Matrici, spazio dei polinomi
Allora continuo ad avere dubbi su questi esercizi sul cambiamento di base(in questo caso però si tratta di lavorare nello spazio dei polinomi).
Allora il primo l'ho svolto tuttavia mi sembra che la mia soluzione sia troppo banale e probabilmente mi è sfuggito qualcosa(in particolare nel momento in cui ):
Si consideri l'applicazione lineare $T:R_2[t] rarr R^3$ data da
$T(p)=|(p'(0)),(p(1)-p(2)), ( p(4)-p(6) )|$
Si scriva la matrice associata a $T$ rispetto alla base canonica di $R_2[t]$ e alla base canonica di $R^3$ e si calcoli il $ker$ e $Im$ dell'appicazione.
Io ho utilizzato questo metodo: faccio agire l'applicazione sui vettori della base di partenza e poi mi esprimo i vettori trasformati come combinazione lineare dei vettori della base d'arrivo.
Mi son trovato che $T(1)=(0,0,0), T(t)=(1,-1,2) , T(t^2)=(0,-3,-20)$. Dato che la base di arrivo è la base canonica mi sono trovato subito la matrice richiesta:
$A=( (0,1,0),(0,-1,-3),(0,2,-20) )$
L'ho ridotta a scala e ho ottenuto che ha $rg=2$ perciò l'$Imf$ ha dimensione $2$ e quindi è lo span dei due vettori immagine trovati precedentemente $Imf=span{(1,-1,2),(0,-3,-20)}$ mentre siccome il $Kerf$ deve avere dimensione $1$, so già che il polinomio di grado $p(t)=1 \in Kerf$ (oppure $Kerf=span(1,0,0)$) e l'esercizio dovrebbe essere completo. Volevo solamente sapere se questa risoluzione fosse giusta.
Il secondo esercizio invece è quello che mi crea problemi(non a caso l'ho preso da un'esercitazione del mio professore
).
La richiesta è identica al precedente però questa volta l'applicazione è $T:C_3[t] rarr C_3[t]$ data da
$T(p)=|( ip'(t) ),( (1+i)p(0)t-p''(0)t^2 ),( p(t)-tp'(t) ), ( (2-7i)p''(t^2) )|$.
Trova la matrice associata a T rispetto alla base ${1,t,t^2,t^3}$ di $C_3[t]$ e trova nucleo e immagine di $T$.
Tralasciate pure la parte sul nucleo e l'immagine su cui non ho problemi:
Per trovarmi la matrice ho fatto esattamente come prima e quindi ho provato subito a calcolarmi i trasformati della base canonica rispetto a $T$ ottenendo:
$T(1)=((0), ((1+i)t), (1),(0)), T(t)=((i), (0), (0), ((2-7i))), T(t^2)=((2it),(0),(-t^2), ((8-28i)t^3)), T(t^3)=( (3it^2), (0), (-2t^3), ((60-210i)t^4) )$
Mentre calcolavo il terzo vettore immagine mi stava venendo qualche dubbio sulla correttezza di ciò che stavo facendo poi quando ho calcolato il quarto ho capito di aver sbagliato, infatti dopo mi sarei dovuto esprimere i vettori come combinazione lineare di ${1,t,t^2,t^3}$ ma nel quarto vettore compare un termine di grado 4, il che risulta impossibile. Se qualcuno mi dicesse dove ho sbagliato mi sarebbe di enorme aiuto.
Io credo di aver sbagliato nel calcolo delle derivate prime e seconde; per esempio quando ho una notazione del tipo
$T(p)=p''(t^2), p(t)=t^3$, io la interpreto così: $(d^2/dt^2){((t^3)^2)}$ però forse sbaglio qualcosa. Grazie mille a chi risponderà.
P.S. se qualche mod ritiene che il messaggio sia troppo lungo posso tranquillamente levare la parte riguardante il primo esercizio
Allora il primo l'ho svolto tuttavia mi sembra che la mia soluzione sia troppo banale e probabilmente mi è sfuggito qualcosa(in particolare nel momento in cui ):
Si consideri l'applicazione lineare $T:R_2[t] rarr R^3$ data da
$T(p)=|(p'(0)),(p(1)-p(2)), ( p(4)-p(6) )|$
Si scriva la matrice associata a $T$ rispetto alla base canonica di $R_2[t]$ e alla base canonica di $R^3$ e si calcoli il $ker$ e $Im$ dell'appicazione.
Io ho utilizzato questo metodo: faccio agire l'applicazione sui vettori della base di partenza e poi mi esprimo i vettori trasformati come combinazione lineare dei vettori della base d'arrivo.
Mi son trovato che $T(1)=(0,0,0), T(t)=(1,-1,2) , T(t^2)=(0,-3,-20)$. Dato che la base di arrivo è la base canonica mi sono trovato subito la matrice richiesta:
$A=( (0,1,0),(0,-1,-3),(0,2,-20) )$
L'ho ridotta a scala e ho ottenuto che ha $rg=2$ perciò l'$Imf$ ha dimensione $2$ e quindi è lo span dei due vettori immagine trovati precedentemente $Imf=span{(1,-1,2),(0,-3,-20)}$ mentre siccome il $Kerf$ deve avere dimensione $1$, so già che il polinomio di grado $p(t)=1 \in Kerf$ (oppure $Kerf=span(1,0,0)$) e l'esercizio dovrebbe essere completo. Volevo solamente sapere se questa risoluzione fosse giusta.
Il secondo esercizio invece è quello che mi crea problemi(non a caso l'ho preso da un'esercitazione del mio professore
). La richiesta è identica al precedente però questa volta l'applicazione è $T:C_3[t] rarr C_3[t]$ data da
$T(p)=|( ip'(t) ),( (1+i)p(0)t-p''(0)t^2 ),( p(t)-tp'(t) ), ( (2-7i)p''(t^2) )|$.
Trova la matrice associata a T rispetto alla base ${1,t,t^2,t^3}$ di $C_3[t]$ e trova nucleo e immagine di $T$.
Tralasciate pure la parte sul nucleo e l'immagine su cui non ho problemi:
Per trovarmi la matrice ho fatto esattamente come prima e quindi ho provato subito a calcolarmi i trasformati della base canonica rispetto a $T$ ottenendo:
$T(1)=((0), ((1+i)t), (1),(0)), T(t)=((i), (0), (0), ((2-7i))), T(t^2)=((2it),(0),(-t^2), ((8-28i)t^3)), T(t^3)=( (3it^2), (0), (-2t^3), ((60-210i)t^4) )$
Mentre calcolavo il terzo vettore immagine mi stava venendo qualche dubbio sulla correttezza di ciò che stavo facendo poi quando ho calcolato il quarto ho capito di aver sbagliato, infatti dopo mi sarei dovuto esprimere i vettori come combinazione lineare di ${1,t,t^2,t^3}$ ma nel quarto vettore compare un termine di grado 4, il che risulta impossibile. Se qualcuno mi dicesse dove ho sbagliato mi sarebbe di enorme aiuto.
Io credo di aver sbagliato nel calcolo delle derivate prime e seconde; per esempio quando ho una notazione del tipo
$T(p)=p''(t^2), p(t)=t^3$, io la interpreto così: $(d^2/dt^2){((t^3)^2)}$ però forse sbaglio qualcosa. Grazie mille a chi risponderà.
P.S. se qualche mod ritiene che il messaggio sia troppo lungo posso tranquillamente levare la parte riguardante il primo esercizio
Risposte
La scrittura:
significa derivare due volte rispetto a $t$ e sostituire $t^2$ al posto di $t$. Solo per fare un esempio:
P.S.
Scusa se insisto ma questi esercizi non hanno nulla a che fare con i cambiamenti di base. Poiché lo spazio di partenza è diverso dallo spazio di arrivo, per rappresentare la trasformazione lineare devi necessariamente selezionare una base in quello di partenza e una base in quello di arrivo. Per parlare di cambiamento di base si devono avere due basi diverse nello stesso spazio: quello di partenza, quello di arrivo oppure entrambi.
$p''(t^2)$
significa derivare due volte rispetto a $t$ e sostituire $t^2$ al posto di $t$. Solo per fare un esempio:
$[p(t)=t^3] rarr [p''(t)=6t] ^^ [p''(t^2)=6t^2]$
P.S.
Scusa se insisto ma questi esercizi non hanno nulla a che fare con i cambiamenti di base. Poiché lo spazio di partenza è diverso dallo spazio di arrivo, per rappresentare la trasformazione lineare devi necessariamente selezionare una base in quello di partenza e una base in quello di arrivo. Per parlare di cambiamento di base si devono avere due basi diverse nello stesso spazio: quello di partenza, quello di arrivo oppure entrambi.
Ok @anonymous_0b37e9 quindi finora ho sbagliato tutto perfetto.
Però qualcosa non torna: tu dici che un cambiamento di base può avvenire se sto trattando un endomorfismo ma in due basi diverse dello stesso spazio vettoriale. Ma allora la matrice che devo trovare nel secondo esercizio non è quella di passaggio da $B={1,t,t^2,t^3}$ a $B'={1,t,t^2,t^3}$ ma quella associata a $T$ rispetto alle due basi. Il mio libro dice che la matrice di cambiamento di base contiene per colonne le coordinate dei vettori della nuova base $B'$ rispetto alla vecchia base $B$, senza specificare che le due matrici debbano necessariamente essere diverse. C'è anche scritto che "se lo s.v. considerato e $R_n[t]$ (penso ciò si estenda anche al campo complesso) e la base è quella canonica ${1,t,...,t^n}$, per trovare le coordinate basta scrivere ordinatamente i coefficienti del polinomio in una colonna di $R^(n+1)$. "
Tutto questo per chiederti, in conclusione di tutto ciò,
1)Che matrici stiamo calcolando in questi due esercizi?
2)Nel primo esercizio, al di là dei calcoli sbagliati, il procedimento che ho descritto va bene oppure no, e posso applicarlo anche nel secondo(è lo stesso che tu hai usato nell'esercizio di ieri quindi suppongo di sì)?
3)Che differenza c'è tra una matrice del cambiamento di base da $B$ a $B'$ e la matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto a due basi $B$e $C$?
La cosa ancora più strana è che finora la maggior parte degli esercizi (anche su argomenti successivi) sono riuscito a svolgerla correttamente. Ho bisogno di chiarimenti
Però qualcosa non torna: tu dici che un cambiamento di base può avvenire se sto trattando un endomorfismo ma in due basi diverse dello stesso spazio vettoriale. Ma allora la matrice che devo trovare nel secondo esercizio non è quella di passaggio da $B={1,t,t^2,t^3}$ a $B'={1,t,t^2,t^3}$ ma quella associata a $T$ rispetto alle due basi. Il mio libro dice che la matrice di cambiamento di base contiene per colonne le coordinate dei vettori della nuova base $B'$ rispetto alla vecchia base $B$, senza specificare che le due matrici debbano necessariamente essere diverse. C'è anche scritto che "se lo s.v. considerato e $R_n[t]$ (penso ciò si estenda anche al campo complesso) e la base è quella canonica ${1,t,...,t^n}$, per trovare le coordinate basta scrivere ordinatamente i coefficienti del polinomio in una colonna di $R^(n+1)$. "
Tutto questo per chiederti, in conclusione di tutto ciò,
1)Che matrici stiamo calcolando in questi due esercizi?
2)Nel primo esercizio, al di là dei calcoli sbagliati, il procedimento che ho descritto va bene oppure no, e posso applicarlo anche nel secondo(è lo stesso che tu hai usato nell'esercizio di ieri quindi suppongo di sì)?
3)Che differenza c'è tra una matrice del cambiamento di base da $B$ a $B'$ e la matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto a due basi $B$e $C$?
La cosa ancora più strana è che finora la maggior parte degli esercizi (anche su argomenti successivi) sono riuscito a svolgerla correttamente. Ho bisogno di chiarimenti
"SteezyMenchi":
... tu dici che ...
Temo di essere stato frainteso. Qualunque sia la trasformazione lineare:
Omomorfismo
$T : V_1 rarr V_2$
Endomorfismo
$T : V rarr V$
la sua rappresentazione matriciale necessita di specificare una base nello spazio vettoriale di partenza e una base nello spazio vettoriale di arrivo. Per quale motivo? Perché la matrice, moltiplicata per le componenti di un generico vettore nello spazio di partenza, rende le componenti del trasformato nello spazio di arrivo. Le componenti rispetto a quale base? Appunto, la rappresentazione matriciale dipende dalle basi che si decide di adottare. Tipicamente, quando si adottano le basi naturali in un omomorfismo oppure si adotta la base naturale in un endomorfismo, non si scomoda il concetto di cambiamento di base. Solo quando almeno una base non è quella naturale, si introduce il concetto di cambiamento di base.
"SteezyMenchi":
Che matrici stiamo calcolando in questi due esercizi?
Le rappresentazioni matriciali delle trasformazioni lineari rispetto alle basi naturali (come da consegna). Insomma, nessun cambiamento di base.
"SteezyMenchi":
Nel primo esercizio ...
Anche se non ho controllato con la dovuta attenzione, mi sembrava che il procedimento fosse corretto.
"SteezyMenchi":
Che differenza ...
Una matrice di cambiamento di base, se moltiplicata per le componenti di un generico vettore rispetto ad una prima base, rende le componenti dello stesso vettore rispetto ad una seconda base.
P.S.
Per quanto riguarda il primo esercizio:
$1 rarr (0,0,0)$
$t rarr (1,-1,-2)$
$t^2 rarr (0,-3,-20)$
$A=((0,1,0),(0,-1,-3),(0,-2,-20))$
Invece, la seconda parte è corretta.
Sì ho sbagliato a ricopiare, doveva essere un $-2$ anche il mio. @anonymous_0b37e9 comunque se vuoi un posto alla Sapienza come professore di algebra lineare io sono pronto a mettere buona parola. Scherzi a parte ti ringrazio per la spiegazione e per la pazienza 
Giusto per completare il topic :alla fine dei conti la seconda matrice mi viene di rango 4, dunque siccome $dimImf=4=dimC_3[t]$ allora $dimKerf=0$ e quindi l'applicazione è iniettiva e l'$Imf$ è lo span dei vettori immagine della base canonica di $C_3[t]$
Se qualcuno volesse confrontare i risultati la matrice dovrebbe essere
$A=(( 1,i, (4-14i),0 ),( (1+i),0,2i,0 ),( 0,0,-3,(12-39i) ),( 0,0,0,2 ))$
Giusto per completare il topic :alla fine dei conti la seconda matrice mi viene di rango 4, dunque siccome $dimImf=4=dimC_3[t]$ allora $dimKerf=0$ e quindi l'applicazione è iniettiva e l'$Imf$ è lo span dei vettori immagine della base canonica di $C_3[t]$
Se qualcuno volesse confrontare i risultati la matrice dovrebbe essere
$A=(( 1,i, (4-14i),0 ),( (1+i),0,2i,0 ),( 0,0,-3,(12-39i) ),( 0,0,0,2 ))$
Nel primo esercizio, trattandosi di una trasformazione lineare $T$ il cui spazio vettoriale di arrivo è $RR^3$, la scrittura sottostante ha un senso (a secondo membro compaiono 3 numeri):
Nel secondo esercizio, trattandosi di una trasformazione lineare $T$ il cui spazio vettoriale di arrivo è $C_3[t]$, la scrittura sottostante non ha alcun senso (a secondo membro compaiono 4 polinomi invece di uno solo):
Sei sicuro di aver riportato il testo correttamente? In questo caso, le interpretazioni delle due scritture devono essere necessariamente diverse. Per esempio: il primo è il trasformato di $1$, il secondo è il trasformato di $t$, il terzo è il trasformato di $t^2$, il quarto è il trasformato di $t^3$. Vero è che, nella migliore delle ipotesi, si tratterebbe di un abuso di notazioni da evitare.
P.S.
Mi sembra che tu abbia interpretato la scrittura come le 4 componenti rispetto alla base naturale. Tuttavia, poiché le componenti dipenderebbero da $t$, anche questa seconda interpretazione lascerebbe a desiderare.
$T(p)=|(p'(0)),(p(1)-p(2)),(p(4)-p(6))|$
Nel secondo esercizio, trattandosi di una trasformazione lineare $T$ il cui spazio vettoriale di arrivo è $C_3[t]$, la scrittura sottostante non ha alcun senso (a secondo membro compaiono 4 polinomi invece di uno solo):
$T(p)=|(ip'(t)),((1+i)p(0)t-p''(0)t^2),(p(t)-tp'(t)),((2-7i)p''(t^2))|$
Sei sicuro di aver riportato il testo correttamente? In questo caso, le interpretazioni delle due scritture devono essere necessariamente diverse. Per esempio: il primo è il trasformato di $1$, il secondo è il trasformato di $t$, il terzo è il trasformato di $t^2$, il quarto è il trasformato di $t^3$. Vero è che, nella migliore delle ipotesi, si tratterebbe di un abuso di notazioni da evitare.
P.S.
Mi sembra che tu abbia interpretato la scrittura come le 4 componenti rispetto alla base naturale. Tuttavia, poiché le componenti dipenderebbero da $t$, anche questa seconda interpretazione lascerebbe a desiderare.
Allora:
L'esercizio è copiato perfettamente;
Io @anonymous_0b37e9 ho semplicemente interpretato la scrittura $T(p)=|....|$ in questo modo: se ho che la mia base è $B={1,t,t^2,t^3}$
allora prendo come $p(t)=1, p(t)=t$, ... e così via e metto il $p(t)$ all'interno di ognuna delle 4 espressioni $ip'(t), ....$ ottenendo 4 colonne, poi ogni elemento di ogni colonna mi dà le entrate della matrice cercata. Per es. $T(1)=|(0),((1+i)t),(1),(0)|$ diventa la prima colonna della mia matrice perciò $A^1=|(1),(1+i),(0),(0)|$
Sinceramente non ho capito cosa tu intenda per abuso di notazione a me sembra tutto 'corretto'. Io ho semplicemente fatto ciò che ho fatto nell'esercizio precedente(l'unica cosa che cambia è il campo, $R$ nel primo $C$ nel secondo).
Probabilmente ho sbagliato io, non penso che l'esercizio sia mal posto.
L'esercizio è copiato perfettamente;
Io @anonymous_0b37e9 ho semplicemente interpretato la scrittura $T(p)=|....|$ in questo modo: se ho che la mia base è $B={1,t,t^2,t^3}$
allora prendo come $p(t)=1, p(t)=t$, ... e così via e metto il $p(t)$ all'interno di ognuna delle 4 espressioni $ip'(t), ....$ ottenendo 4 colonne, poi ogni elemento di ogni colonna mi dà le entrate della matrice cercata. Per es. $T(1)=|(0),((1+i)t),(1),(0)|$ diventa la prima colonna della mia matrice perciò $A^1=|(1),(1+i),(0),(0)|$
Sinceramente non ho capito cosa tu intenda per abuso di notazione a me sembra tutto 'corretto'. Io ho semplicemente fatto ciò che ho fatto nell'esercizio precedente(l'unica cosa che cambia è il campo, $R$ nel primo $C$ nel secondo).
Probabilmente ho sbagliato io, non penso che l'esercizio sia mal posto.
Appunto, si tratta della seconda interpretazione del mio messaggio precedente:
secondo la quale:
identici, al netto di una svista e dell'interpretazione dell'ultima derivata seconda, a quelli del tuo messaggio iniziale. Tuttavia, poiché dovrebbero essere le quattro componenti, quattro numeri per intenderci, la loro dipendenza da $t$ non ha alcun senso. Basti pensare che, per esempio:
risultato assurdo visto che il trasformato non appartiene allo spazio di arrivo. Insomma, volendo definire un endomorfismo del tipo:
sarebbe sufficiente, solo per fare un esempio:
per non incappare in contraddizioni:
"anonymous_0b37e9":
Mi sembra che tu abbia interpretato la scrittura come le 4 componenti rispetto alla base naturale. Tuttavia, poiché le componenti dipenderebbero da $t$, anche questa seconda interpretazione lascerebbe a desiderare.
secondo la quale:
$1 rarr [[0],[(1+i)t],[1],[0]]$
$t rarr [,[0],[0],[0]]$
$t^2 rarr [[2it],[-2t^2],[-t^2],[2(2-7i)]]$
$t^3 rarr [[3it^2],[0],[-2t^3],[6(2-7i)t^2]]$
identici, al netto di una svista e dell'interpretazione dell'ultima derivata seconda, a quelli del tuo messaggio iniziale. Tuttavia, poiché dovrebbero essere le quattro componenti, quattro numeri per intenderci, la loro dipendenza da $t$ non ha alcun senso. Basti pensare che, per esempio:
$t^3 rarr 3it^2*1+0*t-2t^3*t^2+6(2-7i)t^2*t^3=3it^2+2(5-21i)t^5$
risultato assurdo visto che il trasformato non appartiene allo spazio di arrivo. Insomma, volendo definire un endomorfismo del tipo:
$T:C_3[t] rarr C_3[t]$
sarebbe sufficiente, solo per fare un esempio:
$p(t) rarr p'(t)$
$1 rarr 0$
$t rarr 1$
$t^2 rarr 2t$
$t^3 rarr 3t^2$
per non incappare in contraddizioni:
$[[0,1,0,0],[0,0,2,0],[0,0,0,3],[0,0,0,0]]$
Ok si in effetti adesso con l'esempio della derivazione capisco cosa intendevi. Purtroppo non ho la soluzione, però ottenere una matrice associata ad un polinomio in cui non compaiono solo coefficienti numerici anche a me sembra strano. Sebbene le probabilità che l'esercizio sia mal posto sono poche, io non escluderei tale evenienza
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