrt3,$
${(6)}/3+sqrt{(3cdot(18)-(6)^2)/6}=2+sqrt3.$
Più in generale, i particolari sistemi del tipo
(giusto per fare un esempio):
${(x+y+z=3p),(x^2+y^2+z^2=q),(x^3+y^3+z^3=3pq-6p^3):}$
possono essere trattati in maniera simile.
(Queste sono le mie prime formule scritte con
il vostro programma! Grazie ancora ad Admin
e collaboratori!)
Grazie alle relazioni tra coefficienti dei polinomi e loro radici, i numeri reali $a,b,c$ si possono vedere come
radici di un polinomio di terzo grado monico nella forma $z^3+15z^2+27z+abc$.
Per risolvere l'equazione $z^3+15z^2+27z+abc=0$ (1) usiamo il metodo di Cardano.
In primis, operiamo la sostituzione $z=x-5$, grazie alla quale si ottiene l'equazione $x^3-48x=-abc-115$ (2).
Risulta quindi $x=root(3)((-abc-115)/2+sqrt((-48/3)^3+((-abc-115)/2)^2))-root(3)((abc+115)/2+sqrt((-48/3)^3+((-abc-115)/2)^2))$.
Perchè le radici $a,b,c$ dell'equazione (1) siano reali come da ipotesi, occorre che $(-48/3)^3<=-((-abc-115)/2)^2$ (3).
La (3) è una disequazione di secondo grado che, risolta, ci dice che $abc$ deve appartenere all'intervallo $[-243,13]$.
radici di un polinomio di terzo grado monico nella forma $z^3+15z^2+27z+abc$.
Per risolvere l'equazione $z^3+15z^2+27z+abc=0$ (1) usiamo il metodo di Cardano.
In primis, operiamo la sostituzione $z=x-5$, grazie alla quale si ottiene l'equazione $x^3-48x=-abc-115$ (2).
Risulta quindi $x=root(3)((-abc-115)/2+sqrt((-48/3)^3+((-abc-115)/2)^2))-root(3)((abc+115)/2+sqrt((-48/3)^3+((-abc-115)/2)^2))$.
Perchè le radici $a,b,c$ dell'equazione (1) siano reali come da ipotesi, occorre che $(-48/3)^3<=-((-abc-115)/2)^2$ (3).
La (3) è una disequazione di secondo grado che, risolta, ci dice che $abc$ deve appartenere all'intervallo $[-243,13]$.
"elgiovo":
Grazie alle relazioni tra coefficienti dei polinomi e loro radici, i numeri reali $a,b,c$ si possono vedere come
radici di un polinomio di terzo grado monico nella forma $z^3+15z^2+27z+abc$.
Da qui e' tutta discesa. Soluzione corretta. A te il prossimo problema.
Posto una specie di classifica parziale. (Ho tralasciato i problemi noti a cui non sono state date soluzioni proprie)
elgiovo 3
TomSawyer 3
rubick 2
karl 1
vl4d 1
elgiovo 3
TomSawyer 3
rubick 2
karl 1
vl4d 1
Problema
Sia $G_n=x^n sin nA+y^n sin nB+z^n sin nC$, dove $x,y,z,A,B,C$
sono numeri reali e $A+B+C$ è un multiplo intero di $pi$.
Provare che se $G_1=G_2=0$, allora $G_n=0$ per ogni
intero positivo $n$.
Sia $G_n=x^n sin nA+y^n sin nB+z^n sin nC$, dove $x,y,z,A,B,C$
sono numeri reali e $A+B+C$ è un multiplo intero di $pi$.
Provare che se $G_1=G_2=0$, allora $G_n=0$ per ogni
intero positivo $n$.
Forse sbaglio, ma questo problema mi sembra difficile.
Una soluzione si trova qui:
http://www.kalva.demon.co.uk/usa/usoln/usol803.html
Per mandare avanti la maratona, ne propongo uno io.
In un allevamento ci sono 50 struzzi.
30 struzzi vengono catturati, marchiati e poi liberati.
Calcolare la probabilità che sia necessario ricatturare (senza liberare) 20 struzzi in modo da ottenere 5 struzzi marchiati.
Una soluzione si trova qui:
http://www.kalva.demon.co.uk/usa/usoln/usol803.html
Per mandare avanti la maratona, ne propongo uno io.
In un allevamento ci sono 50 struzzi.
30 struzzi vengono catturati, marchiati e poi liberati.
Calcolare la probabilità che sia necessario ricatturare (senza liberare) 20 struzzi in modo da ottenere 5 struzzi marchiati.
Non so se ho capito bene, se cerchiamo la probabilita' che il processo "catturo lo struzzo" dia il quinto
successo al 20-esimo tentativo, io risolverei cosi':
Consideriamo le n-uple $(j_1, j_2, ...)$ dove $j_i$ assume valore $M$ se lo struzzo $i$-esimo e' marchiato,
e $N$ se lo struzzo $i$-esimo non e' marchiato. Stiamo cercando la probabilita':
di avere esattamente 4 M prima di $j_20$ (evento $A$)
e $j_20 = M$ (evento $B$).
In generale con $n$ struzzi, $n_1$ marchiati e $n-n_1$ non marchiati, la probabilita' di prendere un gruppo di
$r$ struzzi con esattamente $k$ marchiati e' data dalla ipergeometrica:
$P(A) = (((n_1), (k))((n-n_1),(r-k)))/(((n),(r)))$
La probabilita' che l'$n+1$-esimo sia marchiato e' allora $P(B|A) = (n_1-k)/(n-r)$
allora si ha con le prob. condizionate
$P(B\cap A) = P(B|A)P(A) = (((n_1), (k))((n-n_1),(r-k)))/(((n),(r))) (n_1-k)/(n-r)$
Nel nostro caso $n=50$ $n_1 = 30$ $r=19$ $k=4$ e se $p$ e' la prob. cercata risulta:
$p=1.172\cdot 10^(-5)$
forse e' un po' piccola ?
successo al 20-esimo tentativo, io risolverei cosi':
Consideriamo le n-uple $(j_1, j_2, ...)$ dove $j_i$ assume valore $M$ se lo struzzo $i$-esimo e' marchiato,
e $N$ se lo struzzo $i$-esimo non e' marchiato. Stiamo cercando la probabilita':
di avere esattamente 4 M prima di $j_20$ (evento $A$)
e $j_20 = M$ (evento $B$).
In generale con $n$ struzzi, $n_1$ marchiati e $n-n_1$ non marchiati, la probabilita' di prendere un gruppo di
$r$ struzzi con esattamente $k$ marchiati e' data dalla ipergeometrica:
$P(A) = (((n_1), (k))((n-n_1),(r-k)))/(((n),(r)))$
La probabilita' che l'$n+1$-esimo sia marchiato e' allora $P(B|A) = (n_1-k)/(n-r)$
allora si ha con le prob. condizionate
$P(B\cap A) = P(B|A)P(A) = (((n_1), (k))((n-n_1),(r-k)))/(((n),(r))) (n_1-k)/(n-r)$
Nel nostro caso $n=50$ $n_1 = 30$ $r=19$ $k=4$ e se $p$ e' la prob. cercata risulta:
$p=1.172\cdot 10^(-5)$
forse e' un po' piccola ?
E' riapparso il topic, come ti ho detto in privato, la tua soluzione è giusta.
Adesso la palla passa a te!
Ah dimenticavo... in letteratura la distribuzione trovata da vl4d è detta ipergeometrica negativa.
Adesso la palla passa a te!
Ah dimenticavo... in letteratura la distribuzione trovata da vl4d è detta ipergeometrica negativa.
Mostrare che un numero palindromo (decimale) di lunghezza pari e' divisibile per 11
Tenendo conto che
$10^n$ è congruo a 1 mod11 se n è pari e congruo a -1 mod11 se $n$ dispari, si ha che il numero palindromo $n=a*10^(2n+1)+b*10^(2n)+...+b*10+a$ è congruo a zero mod11:
$[n]_11=[a]_11*[10^(2n+1)]_11+_11*[10^(2n)]_11+...+_11*[10]_11+[a]_11=[-a+b+...-b+a]_11=[0]_11$.
$10^n$ è congruo a 1 mod11 se n è pari e congruo a -1 mod11 se $n$ dispari, si ha che il numero palindromo $n=a*10^(2n+1)+b*10^(2n)+...+b*10+a$ è congruo a zero mod11:
$[n]_11=[a]_11*[10^(2n+1)]_11+_11*[10^(2n)]_11+...+_11*[10]_11+[a]_11=[-a+b+...-b+a]_11=[0]_11$.
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