Teoria dei segnali
Calcolare l'energia del segnale:
$y(t)=(1-cos(2pit))/(2pi^2t^2)$.
Dire inoltre come scegliere il periodo di campionamento in modo da poter ricostruire fedelmente il segnale $y(t)$.
$y(t)=(1-cos(2pit))/(2pi^2t^2)$.
Dire inoltre come scegliere il periodo di campionamento in modo da poter ricostruire fedelmente il segnale $y(t)$.
Risposte
mi riferisco a
"Tipper":
Provo a dirti come ho ragionato, magari trovi il punto in cui ho sbagliato:
il trapezio può essere visto come un triangolo da cui viene tolta la punta; il triangolo esterno ha base 5 e altezza pari a $|-\frac{1}{8} + \frac{7}{16}| = \frac{5}{16}$, quindi scriverei il triangolo come $\frac{5}{16} "tr"(\frac{2f}{5})$, a questo però devo sottrarre un rettangolo di altezza $-\frac{7}{16}$ e larghezza $5$, cioè $-\frac{7}{16} "rect" (\frac{f}{5})$; ora devo togliere la punta al triangolo, devo sottrarre un triangolo di altezza $\frac{1}{8}$ e larghezza $2$, quindi $-\frac{1}{8} "tr"(f)$, ci metto il meno perché il triangolo deve essere sottratto, e tale triangolo deve essere alzato di $\frac{1}{8}$, quindi si deve aggiungere un rect di altezza $\frac{1}{4}$ e larghezza $2$, quindi $\frac{1}{4} "rect"(\frac{f}{2})$, in definitiva l'espressione di $Y(f)$ mi torna così
$\frac{5}{16} "tr"(\frac{2f}{5}) -\frac{7}{16} "rect" (\frac{f}{5}) -\frac{1}{8} "tr"(f) + "rect"(\frac{f}{2})$
Nel frattempo ho anche cambiato qualche numero...
Tutto ok.
Sia $s(t)=4sinc(4t)+sinc^2(t)$
e sia $x(t)=s(t)*cos(2pit)$.
Si supponga che $x(t)$ attraversi un sistema lineare tempo invariante la cui funzione di trasferimento è $h(t)=4sinc(4t)$ e sia $y(t)$ il segnale in uscita.
Determinare il segnale $y(t)$,la sua trasformata di Fourier e la sua energia.
e sia $x(t)=s(t)*cos(2pit)$.
Si supponga che $x(t)$ attraversi un sistema lineare tempo invariante la cui funzione di trasferimento è $h(t)=4sinc(4t)$ e sia $y(t)$ il segnale in uscita.
Determinare il segnale $y(t)$,la sua trasformata di Fourier e la sua energia.
Per quanto riguarda il primo, ho provato a fare un po' di grafici degli spettri dei vari segnali, e alla fine arrivo a $Y(f) = \frac{1}{2} "tr"(f-1) + \frac{1}{2} "tr"(f+1) + \frac{1}{2} "rect"(\frac{f}{4}) + \frac{1}{2} "rect"(\frac{f}{2})$
Quindi l'espressione del segnale $y(t)$ è $y(t) = "sinc"^2(t) \cos(2 \pi t) + 2 "sinc"(4t) + "sinc"(2t)$.
Ti trovi con questi risultati?
Quindi l'espressione del segnale $y(t)$ è $y(t) = "sinc"^2(t) \cos(2 \pi t) + 2 "sinc"(4t) + "sinc"(2t)$.
Ti trovi con questi risultati?
Per quanto riguarda il secondo, l'epsressione del segnale $s(t)$ è $s(t) = 2 "tr"(\frac{t}{2}) - 4 "rect"(\frac{t}{4})$.
L'energia di $s(t)$ vale
$E_s = 2 \int_{0}^{2} (-t-2)^2 dt = 2 \int_{0}^{2} (t+2)^2 dt = \frac{2}{3} [(t+2)^3]_{0}^{2} = \frac{2}{3} [64 - 8] = \frac{112}{3}$
Dato che il segnale è a energia finita ha potenza è nulla.
La sua trasformata di Fourier vale $S(f) = 4 "sinc"^2(2f) - 16 "sinc"(4f)$.
Lo spettro di ampiezza è sempre diverso da zero, per questo non esiste una frequenza tale da ricostruire fedelmente il segnale a partire dai campioni. Tuttavia, per quanto riguarda sia il $"sinc"(\cdot)$ che il $"sinc"^2(\cdot)$, l'energia dovuta alle frequenza dal primo zero in poi è trascurabile a quella dovuta fino al primo zero. In questo caso si può quindi considerare la banda null to null, che per $s(t)$ vale $\frac{1}{2}$. Quindi si può ricostuire il segnale di partenza, seppur con una certa approssimazione, campionando con una frequenza $f_c \ge 1 Hz$.
Se un sistema ha risposta in frequenza $H(f) = \cos(2 \pi f)$ significa che la sua risposta impulsiva vale $h(t) = \frac{1}{2} (\delta(t-1) + \delta(t+1))$.
L'uscita di un sistema LTI è data dalla convoluzione fra l'ingresso e la risposta impulsiva, quindi
$x(t) = s(t) \otimes \frac{1}{2} (\delta(t-1) + \delta(t+1))$
dato che il prodotto di convoluzione è distributivo rispetto alla somma il segnale $x(t)$ si può riscrivere come
$x(t) = \frac{1}{2} [(s(t) \otimes \delta(t-1)) + (s(t) \otimes \delta(t+1))]$
In generale $a(t) \otimes \delta(t-t_0) = a(t - t_0)$, quindi
$s(t) = \frac{1}{2} [s(t-1) + s(t+1)] = "tr"(\frac{t-1}{2}) + "tr"(\frac{t+1}{2}) - 2 "rect" (\frac{t-1}{4}) - 2 "rect"(\frac{t+1}{4})$
EDIT: ho sbagliato a scrivere, l'ultimo segnale non è $s(t)$, ma $x(t)$, la scrittura corretta è $x(t) = \frac{1}{2} [s(t-1) + s(t+1)] = "tr"(\frac{t-1}{2}) + "tr"(\frac{t+1}{2}) - 2 "rect" (\frac{t-1}{4}) - 2 "rect"(\frac{t+1}{4})$
L'energia di $s(t)$ vale
$E_s = 2 \int_{0}^{2} (-t-2)^2 dt = 2 \int_{0}^{2} (t+2)^2 dt = \frac{2}{3} [(t+2)^3]_{0}^{2} = \frac{2}{3} [64 - 8] = \frac{112}{3}$
Dato che il segnale è a energia finita ha potenza è nulla.
La sua trasformata di Fourier vale $S(f) = 4 "sinc"^2(2f) - 16 "sinc"(4f)$.
Lo spettro di ampiezza è sempre diverso da zero, per questo non esiste una frequenza tale da ricostruire fedelmente il segnale a partire dai campioni. Tuttavia, per quanto riguarda sia il $"sinc"(\cdot)$ che il $"sinc"^2(\cdot)$, l'energia dovuta alle frequenza dal primo zero in poi è trascurabile a quella dovuta fino al primo zero. In questo caso si può quindi considerare la banda null to null, che per $s(t)$ vale $\frac{1}{2}$. Quindi si può ricostuire il segnale di partenza, seppur con una certa approssimazione, campionando con una frequenza $f_c \ge 1 Hz$.
Se un sistema ha risposta in frequenza $H(f) = \cos(2 \pi f)$ significa che la sua risposta impulsiva vale $h(t) = \frac{1}{2} (\delta(t-1) + \delta(t+1))$.
L'uscita di un sistema LTI è data dalla convoluzione fra l'ingresso e la risposta impulsiva, quindi
$x(t) = s(t) \otimes \frac{1}{2} (\delta(t-1) + \delta(t+1))$
dato che il prodotto di convoluzione è distributivo rispetto alla somma il segnale $x(t)$ si può riscrivere come
$x(t) = \frac{1}{2} [(s(t) \otimes \delta(t-1)) + (s(t) \otimes \delta(t+1))]$
In generale $a(t) \otimes \delta(t-t_0) = a(t - t_0)$, quindi
$s(t) = \frac{1}{2} [s(t-1) + s(t+1)] = "tr"(\frac{t-1}{2}) + "tr"(\frac{t+1}{2}) - 2 "rect" (\frac{t-1}{4}) - 2 "rect"(\frac{t+1}{4})$
EDIT: ho sbagliato a scrivere, l'ultimo segnale non è $s(t)$, ma $x(t)$, la scrittura corretta è $x(t) = \frac{1}{2} [s(t-1) + s(t+1)] = "tr"(\frac{t-1}{2}) + "tr"(\frac{t+1}{2}) - 2 "rect" (\frac{t-1}{4}) - 2 "rect"(\frac{t+1}{4})$
"Tipper":
Per quanto riguarda il primo, ho provato a fare un po' di grafici degli spettri dei vari segnali, e alla fine arrivo a $Y(f) = \frac{1}{2} "tr"(f-1) + \frac{1}{2} "tr"(f+1) + \frac{1}{2} "rect"(\frac{f}{4}) + \frac{1}{2} "rect"(\frac{f}{2})$
Quindi l'espressione del segnale $y(t)$ è $y(t) = "sinc"^2(t) \cos(2 \pi t) + 2 "sinc"(4t) + "sinc"(2t)$.
Ti trovi con questi risultati?
OK
Puoi farmi vedere graficamente $Y(f) = \frac{1}{2} "tr"(f-1) + \frac{1}{2} "tr"(f+1) + \frac{1}{2} "rect"(\frac{f}{4}) + \frac{1}{2} "rect"(\frac{f}{2})$
e $s(t) = \frac{1}{2} [s(t-1) + s(t+1)] = "tr"(\frac{t-1}{2}) + "tr"(\frac{t+1}{2}) - 2 "rect" (\frac{t-1}{4}) - 2 "rect"(\frac{t+1}{4})$?
e $s(t) = \frac{1}{2} [s(t-1) + s(t+1)] = "tr"(\frac{t-1}{2}) + "tr"(\frac{t+1}{2}) - 2 "rect" (\frac{t-1}{4}) - 2 "rect"(\frac{t+1}{4})$?
"Tipper":
Per quanto riguarda il primo, ho provato a fare un po' di grafici degli spettri dei vari segnali, e alla fine arrivo a $Y(f) = \frac{1}{2} "tr"(f-1) + \frac{1}{2} "tr"(f+1) + \frac{1}{2} "rect"(\frac{f}{4}) + \frac{1}{2} "rect"(\frac{f}{2})$
Quindi l'espressione del segnale $y(t)$ è $y(t) = "sinc"^2(t) \cos(2 \pi t) + 2 "sinc"(4t) + "sinc"(2t)$.
Ti trovi con questi risultati?
Aspetta un attimo,applicando il teorema della modulazione non dovrebbe venire:
$X(f)=1/2[rect((f-1)/4)+tr(f-1)+rect((f+1)/4)+tr(f+1)]$?
"Ainéias":
[quote="Tipper"]Per quanto riguarda il primo, ho provato a fare un po' di grafici degli spettri dei vari segnali, e alla fine arrivo a $Y(f) = \frac{1}{2} "tr"(f-1) + \frac{1}{2} "tr"(f+1) + \frac{1}{2} "rect"(\frac{f}{4}) + \frac{1}{2} "rect"(\frac{f}{2})$
Quindi l'espressione del segnale $y(t)$ è $y(t) = "sinc"^2(t) \cos(2 \pi t) + 2 "sinc"(4t) + "sinc"(2t)$.
Ti trovi con questi risultati?
Aspetta un attimo,applicando il teorema della modulazione non dovrebbe venire:
$X(f)=1/2[rect((f-1)/4)+tr(f-1)+rect((f+1)/4)+tr(f+1)]$?[/quote]
Sì, viene così. Ho sbagliato qualcosa? L'espressione che ho scritto io riguarda il segnale in uscita dal filtro, quindi vengono cancellate tutte le frequenze tali che $|f|>2$. Quello che resta sono due triangoli, di base $2$, altezza $\frac{1}{2}$, centrati in $\pm 1$, traslati in alto di $\frac{1}{2}$, e a questi si somma un rettangolo centrato nell'origine, di base $2$ e altezza $\frac{1}{2}$.
"Ainéias":
Puoi farmi vedere graficamente $Y(f) = \frac{1}{2} "tr"(f-1) + \frac{1}{2} "tr"(f+1) + \frac{1}{2} "rect"(\frac{f}{4}) + \frac{1}{2} "rect"(\frac{f}{2})$
Nell'ultimo grafico, il rettangolo che ho fatto più marcato, l'ho disegnato in quella posizione solo per comodità, in realtà va sommato all'altra componente del segnale, pertanto l'espressione di $\frac{1}{2} [S(f-1) + S(f+1)]$ è
$\frac{1}{2} "tr"(f-1) + \frac{1}{2} "tr"(f+1) + \frac{1}{2} "rect"(\frac{f}{6}) + \frac{1}{2} "rect"(\frac{f}{2})$
Il filtro cancella tutte le frequenze maggiori di 2 e minori di -2, pertanto il grafico di $Y(f)$ lo trovi dall'ultimo che ho fatto, azzerando però tutto ciò che si trova a frequenza maggiori di $2$ o minori di $-2$, e l'espressione analitica dello spettro di $y(t)$ è
$Y(f) = \frac{1}{2} "tr"(f-1) + \frac{1}{2} "tr"(f+1) + \frac{1}{2} "rect"(\frac{f}{4}) + \frac{1}{2} "rect"(\frac{f}{2})$
"Ainéias":
e $s(t) = \frac{1}{2} [s(t-1) + s(t+1)] = "tr"(\frac{t-1}{2}) + "tr"(\frac{t+1}{2}) - 2 "rect" (\frac{t-1}{4}) - 2 "rect"(\frac{t+1}{4})$?
Avevo scritto male, in realtà non è $s(t) = \frac{1}{2} [s(t-1) + s(t+1)]$, bensì $x(t) = \frac{1}{2} [s(t-1) + s(t+1)]$, ma penso che tu l'avessi già capito, in ogni caso questo è il grafico
é GIUSTO?
dal disegno,però,mi viene $Y(f)=1/2rect(f/4)+3/2tr(f/2)-tr(f)$.
dal disegno,però,mi viene $Y(f)=1/2rect(f/4)+3/2tr(f/2)-tr(f)$.
$X(f)$ non è quello, manca il $"rect"$ che va da $-1$ a $1$. Se infatti guardi i grafici di $S(f-1)$ e $S(f+1)$, noti che fra $-1$ e $1$ si sovrappongono.
Quel $"rect"$, per comodità, lo avevo disegnato sotto. Se vuoi rifaccio il disegno per bene.
Quel $"rect"$, per comodità, lo avevo disegnato sotto. Se vuoi rifaccio il disegno per bene.
"Tipper":
$X(f)$ non è quello, manca il $"rect"$ che va da $-1$ a $1$. Se infatti guardi i grafici di $S(f-1)$ e $S(f+1)$, noti che fra $-1$ e $1$ si sovrappongono.
Quel $"rect"$, per comodità, lo avevo disegnato sotto. Se vuoi rifaccio il disegno per bene.
e allora come viene?
$X(f) = \frac{1}{2} "tr"(f-1) + \frac{1}{2} "tr"(f+1) + \frac{1}{2} "rect"(\frac{f}{6}) + \frac{1}{2} "rect"(\frac{f}{2})$
$Y(f) = \frac{1}{2} "tr"(f-1) + \frac{1}{2} "tr"(f+1) + \frac{1}{2} "rect"(\frac{f}{4}) + \frac{1}{2} "rect"(\frac{f}{2})$
$Y(f) = \frac{1}{2} "tr"(f-1) + \frac{1}{2} "tr"(f+1) + \frac{1}{2} "rect"(\frac{f}{4}) + \frac{1}{2} "rect"(\frac{f}{2})$
"Tipper":
$X(f) = \frac{1}{2} "tr"(f-1) + \frac{1}{2} "tr"(f+1) + \frac{1}{2} "rect"(\frac{f}{6}) + \frac{1}{2} "rect"(\frac{f}{2})$
$Y(f) = \frac{1}{2} "tr"(f-1) + \frac{1}{2} "tr"(f+1) + \frac{1}{2} "rect"(\frac{f}{4}) + \frac{1}{2} "rect"(\frac{f}{2})$
scusami,ma $X(f)$ non era $1/2rect((f-1)/4)+1/2tr(f-1)+1/2rect((f+1)/4)+1/2tr(f+1)$?
Mi pare uguale a quello che ho scritto io. Infatti $\frac{1}{2} "rect"(\frac{f}{6}) + \frac{1}{2} "rect"(\frac{f}{2}) = \frac{1}{2} "rect"(\frac{f-1}{4}) + \frac{1}{2} "rect"(\frac{f+1}{4})$.
L'antitrasformata di $tr(f-1)$ è $sinc^2(t-1)$?
No, $"sinc"^2(t)e^{j 2 \pi t}$.
"Tipper":
No, $"sinc"^2(t)e^{j 2 \pi t}$.
quindi in generale la trasformata di $tr(f-f_0)$ è $sinc^2(t)e^(j2pif_0t)$?
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