Esercizio sulle forme bilineari.
Buongiorno.
Ho il seguente esercizio riguardante le forme bilineari.
Sia $f:RR^4timesRR^4 to RR$ di matrice
Mi chiede di
1) $f$ è non degenere ? segnatura di $f$ e di determinare una base ortogonale.
2) Scrivere forma quadratica di $f$.
Per verificare se $f$ è non degenere, ho ridotto a scala la matrice $A$ e mi sono calcolato il rango della matrice ridotta a scala, dove con diverse operazioni elementari sulle righe della matrice $A$ mi ritrovo che il rango di $A$ è quattro e la sua ridotta è
Fin qui mi sembra tutto ok, salvo errori di calcolo. Invece, per calcolare la segnatura, ho letto il teorema di Sylvester, dove in particolare dice che esistono un numero $p$ con $p<=r$ , $r$ rango di $f$ e una base di $V$ per cui la matrice rappresentativa di $f$ assume la seguente forma
Ora qui mi blocco...se prendo la matrice ridotta a scala del punto precedente e quindi la base in questione è la base canonica, la matrice che riesco ad ottenere con un ulteriori operazioni elementari sulla stessa è la seguente matrice
Non so se è corretto. Mi potreste indicare se sono corretti i miei passaggi oppure devo scegliere in modo opportuno un'altra base di $RR^4$ se si come
Saluti
Ho il seguente esercizio riguardante le forme bilineari.
Sia $f:RR^4timesRR^4 to RR$ di matrice
$A:= | ( 3 , -2 , 1 , 1 ),( -2 , 1 , -1 , -1 ),( 1 , -1 , 1 , 4 ),( 1 , -1 , 4 , 2 ) | $
rispetto alla base canonica. Mi chiede di
1) $f$ è non degenere ? segnatura di $f$ e di determinare una base ortogonale.
2) Scrivere forma quadratica di $f$.
Per verificare se $f$ è non degenere, ho ridotto a scala la matrice $A$ e mi sono calcolato il rango della matrice ridotta a scala, dove con diverse operazioni elementari sulle righe della matrice $A$ mi ritrovo che il rango di $A$ è quattro e la sua ridotta è
$ | ( 1 , -1 , 1 , 4 ),( 0 , -1 , 1 , 7 ),( 0 , 0 , -1 , -4 ),( 0 , 0 , 0 , -14 ) | $
Fin qui mi sembra tutto ok, salvo errori di calcolo. Invece, per calcolare la segnatura, ho letto il teorema di Sylvester, dove in particolare dice che esistono un numero $p$ con $p<=r$ , $r$ rango di $f$ e una base di $V$ per cui la matrice rappresentativa di $f$ assume la seguente forma
$ | ( I_P , O , O ),( O , -I_(r-p) , O ),( O , O , O ) | $
Ora qui mi blocco...se prendo la matrice ridotta a scala del punto precedente e quindi la base in questione è la base canonica, la matrice che riesco ad ottenere con un ulteriori operazioni elementari sulla stessa è la seguente matrice
$ | ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , -1 ) | $
Quindi la segnatura è $(1,3)$Non so se è corretto. Mi potreste indicare se sono corretti i miei passaggi oppure devo scegliere in modo opportuno un'altra base di $RR^4$ se si come
Saluti
Risposte
La base ortogonale è quella degli autovettori, ergo ti conviene diagonalizzare la matrice e rispondere a tutte le domande poste in 1) in un colpo solo.
Per rispondere alla 2) devi avere la matrice diagonale (per scriverne la forma canonica e quindi riconoscere la quadrica), quindi alla fine, diagonalizza.
Per rispondere alla 2) devi avere la matrice diagonale (per scriverne la forma canonica e quindi riconoscere la quadrica), quindi alla fine, diagonalizza.
Hey bokonon !
Non l'ho studiati gli autovettori, conosco cosa sia una base ortogonale relativa ad una forma bilineare $f$ e so come determinarla mediante il teorema di Lagrange.
Non l'ho studiati gli autovettori, conosco cosa sia una base ortogonale relativa ad una forma bilineare $f$ e so come determinarla mediante il teorema di Lagrange.
"Yuyu_13":
Hey bokonon !
Non l'ho studiati gli autovettori, conosco cosa sia una base ortogonale relativa ad una forma bilineare $f$ e so come determinarla mediante il teorema di Lagrange.
Auguri!
Scherzo, in effetti è un metodo assai comodo in molti frangenti.
Quindi ti si chiede di rispondere nell'ordine a quelle domande.
E' ok scoprire che il rango della matrice è massimo, perchè significa che il suo kernel ha dimensione 0.
Quindi il prodotto scalare è non degenere.
Per il resto, non ho mai visto quell'approccio per derivare la segnatura. Di solito applico il metodo della diagonale...che è comunque ambiguo in certe occasioni. Applicandolo ottengo lo stesso risultato che si ottiene calcolando gli autovalori, ovvero che la segnatura è $(2,2,0)$. Tradotto, è un prodotto scalare indefinito.
Posso solo dirti questo.
Il resto lo sai fare.
Hey! Arriverò a geometria 2 e sarà tutto più bello 
"Bokonon":quale ?? Quello che ho applicato per determinare l'ultima matrice ?
Per il resto, non ho mai visto quell'approccio per derivare la segnatura. Di solito applico il metodo della diagonale....
"Yuyu_13":
Hey! Arriverò a geometria 2 e sarà tutto più bello
Per la verità, sono molto sorpreso dall'ordine degli argomenti scelto dal tuo prof.
Di solito, quello che stai studiando adesso si fa in Geometria 2 (sarei curioso di sentire altre opinioni in merito).
"Yuyu_13":
quale ?? Quello che ho applicato per determinare l'ultima matrice ?
Oh, no. E' diverso, ma credimi se ti dico che per certi versi mi è totalmente oscuro, pertanto non te lo insegno (fidati).
E' molto più affidabile, per una matrice simmetrica (perchè sappiamo che tutte le radici/autovalori saranno reali), calcolare il polinomio caratteristico e usare la regola dei segni di Cartesio.
Se posti un link al Teorema di Sylvester nella forma in cui l'hai descritto...magari (tempo permettendo) ci do un'occhiata.
@Yuyu_13 Ma stai studiando dal libro di Artin?
Bokonon siamo futuristici 
Allego dispensa che ho trovato in rete, dove enunciato e dimostrazione sono molto simili, se non uguali a quelli usati dalla prof. Questo è il link pag.20 https://www.matfis.unisalento.it/c/docu ... 248954.pdf
Inoltre la prof. ha usato per questa parte del corso il Sernesi, se per caso ce l'hai lo trovi lì.
Ho trovato topic qui https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 37&t=58893 ma come dici tu, prima base ortogonale e poi il resto.
Quindi mi vien da pensare che la prof si sia confusa sull'ordine delle domande.
@j18eos no no...comunque ce l'ho
Allego dispensa che ho trovato in rete, dove enunciato e dimostrazione sono molto simili, se non uguali a quelli usati dalla prof. Questo è il link pag.20 https://www.matfis.unisalento.it/c/docu ... 248954.pdf
Inoltre la prof. ha usato per questa parte del corso il Sernesi, se per caso ce l'hai lo trovi lì.
Ho trovato topic qui https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 37&t=58893 ma come dici tu, prima base ortogonale e poi il resto.
Quindi mi vien da pensare che la prof si sia confusa sull'ordine delle domande.
@j18eos no no...comunque ce l'ho
"Yuyu_13":
Allego dispensa che ho trovato in rete
E infatti è titolata "Geometria 2"
Ci ho dato una scorsa e sembra fatta bene ma ricordo (e devo averle da qualche parte) le dispense segnalate da Gugo (e mi pare fossero del prof. Manetti o qualcosa del genere) che erano davvero eccezionali.
La ragione è che in quelle dispense viene letteralmente definito ogni singolo oggetto, sia dal punto di vista matematico che dal punto di vista del linguaggio matematico. Poi perchè sono incredibilmente lineari e conseguenti nell'esposizione. Magari Gugo legge, corregge e posta il link.
"Yuyu_13":
Ho trovato topic qui https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 37&t=58893 ma come dici tu, prima base ortogonale e poi il resto.
Quindi mi vien da pensare che la prof si sia confusa sull'ordine delle domande.
E' quello che penso pure io. Ora ho capito a quale teorema di Sylvester ti riferisci e appunto prova che è sempre possibile trovare una base ortogonale (se la forma è bilineare), che ci porti ad una matrice congruente e diagonale (nota bene, congruente e non simile come con la diagonalizzazione classica).
Poi, vabbè, è sempre possibile ordinare i vettori della matrice ortogonale in modo tale da ordinare i valori sulla diagonale prima positivi, poi negativi e infine nulli...ma non fa differenza se non nell'esposizione.
Per questo ero perplesso riguardo l'ordine delle richieste, perchè per arrivare alla segnatura (tolto il metodo, sempre di Sylvester, che ho citato) la cosa più comoda da fare è trovare la matrice di trasformazione (che sia con gli autovettori che con Lagrange).
Le conosco le dispense del prof. Manetti, questo è il link https://www1.mat.uniroma1.it/people/man ... ineare.pdf
Io uso come libri: Sernesi-Geometria uno; Abate-Geometria; Esposito, Russo-Lezione di Geometria;
Comunque ho provato a ricavarmi una base ortogonale relativa ad $f$ e alla base canonica di $RR^4$
Allora, essendo $f(e_1,e_1)=3 ne 0$, pongo $w_1=e_1$, dopodiché
$w_2=e_2-f(e_2,w_1)/f(w_1,w_1)e_1$
$\qquad =e_2-(f(e_2,e_1)/f(e_1,e_1))e_1$
$\qquad =e_2+2/3e_1$
$w_3=e_3-f(e_3,w_1)/f(w_1,w_1)e_1-f(e_3,w_2)/f(w_2,w_2)e_2$
$\qquad =e_3-f(e_3,e_1)/f(e_1,e_1)e_1-f(e_3,e_2+2/3e_1)/f(e_2+2/3e_1,e_2+2/3e_1)e_2$
$\qquad =e_3-1/3e_1-(f(e_3,e_2)+2/3f(e_3,e_1))/(f(e_2,e_2)+4/3f(e_1,e_2)+4/9f(e_1,e_1))e_2$
$\qquad =e_3-1/3e_1-((-1/3)/(1+4/3-8/3))e_2$
$\qquad =e_3-1/3e_1-e_2$
$w_4=e_4-f(e_4,w_1)/f(w_1,w_1)e_1-f(e_4,w_2)/f(w_2,w_2)e_2-f(e_4,w_3)/f(w_3,w_3)e_3$
$\qquad =e_4-f(e_4,e_1)/f(e_1,e_1)e_1-f(e_4,e_2+2/3e_1)/f(e_2+2/3e_1,e_2+2/3e_1)e_2-f(e_4,e_3-1/3e_1-e_2)/f(e_3-1/3e_1-e_2,e_3-1/3e_1-e_2)e_3$
$\qquad =e_4-1/3e_1-(f(e_4,e_2)+2/3f(e_4,e_1))/(f(e_2,e_2)+4/3f(e_1,e_2)+4/9f(e_1,e_1))e_2-(f(e_4,e_3)-1/3f(e_4,e_1)-f(e_4,e_2))/(f(e_3,e_3)+1/9f(e_1,e_1)-f(e_2,e_2)-2/3f(e_1-e_2))e_3$
$\qquad =e_4-1/3e_1-(-1+2/3)/(1+4/3+4/3)e_2-(4-1/3+1)/(1+1/3-1+4/3)e_3$
$\qquad =e_4-1/3e_1+1/11e_2-14/5e_3$
Quindi una base ortogonale è ${(1,0,0,0), (2/3,1,0,0),(-1/3,-1,1,0),(-1/3,1/11,-14/5,1)}$
Tutto questo salvo errori di calcolo.
Ora la matrice rappresentativa di $f$ rispetto a questa base dovrebbe essere ortogonale ?
Per ricavarmi tale matrice, posso calcolarmi la matrice di cambiamento di base, oppure posso calcolarmi la forma analitica di $f$ ?
Io uso come libri: Sernesi-Geometria uno; Abate-Geometria; Esposito, Russo-Lezione di Geometria;
Comunque ho provato a ricavarmi una base ortogonale relativa ad $f$ e alla base canonica di $RR^4$
Allora, essendo $f(e_1,e_1)=3 ne 0$, pongo $w_1=e_1$, dopodiché
$w_2=e_2-f(e_2,w_1)/f(w_1,w_1)e_1$
$\qquad =e_2-(f(e_2,e_1)/f(e_1,e_1))e_1$
$\qquad =e_2+2/3e_1$
$w_3=e_3-f(e_3,w_1)/f(w_1,w_1)e_1-f(e_3,w_2)/f(w_2,w_2)e_2$
$\qquad =e_3-f(e_3,e_1)/f(e_1,e_1)e_1-f(e_3,e_2+2/3e_1)/f(e_2+2/3e_1,e_2+2/3e_1)e_2$
$\qquad =e_3-1/3e_1-(f(e_3,e_2)+2/3f(e_3,e_1))/(f(e_2,e_2)+4/3f(e_1,e_2)+4/9f(e_1,e_1))e_2$
$\qquad =e_3-1/3e_1-((-1/3)/(1+4/3-8/3))e_2$
$\qquad =e_3-1/3e_1-e_2$
$w_4=e_4-f(e_4,w_1)/f(w_1,w_1)e_1-f(e_4,w_2)/f(w_2,w_2)e_2-f(e_4,w_3)/f(w_3,w_3)e_3$
$\qquad =e_4-f(e_4,e_1)/f(e_1,e_1)e_1-f(e_4,e_2+2/3e_1)/f(e_2+2/3e_1,e_2+2/3e_1)e_2-f(e_4,e_3-1/3e_1-e_2)/f(e_3-1/3e_1-e_2,e_3-1/3e_1-e_2)e_3$
$\qquad =e_4-1/3e_1-(f(e_4,e_2)+2/3f(e_4,e_1))/(f(e_2,e_2)+4/3f(e_1,e_2)+4/9f(e_1,e_1))e_2-(f(e_4,e_3)-1/3f(e_4,e_1)-f(e_4,e_2))/(f(e_3,e_3)+1/9f(e_1,e_1)-f(e_2,e_2)-2/3f(e_1-e_2))e_3$
$\qquad =e_4-1/3e_1-(-1+2/3)/(1+4/3+4/3)e_2-(4-1/3+1)/(1+1/3-1+4/3)e_3$
$\qquad =e_4-1/3e_1+1/11e_2-14/5e_3$
Quindi una base ortogonale è ${(1,0,0,0), (2/3,1,0,0),(-1/3,-1,1,0),(-1/3,1/11,-14/5,1)}$
Tutto questo salvo errori di calcolo.
Ora la matrice rappresentativa di $f$ rispetto a questa base dovrebbe essere ortogonale ?
Per ricavarmi tale matrice, posso calcolarmi la matrice di cambiamento di base, oppure posso calcolarmi la forma analitica di $f$ ?
La generica base ortogonale che hai calcolato non va. I primi due vettori sono ok (consiglio: elimina le frazioni quando puoi e riscrivi il secondo come $(2,3,0,0)$).
Il terzo vettore è errato...e di conseguenza pure il quarto.
Ho ricavato una base ortogonale in modo "sporco", perchè odio fare troppi conti.
$ {( 1 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 ), ( 2 \ \ 3 \ \ 0 \ \ 0 ) ,( 1 \ \ 1 \ \ -1 \ \ 0 ),( 3 \ \ 3 \ \ -4 \ \ 1 )} $
Non è sufficiente trovare UN cambio base. Deve essere IL cambio base che porta alla forma di Sylvester (pensavo ti avessero insegnato l'algoritmo ma non è così). Il metodo che conosco io per arrivare alla forma di Sylvester, parte dalla forma quadratica per poi applicare una dopo l'altra le trasformazioni lineari per rimuovere i prodotti misti. Comunque sia, sono giunto alla conclusione che la tua prof. non voglia tutti questi calcoli e chieda solo una base ortogonale generica (come quella sopra).
Credo proprio che la tua prof. utilizzi il criterio di Sylvester per determinare la segnatura, invece di ammazzarti di calcoli.
In questo caso, il criterio si applica facilmente. Partiamo dal determinante che contiene il primo elemento della diagonale, quindi è pari a 3 (positivo).
Poi scendiamo e scegliamo la matrice 2x2 che includa la matrice precedente, ovvero: $ det( ( 3 , -2 ),( -2 , 1 ) )=-1 $ (negativo)
Poi il determinante della matrice 3x3 che includa la matrice precedente $ det( ( 3 , -2 , 1 ),( -2 , 1 , -1 ),( 1 , -1 , 1 ) ) =-1 $ (negativo)
Infine calcoliamo il determinate della matrice completa, ovvero 14 (positivo).
E ora tiriamo le somme: abbiamo una sequenza +--+
Il primo + lo contiamo come positivo per la segnatura.
Poi abbiamo una variazione +- che conta come un negativo.
Poi abbiamo -- che conta come un positivo.
E infine -+ che conta come un negativo.
Morale: la segnatura è (2,2)
Casistiche:
1) e se la matrice è simmetrica ma singolare? (lasciamo stare!)
2) e se la matrice è simmetrica, non singolare ma mi ritrovo dei determinanti a pari a zero? (c'è un metodo)
3) e se la matrice è generica e non so manco se abbia tutti gli autovalori reali? (lasciamo stare!)
Ora capisci perchè ero così restio a parlartene...
Il terzo vettore è errato...e di conseguenza pure il quarto.
Ho ricavato una base ortogonale in modo "sporco", perchè odio fare troppi conti.
$ {( 1 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 ), ( 2 \ \ 3 \ \ 0 \ \ 0 ) ,( 1 \ \ 1 \ \ -1 \ \ 0 ),( 3 \ \ 3 \ \ -4 \ \ 1 )} $
Non è sufficiente trovare UN cambio base. Deve essere IL cambio base che porta alla forma di Sylvester (pensavo ti avessero insegnato l'algoritmo ma non è così). Il metodo che conosco io per arrivare alla forma di Sylvester, parte dalla forma quadratica per poi applicare una dopo l'altra le trasformazioni lineari per rimuovere i prodotti misti. Comunque sia, sono giunto alla conclusione che la tua prof. non voglia tutti questi calcoli e chieda solo una base ortogonale generica (come quella sopra).
Credo proprio che la tua prof. utilizzi il criterio di Sylvester per determinare la segnatura, invece di ammazzarti di calcoli.
In questo caso, il criterio si applica facilmente. Partiamo dal determinante che contiene il primo elemento della diagonale, quindi è pari a 3 (positivo).
Poi scendiamo e scegliamo la matrice 2x2 che includa la matrice precedente, ovvero: $ det( ( 3 , -2 ),( -2 , 1 ) )=-1 $ (negativo)
Poi il determinante della matrice 3x3 che includa la matrice precedente $ det( ( 3 , -2 , 1 ),( -2 , 1 , -1 ),( 1 , -1 , 1 ) ) =-1 $ (negativo)
Infine calcoliamo il determinate della matrice completa, ovvero 14 (positivo).
E ora tiriamo le somme: abbiamo una sequenza +--+
Il primo + lo contiamo come positivo per la segnatura.
Poi abbiamo una variazione +- che conta come un negativo.
Poi abbiamo -- che conta come un positivo.
E infine -+ che conta come un negativo.
Morale: la segnatura è (2,2)
Casistiche:
1) e se la matrice è simmetrica ma singolare? (lasciamo stare!)
2) e se la matrice è simmetrica, non singolare ma mi ritrovo dei determinanti a pari a zero? (c'è un metodo)
3) e se la matrice è generica e non so manco se abbia tutti gli autovalori reali? (lasciamo stare!)
Ora capisci perchè ero così restio a parlartene...
"Bokonon":
Ora capisci perchè ero così restio a parlartene...
e mi dispiace che ti ho fatto scrivere tutto questo papello.... tutto questo non mi torna.
L'uso dei determinanti non è proprio citato sulle dispense della prof. mi sento perso
Devo rivedermi la teoria secondo me.
Una terza via per determinare la segnatura è la divinazione. Ti servirà un capretto, un coltello ben affilato e una grossa ciotola.
Sei sicuro di non aver sbagliato classe ed essere finito a geometria 2?
Sei sicuro di non aver sbagliato classe ed essere finito a geometria 2?
ahahahahahha
"Bokonon":va bene come risposta all'esame ?
Una terza via per determinare la segnatura è la divinazione.
"Bokonon":
Sei sicuro di non aver sbagliato classe ed essere finito a geometria 2?
Adesso ho capito il metodo!
Trovata una base ortogonale $ {( 1 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 ), ( 2 \ \ 3 \ \ 0 \ \ 0 ) ,( 1 \ \ 1 \ \ -1 \ \ 0 ),( 3 \ \ 3 \ \ -4 \ \ 1 )} $, i segni dei prodotti scalari $v_i^TBv_i$ (dove B è la nostra matrice simmetrica), danno la segnatura.
Ha perfettamente senso e non è necessario arrivare alla forma di Sylvester.
Ho imparato qualcosa di nuovo!
Trovata una base ortogonale $ {( 1 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 ), ( 2 \ \ 3 \ \ 0 \ \ 0 ) ,( 1 \ \ 1 \ \ -1 \ \ 0 ),( 3 \ \ 3 \ \ -4 \ \ 1 )} $, i segni dei prodotti scalari $v_i^TBv_i$ (dove B è la nostra matrice simmetrica), danno la segnatura.
Ha perfettamente senso e non è necessario arrivare alla forma di Sylvester.
Ho imparato qualcosa di nuovo!
Hey Bokonon !
Ci sono riuscito ho capito come si fa (domani metto lo svolgimento):
-$f$ forma bilineare, $S$ riferimento e $r$ rango di $f$
-$B$ matrice simmetrica di $f$
-determino un rifermento ortogonale relativo ad $f$ e al riferimento $S$
-determino la forma quadratica $q$ associata a $f$
-valuto mediante $q$ il segno dei vettori del riferimento ortogonale, i segni per cui $q>0$ è l'indice di positività $p$
Per cui la coppia $(p,r-p)$ è nota.
Se ho afferrato bene quello che dici e non ho capito accio pe cepodde ...stiamo dicendo la stessa cosa
Ci sono riuscito ho capito come si fa (domani metto lo svolgimento):
-$f$ forma bilineare, $S$ riferimento e $r$ rango di $f$
-$B$ matrice simmetrica di $f$
-determino un rifermento ortogonale relativo ad $f$ e al riferimento $S$
-determino la forma quadratica $q$ associata a $f$
-valuto mediante $q$ il segno dei vettori del riferimento ortogonale, i segni per cui $q>0$ è l'indice di positività $p$
Per cui la coppia $(p,r-p)$ è nota.
Se ho afferrato bene quello che dici e non ho capito accio pe cepodde
...stiamo dicendo la stessa cosa
"Yuyu_13":
stiamo dicendo la stessa cosa
Esatto.
Guarda io ho finito geometria 1 al corso di fisica alla sapienza,e, nel mio canale, il teorema di Sylvester l'abbiamo appena appena accennato così come le forme quadratiche. Tuttavia se per caso ti servisse una mano, il professor Salvati Manni, del canale 3 mi pare, sulla sua webpage ha postato delle note sul teorema di Sylvester apposta per i studenti di fisica. https://www1.mat.uniroma1.it/people/sal ... vester.pdf, io non me la sono guardata perché non necessaria però suppongo sia fatta bene. Scusa se non posso aiutarti più di così
(P.S. davvero strano che non abbiate trattato la diagonalizzazione,autovalori, autovettori ecc., però tu sei studente di matematica quindi non mi intrometto
)
(P.S. davvero strano che non abbiate trattato la diagonalizzazione,autovalori, autovettori ecc., però tu sei studente di matematica quindi non mi intrometto
)
Buongiorno!!
Posto lo svolgimento prima:
Considero la base ortogonale data da bokonon $ {( 1 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 ), ( 2 \ \ 3 \ \ 0 \ \ 0 ) ,( 1 \ \ 1 \ \ -1 \ \ 0 ),( 3 \ \ 3 \ \ -4 \ \ 1 )} $.
Dopodiché determino la forma quadratica associata a $f$ e cioè
Quindi eseguendo il prodotto righe per colonne si ha
Ora valuto i vettori della base canonica tramite $q$
$q(1 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 \ \)=3>0$
$q(2 \ \ 3 \ \ 0 \ \ 0 \ \)=12+9-24=-3<0$
$q(1 \ \ 1 \ \ -1 \ \ 0 \ \)=3+1+1-4-2+4=3>0$
$q(3 \ \ 3 \ \ -4 \ \ 1 \ \)=27+9+16+1-36-24+6+24-6-32=-15<0$
Dunque l'indice di positività è $p=2$ e la segnatura è $(2,4-2)=(2,2)$
@steezy scusami il teorema di Sylvester l'hai fatto in geometria uno ? come fai a sapere che sono uno studente di matematica ?
Posto lo svolgimento prima:
Considero la base ortogonale data da bokonon $ {( 1 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 ), ( 2 \ \ 3 \ \ 0 \ \ 0 ) ,( 1 \ \ 1 \ \ -1 \ \ 0 ),( 3 \ \ 3 \ \ -4 \ \ 1 )} $.
Dopodiché determino la forma quadratica associata a $f$ e cioè
$q:v in RR^4 to q(v)=x^tAx in K$
dove $A$ è la nostra matrice rappresentativa rispetto alla base canonica di $RR^4$ e con $x$ vettore delle componenti di $v in RR^4$ rispetto alla base canonica. Quindi eseguendo il prodotto righe per colonne si ha
$q(x,y,z,t)=3x^2+y^2+z^2+t^2-4xy+2xz+2xt-2yz-2yt +8zt$
Ora valuto i vettori della base canonica tramite $q$
$q(1 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 \ \)=3>0$
$q(2 \ \ 3 \ \ 0 \ \ 0 \ \)=12+9-24=-3<0$
$q(1 \ \ 1 \ \ -1 \ \ 0 \ \)=3+1+1-4-2+4=3>0$
$q(3 \ \ 3 \ \ -4 \ \ 1 \ \)=27+9+16+1-36-24+6+24-6-32=-15<0$
Dunque l'indice di positività è $p=2$ e la segnatura è $(2,4-2)=(2,2)$
@steezy scusami il teorema di Sylvester l'hai fatto in geometria uno ? come fai a sapere che sono uno studente di matematica ?
"Yuyu_13":
q(v)=x^tAx
Beh, è $q(v)=v^tAv$ (scegli un nome per il vettore generico and stick with it!)
E quindi sostituendo i vettori della base trovata abbiamo $q(v_i)=v_i^tAv_i$ (che la norma al quadrato di un vettore della base rispetto a questo prodotto scalare bilineare).
Non è necessario derivare l'intera forma quadratica e poi sostituire.
Ma hai capito il perchè questo funziona?
Ho avuto l'illuminazione mentre mi annoiavo ad un corso di formazione
Sarebbe assai più facile capirlo/spiegarlo se tu avessi già fatto $A=QDQ^T$
Hey !! No, questa è la prossima domanda che ti stavo per fare
Parto da questa: facendo cosi il teorema di Sylvester non viene usato?
Parto da questa: facendo cosi il teorema di Sylvester non viene usato?
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