Minori di una matrice
Ciao a tutti,esiste un metodo per calcolare quanti minori ha una matrice?
per esempio:
Data una matrice A con m=5 righe ed n=3 colonne quanti minore ha?
per esempio:
Data una matrice A con m=5 righe ed n=3 colonne quanti minore ha?
Risposte
Dipende dalla taglia dei minori.
Un minore e' il determinante di una matrice $k\times k$, quindi per sceglierlo devi scegliere $k$ righe e $k$ colonne. Se la tua matrice ha $n$ righe e $m$ colonne, allora hai \(\binom{n}{k} \binom{m}{k}\) minori di taglia $k$.
Con un pochina piu' di geometria: se lo spazio vettoriale delle matrici $n \times m$ viene identificato con $E \otimes F$ dove $\dim E = n$ e $\dim F = m$, allora possiamo identificare lo spazio vettoriale dei (meglio: generato dai) minori di taglia $k$ con $\Lambda^k E \otimes \Lambda^k F$, che infatti ha dimensione proprio \(\binom{n}{k} \binom{m}{k}\).
Un minore e' il determinante di una matrice $k\times k$, quindi per sceglierlo devi scegliere $k$ righe e $k$ colonne. Se la tua matrice ha $n$ righe e $m$ colonne, allora hai \(\binom{n}{k} \binom{m}{k}\) minori di taglia $k$.
Con un pochina piu' di geometria: se lo spazio vettoriale delle matrici $n \times m$ viene identificato con $E \otimes F$ dove $\dim E = n$ e $\dim F = m$, allora possiamo identificare lo spazio vettoriale dei (meglio: generato dai) minori di taglia $k$ con $\Lambda^k E \otimes \Lambda^k F$, che infatti ha dimensione proprio \(\binom{n}{k} \binom{m}{k}\).
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