Applicazione lineare associata ad una matrice.
Buongiorno,
Sto leggendo il libro Algebra lineare e Geometria di Enrico Schlesinger , in particolare, il paragrafo inerente al prodotto righe per colonne.
Inizia cosi:
Una matrice $A$ di tipo $(m,n)$ definisce una funzione
La funzione $L_A$ determina la matrice, infatti, se $e_k$ è il k-esimo vettore della basa canonica di $L^n$, il vettore
è la colonna k-esima di $A.$
Tutto chiaro algebricamente, invece non mi è chiaro del perché si dice che la funzione determina la matrice $A$, quando, è la matrice che definisce la funzione, mi sembra un circolo vizioso.
Un saluto.
Sto leggendo il libro Algebra lineare e Geometria di Enrico Schlesinger , in particolare, il paragrafo inerente al prodotto righe per colonne.
Inizia cosi:
Una matrice $A$ di tipo $(m,n)$ definisce una funzione
$L_A : x in K^n to Ax in K^m.$
La funzione $L_A$ determina la matrice, infatti, se $e_k$ è il k-esimo vettore della basa canonica di $L^n$, il vettore
$L_A(e_k)=Ae_k$
è la colonna k-esima di $A.$
Tutto chiaro algebricamente, invece non mi è chiaro del perché si dice che la funzione determina la matrice $A$, quando, è la matrice che definisce la funzione, mi sembra un circolo vizioso.
Un saluto.
Risposte
Lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari tra \(K^n\) e \(K^m\) è isomorfo allo spazio vettoriale delle matrici \(m\times n\) a coefficienti in \(K\); in questo senso, \(L_A\) e A si determinano a vicenda.
E' quello che Emil Artin in "Algebra Geometrica" chiama "la rovina della geometria".
E' quello che Emil Artin in "Algebra Geometrica" chiama "la rovina della geometria".
Ciao fulcanelli
Cioè, per determinare la colonna k-esima di $A$ ho bisogna dell'applicazione $L_A$ la quale a sua volta ha bisogna della matrice
Esattamente.
"fulcanelli":si questo è vero, però, quando si dice che l'applicazione $L_A$ definisce $A,$ per me è un'affermazione contorta, almeno per ora.
Lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari tra \(K^n\) e \(K^m\) è isomorfo allo spazio vettoriale delle matrici \(m\times n\) a coefficienti in \(K\);
Cioè, per determinare la colonna k-esima di $A$ ho bisogna dell'applicazione $L_A$ la quale a sua volta ha bisogna della matrice
"fulcanelli":
E' quello che Emil Artin in "Algebra Geometrica" chiama "la rovina della geometria".
Esattamente.
Questa affermazione ti sembra contorta perché un'applicazione lineare è la matrice che associ alla stessa; la matrice \(m\times n\) è una maniera non canonica di rappresentarla.
"Non canonica" significa che puoi farlo solo a patto di aver fissato una base di dominio e codominio; questa scelta non è unica, come ben sai. "Rappresentarla" significa che hai definito un omomorfismo (in effetti un isomorfismo) tra (due) spazi vettoriali, che è ben definito solo in forza della scelta delle basi fatta prima.
Il fatto è che le scelte di basi sono tante, ma la rappresentazione di una stessa applicazione lineare è "equivariante" rispetto al cambio delle basi, con una relazione tra la matrice in base \(\mathcal B\) e la matrice in base \(\mathcal B'\) che certamente conoscerai.
Questa è una maniera di esprimere il fatto che il gruppo generale lineare agisce sull'insieme delle matrici \(m\times n\): \[\text{GL}(m,K) \times M_{m,n}(K) \times \text{GL}(n,K) \to M_{m,n}(K) : (P,A,Q) \mapsto PAQ^{-1}\] (prendi l'inverso per far agire GL sempre "dallo stesso lato") e ora il fatto che matrici che rappresentano la stessa applicazione lineare in basi diverse siano considerate "la stessa" si traduce nel tuo studiare non tanto le matrici in quanto tali, ma le orbite di una data matrice sotto l'azione suddetta.
Quando consideri un endomorfismo \(f : V \to V\) di un singolo spazio vettoriale \(V\), la scelta ovvia è prendere la stessa base \(\cal B\) su dominio e codominio e considerare "la" matrice di \(f\) in base \(\cal B\). Ma allora, due matrici A,B esprimono \(f\) in due basi diverse se e solo se soddisfano la relazione \(PA=BP\) per una stessa matrice invertibile "di cambio di base" \(P\).
"Non canonica" significa che puoi farlo solo a patto di aver fissato una base di dominio e codominio; questa scelta non è unica, come ben sai. "Rappresentarla" significa che hai definito un omomorfismo (in effetti un isomorfismo) tra (due) spazi vettoriali, che è ben definito solo in forza della scelta delle basi fatta prima.
Il fatto è che le scelte di basi sono tante, ma la rappresentazione di una stessa applicazione lineare è "equivariante" rispetto al cambio delle basi, con una relazione tra la matrice in base \(\mathcal B\) e la matrice in base \(\mathcal B'\) che certamente conoscerai.
Questa è una maniera di esprimere il fatto che il gruppo generale lineare agisce sull'insieme delle matrici \(m\times n\): \[\text{GL}(m,K) \times M_{m,n}(K) \times \text{GL}(n,K) \to M_{m,n}(K) : (P,A,Q) \mapsto PAQ^{-1}\] (prendi l'inverso per far agire GL sempre "dallo stesso lato") e ora il fatto che matrici che rappresentano la stessa applicazione lineare in basi diverse siano considerate "la stessa" si traduce nel tuo studiare non tanto le matrici in quanto tali, ma le orbite di una data matrice sotto l'azione suddetta.
Quando consideri un endomorfismo \(f : V \to V\) di un singolo spazio vettoriale \(V\), la scelta ovvia è prendere la stessa base \(\cal B\) su dominio e codominio e considerare "la" matrice di \(f\) in base \(\cal B\). Ma allora, due matrici A,B esprimono \(f\) in due basi diverse se e solo se soddisfano la relazione \(PA=BP\) per una stessa matrice invertibile "di cambio di base" \(P\).
"Pasquale 90":
però, quando si dice che l'applicazione $L_A$ definisce $A,$ per me è un'affermazione contorta, almeno per ora.
Ci vuole un bell'esempio.
ho bisogna dell'applicazione $L_A$ la quale a sua volta ha bisogna della matrice
No, non hai bisogno della matrice. Prendi lo spazio vettoriale dei polinomi di grado al piú $2$. Definisci una applicazione lineare
\[
L(a_0+a_1 x + a_2 x^2)=\frac{d}{dx}(a_0+a_1 x + a_2 x^2).\]
Mi sembra una definizione sensata. E non c'è nessuna matrice in vista.
Per avere una matrice bisogna prima fissare una base, poi calcolare le immagini dei vettori della base, etc etc etc...
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