Teoria dei segnali
Calcolare l'energia del segnale:
$y(t)=(1-cos(2pit))/(2pi^2t^2)$.
Dire inoltre come scegliere il periodo di campionamento in modo da poter ricostruire fedelmente il segnale $y(t)$.
$y(t)=(1-cos(2pit))/(2pi^2t^2)$.
Dire inoltre come scegliere il periodo di campionamento in modo da poter ricostruire fedelmente il segnale $y(t)$.
Risposte
Per l'energia devi calcolare $\int_{-\infty}^{+\infty} y^2(t) dt$, o, sfruttando il teorema di Parseval, ance $\int_{-\infty}^{+\infty} ||Y(f)||^2 df$, dove $Y(f) = \mathcal{F}\{y(t)\}$. Una volta calcolata la trasformata puoi determinare la banda del segnale, e il periodo di campionamento deve essere minore o uguale a $\frac{1}{2B}$, dove $B$ è la banda monolatera.
$y(t)=(1-cos^2(pit)+sen^2(pit))/(2pi^2t^2)=(2sen^2(pit))/(2pi^2t^2)=sinc^2(t) => ccF{y(t)}=triang(f)$.
E ora?
E ora?
La funzione triangolo la intendi definita così?
$"tr"("f")=\{(1-|"f"|, "se " |"f"|<1),(0, "else"):}$
Se così fosse, ti basterebbe calcolare $2 \int_{0}^{1} (1-f)^2 df$, e questa è l'energia, inoltre la banda $B$ vale $1$, pertanto il periodo di campionamento deve essere minore di $\frac{1}{2}$.
EDIT: avevo scritto male il triangolo.
$"tr"("f")=\{(1-|"f"|, "se " |"f"|<1),(0, "else"):}$
Se così fosse, ti basterebbe calcolare $2 \int_{0}^{1} (1-f)^2 df$, e questa è l'energia, inoltre la banda $B$ vale $1$, pertanto il periodo di campionamento deve essere minore di $\frac{1}{2}$.
EDIT: avevo scritto male il triangolo.
$triang(f)={(1-|f|,|f|<=1),(0 "altrove"):}$
Sì, allora va bene come ti ho detto (benché abbia scritto il triangolo in quel modo, in realtà, l'ho inteso come l'hai scritto tu).
"Tipper":
Sì, allora va bene come ti ho detto (benché abbia scritto il triangolo in quel modo, in realtà, l'ho inteso come l'hai scritto tu).
$B$ da cosa è dato?
Ed al posto di $1-f$ cosa devo andare a sostituire?
Il triangolo è diverso da zero solo per $"f" \in [-1,1]$, dunque la banda mololatera è $B=1$. Non ho capito cosa intendi con 'cosa devo sostituire a $1-f$', devi solo risolvere l'integrale.
"Tipper":
Il triangolo è diverso da zero solo per $"f" \in [-1,1]$, dunque la banda mololatera è $B=1$. Non ho capito cosa intendi con 'cosa devo sostituire a $1-f$', devi solo risolvere l'integrale.
$2/3$
"Tipper":
Il triangolo è diverso da zero solo per $"f" \in [-1,1]$, dunque la banda mololatera è $B=1$. Non ho capito cosa intendi con 'cosa devo sostituire a $1-f$', devi solo risolvere l'integrale.
In generale come trovo $B$?
Nel nostro caso,dunque, $T_c<1/2$,giusto?
Ci sono varie definizioni di banda... Il caso più semplice è quello in cui lo spettro di un segnale sia diverso da zero in un certo intervallo, come in questo caso, tale intervallo è la banda. Nel caso, ad esempio, del $"sinc"$ si considera la banda null to null, cioè le frequenze che stanno fra i due zeri; si considera questa come banda perché l'energia dovuta alle frequenze superiori si ritiene trascurabile con buona approssimazione. C'è poi la banda a 3dB, che è poi la frequenza alla quale il modulo diminuisce di un fattore $\frac{1}{\sqrt{2}}$ rispetto al valore di regime, c'è poi la banda efficace, di cui però, al momento, non mi ricordo la definizione...
"Ainéias":
Nel nostro caso,dunque, $T_c<1/2$,giusto?
Sì.
"Ainéias":
$y(t)=(1-cos(2pit))/(2pi^2t^2)$.
Però, se la funzione è questa, non è uguale a $"sinc"(t)$, ma a $\frac{"sinc"(t)}{2}$.
"Tipper":
[quote="Ainéias"]$y(t)=(1-cos(2pit))/(2pi^2t^2)$.
Però, se la funzione è questa, non è uguale a $"sinc"(t)$, ma a $\frac{"sinc"(t)}{2}$.[/quote]
$sinc^2(t)$ ho scritto.
Mi son dimenticato l'esponente, se non erro quella funzione vale $\frac{"sinc"^2(t)}{2}$.
"Ainéias":
$y(t)=(1\mathbf{-cos^2(2pit)+sen^2(2pit)})/(2pi^2t^2)=(2sen^2(2pit))/(2pi^2t^2)=sinc^2(t) => ccF{y(t)}=triang(f)$.
La roba in grassetto dovrebbe essere $-\cos^2(\pi t) + \sin^2(\pi t)$, ma comunque hai ragione, viene fuori $"sinc"^2(t)$.
"Tipper":
Mi son dimenticato l'esponente, se non erro quella funzione vale $\frac{"sinc"^2(t)}{2}$.
Sono d'accordo.Quindi la trasformata di Fourier viene $1/2triang(f)$
e la $B$?Viene $1/2$?
No, $B$ viene $1$, perché la funzione è diversa da zero nell'intervallo $[-1,1]$, per cui, considerando le frequenze positive, è diversa da zero in $[0, 1]$, dunque la banda è $B=1$.
Per quanto riguarda la trasformata avevi ragione te, perchè il $2$ al numeratore si semplifica con quello al denominatore, scusa per il casino che sto facendo...
Per quanto riguarda la trasformata avevi ragione te, perchè il $2$ al numeratore si semplifica con quello al denominatore, scusa per il casino che sto facendo...
"Tipper":
No, $B$ viene $1$, perché la funzione è diversa da zero nell'intervallo $[-1,1]$, per cui, considerando le frequenze positive, è diversa da zero in $[0, 1]$, dunque la banda è $B=1$.
Per quanto riguarda la trasformata avevi ragione te, perchè il $2$ al numeratore si semplifica con quello al denominatore, scusa per il casino che sto facendo...
Il 2 si semplifica,ma dentro l'argomento del seno figura,quindi secondo me viene $1/2sinc^2(t)$
$sinc(t)=(sin(pit))/(pit) => (sin^2(2pit))/(pi^2t^2)=1/2sinc^2(t)$,no?
C'è quel 2 come argomento del seno,che non figura al denominatore!
C'è quel 2 come argomento del seno,che non figura al denominatore!
"Ainéias":
Calcolare l'energia del segnale:
$y(t)=(1-cos(2pit))/(2pi^2t^2)$.
Dire inoltre come scegliere il periodo di campionamento in modo da poter ricostruire fedelmente il segnale $y(t)$.
A me torna così:
$\frac{1-\cos(2 \pi t)}{2 \pi^2 t^2} = \frac{1 - \cos^2(\pi t) + \sin^2(\pi t)}{2 \pi^2 t^2} = \frac{\sin^2(\pi t) + \sin^2(\pi t)}{2 \pi^2 t^2}=$
$=\frac{2\sin^2(\pi t)}{2 \pi^2 t^2} = \frac{\sin^2(\pi t)}{\pi^2 t^2} = (\frac{\sin(\pi t)}{\pi t})^2 = "sinc"(t)$
O più semplicemente
$\frac{1-\cos(2 \pi t)}{2 \pi^2 t^2} = \frac{1-\cos(2 \pi t)}{2} \frac{1}{\pi^2 t^2} = \sin^2(\pi t) \frac{1}{\pi^2 t^2} = (\frac{\sin(\pi t)}{\pi t})^2 = "sinc"^2(t)$
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