Un'osservazione sulla successione di Mayer-Vietoris

[Cantor99]

Salve, sui miei appunti di riferimento viene fatta un'osservazione in merito alla successione di Mayer-Vietoris che non riesco a visualizzare. Giusto per far capire le notazioni riporto l'enunciato della prima parte del teorema.

Siano $X$ uno spazio topologico e $U,V$ aperti di $X$ tali che $X=U\cup V$. Se $c$ è un ciclo in $X$ allora esistono un ciclo $c_U$ in $U$ e un ciclo in $c_V$ in $V$ tali che $[c]_X=[c_U+c_V]_X$ (dove $[\cdot]_X$ denota la classe di omologia in $X$)

Viene detto che $c_U$ in figura è ciclo in $U$ ma non un bordo in $U\cap V$.
1) Perché $c_U$ è un ciclo? Intuitivamente immaginavo gli $1$-cicli come cammini chiusi...
2) Il fatto che $c_U$ non sia un bordo immagino sia collegato alla disconnessione di $U\cap V$, ma come si giustifica quest'affermazione?

Ringrazio anticipatamente.

[fulcanelli]

Dove sta usando che \(c_U\) è un ciclo? A me sembra che dica semplicemente che il suo bordo è un ciclo (ovviamente) in \(U\) ma non nell'intersezione: se \(\partial c = c'\), \(c\) è contenuto solo in U.

[Cantor99]

Grazie per la risposta. Hai ragione, sono stato disattento!

Il bordo di $c_U$ è un ciclo perché le $0$-catene sono tutte cicli (in spazi connessi per archi), giusto?

Poi il bordo di $c_U$ non è un bordo in $U\cap V$ perché non esiste un cammino che connette gli estremi di $c_U$ tutto contenuto in $U\cap V$, essendo questo disconnesso, giusto?