Decomposizione di un vettore.
Buongiorno, ho un dubbio su una dimostrazione che riguarda la seguente proposizione, mi sarei dato anche una risposta, ma non sono molto sicuro di essa.
Proposizione:
Siano $W_1, ..., W_n$ sottospazi vettoriali di $V$ su $K$.
Si ha che se ogni vettore $v in W_1+...+W_n$ si scrive in modo unico nella forma $v=w_1+...+w_n$ con $w_i in W_i, i=1,...,n$.
Allora dati $n$ vettori $w_i in W_i$ con $i=1,...,n$ se $w_1+...+w_n=0_V$ allora $w_i=0_V$ per $i=1,...,n$.
Dimostrazione:
Poiché l'elemento neutro per la somma è il vettore nullo $0_V$ si ha $0_V=0_V+...+0_V$, inoltre, se vale $w_1+...+w_n=0_V$ per ipotesi si ha $w_1+...+w_n=0_V+...+0_V$, quindi $w_i=0_V$.
Domanda:
Perché se si verifica questo $w_1+...+w_n=0_V+...+0_V$, segue $w_i=0_V$.
Risposta:
Se suppongo dell'esistenza di due vettori tali che $0 ne w_j=-w_p$ per qualche indice $j,p in I_n$, e tutti gli altri vettori uguali a zero, allora
Dunque non ho un'unica combinazione di vettori che mi restituisce il vettore nullo cioè un assurdo.
Può andare bene ?
Ciao
Proposizione:
Siano $W_1, ..., W_n$ sottospazi vettoriali di $V$ su $K$.
Si ha che se ogni vettore $v in W_1+...+W_n$ si scrive in modo unico nella forma $v=w_1+...+w_n$ con $w_i in W_i, i=1,...,n$.
Allora dati $n$ vettori $w_i in W_i$ con $i=1,...,n$ se $w_1+...+w_n=0_V$ allora $w_i=0_V$ per $i=1,...,n$.
Dimostrazione:
Poiché l'elemento neutro per la somma è il vettore nullo $0_V$ si ha $0_V=0_V+...+0_V$, inoltre, se vale $w_1+...+w_n=0_V$ per ipotesi si ha $w_1+...+w_n=0_V+...+0_V$, quindi $w_i=0_V$.
Domanda:
Perché se si verifica questo $w_1+...+w_n=0_V+...+0_V$, segue $w_i=0_V$.
Risposta:
Se suppongo dell'esistenza di due vettori tali che $0 ne w_j=-w_p$ per qualche indice $j,p in I_n$, e tutti gli altri vettori uguali a zero, allora
$0_V+...+w_j+0_V+0_V+w_p+0_V+...+0_V=w_j+w_p=w_p+w_j=w_p+(-w_p)=0_V.$
Dunque non ho un'unica combinazione di vettori che mi restituisce il vettore nullo cioè un assurdo.
Può andare bene ?
Ciao
Risposte
Per ipotesi esiste un unico modo per scrivere \(0_v = w_1 + \dotsb + w_n\). Siccome \(0_V\in W_i\) per ogni \(i\), allora \(w_i = 0_V\) è necessariamente quest'unico modo.
Insomma, se sai che qualcosa è unico e ne trovi un suo esempio allora necessariamente non ne puoi trovare altri.
Insomma, se sai che qualcosa è unico e ne trovi un suo esempio allora necessariamente non ne puoi trovare altri.
Grazie vict85, ho capito.
Comunque, la risposta che ho dato potrebbe andare bene ?
Comunque, la risposta che ho dato potrebbe andare bene ?
No.
Prendi due vettori linearmente indipendenti \(\mathbf{u}, \mathbf{v}\in V\) e i sottospazi \(W_1 = \mathbb{K}\mathbf{u}\), \(W_2 = \mathbb{K}\mathbf{v}\), e \(W_3 = \mathbb{K}(\mathbf{u} + \mathbf{v})\). Se poni \(w_1 = \mathbf{u}\), \(w_2 = \mathbf{v}\) e \(w_3 = -(\mathbf{u} + \mathbf{v})\) allora \(0_V = w_1 + w_2 + w_3\). Nota che i sottospazi sono linearmente indipendenti a due a due, quindi non ha senso aspettarsi che esista \(w_i\in W_i\) e \(w_j\in W_j\) tali che \(w_i = -w_j\) (supponendo \(i\neq j\) ovviamente).
Prendi due vettori linearmente indipendenti \(\mathbf{u}, \mathbf{v}\in V\) e i sottospazi \(W_1 = \mathbb{K}\mathbf{u}\), \(W_2 = \mathbb{K}\mathbf{v}\), e \(W_3 = \mathbb{K}(\mathbf{u} + \mathbf{v})\). Se poni \(w_1 = \mathbf{u}\), \(w_2 = \mathbf{v}\) e \(w_3 = -(\mathbf{u} + \mathbf{v})\) allora \(0_V = w_1 + w_2 + w_3\). Nota che i sottospazi sono linearmente indipendenti a due a due, quindi non ha senso aspettarsi che esista \(w_i\in W_i\) e \(w_j\in W_j\) tali che \(w_i = -w_j\) (supponendo \(i\neq j\) ovviamente).
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