Applicazioni lineari

[pietro1231]

Considerata l'applicazione lineare $T:R^4 \rightarrow M_(2,2)(R)$ definita da $T((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))=((6x_1,x_2),(5x_3,x_4))$
-Dimostra che $U={v\in R^4 : tr(T(v))=0}$ è un sottospazio vettoriale di $R^4$ e trovare una base e la dimensione.

Per dimostrare che $U$ sia un sottospazio vettoriale dobbiamo vedere se è chiuso per la somma e prodotto scalare.
Ma in questo caso $U$ cos'è?

[Shocker1]

Beh prima di tutto chiediti cosa significa $tr(T(v)) = 0$

[pietro1231]

"Shocker":Beh prima di tutto chiediti cosa significa $tr(T(v)) = 0$

Dovrebbe essere la trasversa di $T(v)$.
Cioè la trasversa di una matrice al quale si passano i valori del vettore $v$ e visto che $v\in R^4$ affidiamo al vettore $v$ una serie di valori canonici e poi calcolo il $T(v)$.
Spero di star procedendo nel verso giusto

[Shocker1]

"pietro123":[quote="Shocker"]Beh prima di tutto chiediti cosa significa $tr(T(v)) = 0$

Dovrebbe essere la trasversa di $T(v)$.
[/quote]

Forse volevi scrivere "trasposta". Comunque non è la trasposta della matrice associata a $T$, la trasposta di una matrice $A$ si indica con $A^(t)$ o qualcosa di molto simile. $tr(T(v))$ indica la traccia di $T(v)$, la traccia è una funzione(potresti dimostrare per esercizio che si tratta di un'applicazione lineare) da $M(n, \mathbb{K}) \to \mathbb{K}$ che associa ad ogni matrice quadrata $A$ di ordine $n$ la somma degli elementi sulla diagonale. Per esempio la traccia di $A = ((1, 0), (-2, 4))$ è $5$.

Cioè la trasversa di una matrice al quale si passano i valori del vettore $v$ e visto che $v\in R^4$ affidiamo al vettore $v$ una serie di valori canonici e poi calcolo il $T(v)$.

Questa frase mi sembra molto confusa, soprattutto la parte dell'affidare a $v$ una serie di valori canonici. Cosa intendi?

[pietro1231]

"Shocker":[quote="pietro123"][quote="Shocker"]Beh prima di tutto chiediti cosa significa $tr(T(v)) = 0$

Dovrebbe essere la trasversa di $T(v)$.
[/quote]

Forse volevi scrivere "trasposta". Comunque non è la trasposta della matrice associata a $T$, la trasposta di una matrice $A$ si indica con $A^(t)$ o qualcosa di molto simile. $tr(T(v))$ indica la traccia di $T(v)$, la traccia è una funzione(potresti dimostrare per esercizio che si tratta di un'applicazione lineare) da $M(n, \mathbb{K}) \to \mathbb{K}$ che associa ad ogni matrice quadrata $A$ di ordine $n$ la somma degli elementi sulla diagonale. Per esempio la traccia di $A = ((1, 0), (-2, 4))$ è $5$.

Cioè la trasversa di una matrice al quale si passano i valori del vettore $v$ e visto che $v\in R^4$ affidiamo al vettore $v$ una serie di valori canonici e poi calcolo il $T(v)$.

Questa frase mi sembra molto confusa, soprattutto la parte dell'affidare a $v$ una serie di valori canonici. Cosa intendi?[/quote]

Vediamo se ho capito:
$U$ deve avere un vettore di tipo $v=(x,y,z,w)$ tale che la traccia $tr(T(v))=0$
Quindi procedo così:
$T(x,y,z,w)=((6x,y),(5z,w))$ Dobbiamo avere che $6x+w=0 -> {x=-1/6 t , y=r, z=s , w=t | r,s,t \in R}$
Ad esempio possiamo prendere $v=(-1/6 , 0, 1, 1)$ questo ci dice che $tr(T(v))=0$
Verfichiamo che $U$ sia un sottospazio:
Prendiamo $v_1=(-1/6 , 0, 1, 1) \in U$ e $v_2=(-1, 0, 1, 6) \in U$
$v_1+v_2=(-5/6, 0, 2, 7)$ che non appartiene a $U$
Quindi $U$ non è un sottospazio vettoriale

[Shocker1]

$ v_1+v_2=(-5/6, 0, 2, 7) $

Hai sbagliato i conti: $v_1 + v_2 = ( -7/6, 0, 2, 7)$.

[pietro1231]

"Shocker":

$ v_1+v_2=(-5/6, 0, 2, 7) $

Hai sbagliato i conti: $v_1 + v_2 = ( -7/6, 0, 2, 7)$.

Ah... okok... grazie mille