Teoria dei segnali
Calcolare l'energia del segnale:
$y(t)=(1-cos(2pit))/(2pi^2t^2)$.
Dire inoltre come scegliere il periodo di campionamento in modo da poter ricostruire fedelmente il segnale $y(t)$.
$y(t)=(1-cos(2pit))/(2pi^2t^2)$.
Dire inoltre come scegliere il periodo di campionamento in modo da poter ricostruire fedelmente il segnale $y(t)$.
Risposte
"Tipper":
[quote="Ainéias"]Calcolare l'energia del segnale:
$y(t)=(1-cos(2pit))/(2pi^2t^2)$.
Dire inoltre come scegliere il periodo di campionamento in modo da poter ricostruire fedelmente il segnale $y(t)$.
A me torna così:
$\frac{1-\cos(2 \pi t)}{2 \pi^2 t^2} = \frac{1 - \cos^2(\pi t) + \sin^2(\pi t)}{2 \pi^2 t^2} = \frac{\sin^2(\pi t) + \sin^2(\pi t)}{2 \pi^2 t^2}=$
$=\frac{2\sin^2(\pi t)}{2 \pi^2 t^2} = \frac{\sin^2(\pi t)}{\pi^2 t^2} = (\frac{\sin(\pi t)}{\pi t})^2 = "sinc"(t)$
O più semplicemente
$\frac{1-\cos(2 \pi t)}{2 \pi^2 t^2} = \frac{1-\cos(2 \pi t)}{2} \frac{1}{\pi^2 t^2} = \sin^2(\pi t) \frac{1}{\pi^2 t^2} = (\frac{\sin(\pi t)}{\pi t})^2 = "sinc"^2(t)$[/quote]
ok.
Siano dati i seguenti segnali determinati da: $x(t)=sinc(10t),y(t)=sinc^2(10t)$.
Essendo $z(t)$ il segnale che si ottiene come somma di $x(t)$ e $y(t)$,calcolare e rappresentare graficamente la trasformata di fourier di $z(t)$,calcolarne inoltre l'energia e la potenza.
Valutare infine la frequenza minima a cui campionare il segnale $z(t)$ per poterlo ricostruire fedelmente a partire da una serie di campioni.
Essendo $z(t)$ il segnale che si ottiene come somma di $x(t)$ e $y(t)$,calcolare e rappresentare graficamente la trasformata di fourier di $z(t)$,calcolarne inoltre l'energia e la potenza.
Valutare infine la frequenza minima a cui campionare il segnale $z(t)$ per poterlo ricostruire fedelmente a partire da una serie di campioni.
La trasformata di $z(t)$ è $Z(f) = \frac{1}{10} "rect"(\frac{"f"}{10}) + \frac{1}{10} "tr"(\frac{"f"}{10})$. L'energia si trova calcolando $\int_{-10}^{10} Z^2(f) df$, mentre per la banda, si vede che $Z(f)$ è diversa da zero per $f \in \(-10, 10)$, quindi la banda monolatera di $Z$ è $10$, pertanto il periodo di campionamento massimo è $\frac{1}{20}$.
Sia dato un segnale $x(t)$ di banda $B_x$ e sia $y(t)=x(t)*cos(300pit)$.
Calcolare la minima frequenza a cui deve esseree campionato $y(t)$ affinchè esso possa essere ricostruito fedelmente a partire dai campioni.Inoltre,sia $E_x=10$ l'energia del segnale $x(t)$;qual è l'energia del segnale $y(t)$?
Calcolare la minima frequenza a cui deve esseree campionato $y(t)$ affinchè esso possa essere ricostruito fedelmente a partire dai campioni.Inoltre,sia $E_x=10$ l'energia del segnale $x(t)$;qual è l'energia del segnale $y(t)$?
Lo spettro di $y(t)$ vale $Y(f) = \frac{1}{2} (X(f-150)+X(f+150))$, questo vuol dire che nello spettro di $y(t)$ c'è lo spettro di $x(t)$ ripetuto due volte, centrato a due frequenze diverse (150Hz e -150Hz). Questo vuol dire che la banda di $y(t)$ è doppia rispetto a $x(t)$, dunque $B_y=20$, la frequenza di campionamento deve essere tale che $f_c \ge 40$.
L'energia di $y(t)$ vale $\int_{-\infty}^{+\infty} Y^2(f)df = \frac{1}{4} \int_{-\infty}^{+\infty} (X^2(f-150) + X^2(f+150) + 2 X(f-150)X(f+150))df$
Dato che $X(f-150) X(f+150) = 0$ l'energia vale
$\frac{1}{4} (\int_{-\infty}^{+\infty}X^2(f-150)df + \int_{-\infty}^{+\infty} X^2(f+150)df) = \frac{1}{4} (10 +10) = 5 = E_y$
L'energia di $y(t)$ vale $\int_{-\infty}^{+\infty} Y^2(f)df = \frac{1}{4} \int_{-\infty}^{+\infty} (X^2(f-150) + X^2(f+150) + 2 X(f-150)X(f+150))df$
Dato che $X(f-150) X(f+150) = 0$ l'energia vale
$\frac{1}{4} (\int_{-\infty}^{+\infty}X^2(f-150)df + \int_{-\infty}^{+\infty} X^2(f+150)df) = \frac{1}{4} (10 +10) = 5 = E_y$
"Tipper":
Lo spettro di $y(t)$ vale $Y(f) = \frac{1}{2} (X(f-150)+X(f+150))$, questo vuol dire che nello spettro di $y(t)$ c'è lo spettro di $x(t)$ ripetuto due volte, centrato a due frequenze diverse (150Hz e -150Hz). Questo vuol dire che la banda di $y(t)$ è doppia rispetto a $x(t)$, dunque $B_y=20$, la frequenza di campionamento deve essere tale che $f_c \ge 40$.
L'energia di $y(t)$ vale $\int_{-\infty}^{+\infty} Y^2(f)df = \frac{1}{4} \int_{-\infty}^{+\infty} (X^2(f-150) + X^2(f+150) + 2 X(f-150)X(f+150))df$
Dato che $X(f-150) X(f+150) = 0$ l'energia vale
$\frac{1}{4} (\int_{-\infty}^{+\infty}X^2(f-150)df + \int_{-\infty}^{+\infty} X^2(f+150)df) = \frac{1}{4} (10 +10) = 5 = E_y$
Da dove prendi il valore $20$?
Non dovrebbe essere $F_c=B_x+50$?
$x(t)$ ha banda $10$, cioè ha spettro di ampiezza diverso da zero per $f \in (-10, 10)$. $y(t)$ ha come spettro quello di $x(t)$ centrato però alle frequenze 150Hz e -150Hz. Per trovare la banda monolatera consideriamo solo le frequenze positive, in questo caso lo spettro di $y(t)$ è diverso da zero per $f \in (140, 160)$, quindi la banda di $y(t)$ è $20$.
La frequenza minima di campionamento è $2B$, per il teorema di Shannon, dove $B$ è la banda monolatera. Dato che $B_y=20$ allora la frequenza minima di campionamento è $40$.
La frequenza minima di campionamento è $2B$, per il teorema di Shannon, dove $B$ è la banda monolatera. Dato che $B_y=20$ allora la frequenza minima di campionamento è $40$.
Il segnale $x(t)=1/2[delta(t-1/20)+delta(t+1/20)]$ attraversa un filtro $h(t)=sinc(10t)$,sia $y(t)$ il segnale in uscita.
Si supponga che $z(t)=y(t)*cos(2pif_0t);
Calcolare $f_0$:frequenza minima di campionamento per ricostruire $z(t)=15$.
Si supponga che $z(t)=y(t)*cos(2pif_0t);
Calcolare $f_0$:frequenza minima di campionamento per ricostruire $z(t)=15$.
Se non ho sbagliato a fare i conti, mi risulta che il segnale $z(t)$ ha banda $\frac{1}{10}$ per $f_0 \ge \frac{1}{20}$, di conseguenza la frequenza minima di campionamento è $\frac{1}{5}$.
"Tipper":
Se non ho sbagliato a fare i conti, mi risulta che il segnale $z(t)$ ha banda $\frac{1}{10}$ per $f_0 \ge \frac{1}{20}$, di conseguenza la frequenza minima di campionamento è $\frac{1}{5}$.
In questo esercizio non ho proprio capito il procedimento che si deve seguire.
Io ho ragionato così: lo spettro di $x(t)$ è $X(f) = \cos(2 \pi \frac{1}{20} f)$. Dato che $H(f) = \frac{1}{10} "rect"(\frac{"f"}{10})$ si ha che $Y(f) = "rect"(\frac{1}{10}) \cos(2 \pi \frac{1}{20} f)$, e quindi $y(t)$ ha banda $\frac{1}{20}$.
Risulta $Z(f) = \frac{1}{2} (Y(f-f_0) + Y(f + f_0))$, cioè $Z(f)$ ha due repliche di $Y(f)$, una centrata in $f_0$ e una centrata in $-f_0$. Se le due repliche non si sovrappongono, cioè se $f_0 \ge \frac{1}{20}$ allora il segnale $z(t)$ ha spettro non nullo per $f \in (-\frac{1}{20}, \frac{1}{20})$ (per frequenze positive), dunque la banda di $z(t)$ è $\frac{1}{10}$, di conseguenza la frequenza minima di campionamento mi torna $\frac{1}{5}$...
Risulta $Z(f) = \frac{1}{2} (Y(f-f_0) + Y(f + f_0))$, cioè $Z(f)$ ha due repliche di $Y(f)$, una centrata in $f_0$ e una centrata in $-f_0$. Se le due repliche non si sovrappongono, cioè se $f_0 \ge \frac{1}{20}$ allora il segnale $z(t)$ ha spettro non nullo per $f \in (-\frac{1}{20}, \frac{1}{20})$ (per frequenze positive), dunque la banda di $z(t)$ è $\frac{1}{10}$, di conseguenza la frequenza minima di campionamento mi torna $\frac{1}{5}$...
Qual è il metodo + conveniente per dedurre l'espressione analitica di un segnale di cui conosco il grafico?
Quale quello per disegnare un segnale costituito dal prodotto di 2 segnali?
Quale quello per disegnare un segnale costituito dal prodotto di 2 segnali?
Io non saprei...
"Ainéias":
Qual è il metodo + conveniente per dedurre l'espressione analitica di un segnale di cui conosco il grafico?
Quale quello per disegnare un segnale costituito dal prodotto di 2 segnali?
non c'è un metodo generale, dipende sempre dal tipo di segnali che stai trattando
"luca.barletta":
[quote="Ainéias"]Qual è il metodo + conveniente per dedurre l'espressione analitica di un segnale di cui conosco il grafico?
Quale quello per disegnare un segnale costituito dal prodotto di 2 segnali?
non c'è un metodo generale, dipende sempre dal tipo di segnali che stai trattando[/quote]
se il segnale è questo,ad esempio?
Si può andare un po' a occhio, questo lo trovi come somma di un rect e triangoli opportuni.
puoi vederlo come $2*rect(f/200)+4*tri(f/100)-tri(f/50)$, con f var. indip.
"luca.barletta":
puoi vederlo come $2*rect(f/200)+4*tri(f/100)-tri(f/50)$, con f var. indip.
Ma ci devo andare ad occhio o c'è un metodo analitico?
Come faccio a calcolare $int_(-infty)^(+infty)s(t)dt$ ove $s(t)=800sinc(400t)cos(200pit)$?
ad occhio
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