Parametrizzazione e forma cartesiana di uno Span

[Scintilla3]

Ciao a tutti, a breve avrò l'esame di algebra lineare e volevo sapere se fosse possibile avere un riscontro in questo esercizio.

Sia W il sottospazio di R^5 generato dai vettori
(1,0,1,2,−1); (0,1,0,1,0); (1,2,3,1,1)
si descriva W in forma parametrica e in forma cartesiana.

Innanzitutto ho creato un sistema A 5x3 completa (a ogni riga ho messo a,b,c,d,e) e l'ho ridotto a scalini, trovando rk=3. Quindi ho imposto che le ultime due righe fossero uguali a zero.

Ma mi trovo in difficoltà con la forma parametrica...
Grazie in anticipo.

[anonymous_0b37e9]

Poiché, della matrice sottostante:

$[[1,0,1],[0,1,2],[1,0,3],[2,1,1],[-1,0,1]]$

il seguente minore di ordine 3:

$[[1,0,1],[0,1,2],[1,0,3]]$

ha determinate diverso da zero, la matrice ha rango 3 e il sottospazio W ha dimensione 3. Per quanto riguarda la forma parametrica, molto semplicemente:

$
[[x_1],[x_2],[x_3],[x_4],[x_5]]=\alpha[[1],[0],[1],[2],[-1]]+\beta[[0],[1],[0],[1],[0]]+\gamma[[1],[2],[3],[1],[1]]$

Per quanto riguarda la forma cartesiana, un po' meno semplicemente:

$det[[1,0,1,x_1],[0,1,2,x_2],[1,0,3,x_3],[2,1,1,x_4]]=0 ^^ det[[1,0,1,x_1],[0,1,2,x_2],[1,0,3,x_3],[-1,0,1,x_5]]=0$

Ad ogni modo, se hai studiato cercando di comprendere i concetti a dovere, anche questo procedimento non dovrebbe presentare difficoltà insormontabili.

[Scintilla3]

Prima di tutto ti ringrazio.
Per la forma cartesiana avevo ridotto a scalini trovando
1 0 1 a
0 1 2 b
0 0 1 4e-c
0 0 0 d-2b+3c+10e
0 0 0 a-2c-7e

Quindi il rango risulta 3, e le ultime due equazioni devo porle uguali a 0. Sostanzialmente è il metodo che mi avevi detto tu.
Grazie mille davvero

[anonymous_0b37e9]

Mi fido.

"Scintilla":
... e le ultime due equazioni devo porle uguali a 0 ...

Un'equazione, cioè, un'uguaglianza tra due membri, non può essere posta uguale a zero. Insomma, trattandosi di un confronto, può essere soddisfatta oppure non soddisfatta. Certamente non può essere uguale a un numero. Tra l'altro, il motivo per cui questo numero debba essere sempre zero (non sei certamente l'unico ad esprimerti così) non è dato sapere.

[Bokonon]

"Scintilla":
Innanzitutto ho creato un sistema A 5x3 completa (a ogni riga ho messo a,b,c,d,e) e l'ho ridotto a scalini, trovando rk=3. [strike]Quindi ho imposto che le ultime due righe fossero uguali a zero[/strike].

E' ok, a parte la scelta arbitraria e "inutile".

Per la forma parametrica ti ha già risposto Elias, mentre per la forma cartesiana c'è il metodo Bokonon che è assai più semplice (e doppiamente utile come vedrai)

Ragiona sulla matrice trasposta che hai creato e usa Gauss per determinarne (contemporaneamente) sia il rango (che è uguale a quello della matrice per colonne) che il kernel (che avrà, ovviamente, dimensione 2 perchè già conosciamo la risposta).
Le componenti dei due vettori che sceglierai, come base del kernel, saranno anche i parametri a,b,c,d,e di due iperpiani del tipo $ax+by+cz+dw+et=0$ ovvero la tua forma cartesiana.

Riassumendo, se ti danno esercizi del genere, lavora direttamente per righe e usa Gauss per risolvere il sistema omogeneo.

Se vuoi capirne il perchè, te lo spiego volentieri: ma, se vuoi solo passare l'esame, allora accontentati!